Theorem ackval40 45991

Description: The Ackermann function at (4,0). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval40	⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13

Proof of Theorem ackval40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12021	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6771	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3	2	fveq1i 6769	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ((Ack‘(3 + 1))‘0)
4		3nn0 12234	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		ackvalsuc0val 45985	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1)
7		ackval3012 45990	. . 3 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩
8		fvex 6781	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘0) ∈ V
9		fvex 6781	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘1) ∈ V
10		fvex 6781	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘2) ∈ V
11	8, 9, 10	otth 5401	. . . 4 ⊢ (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩ ↔ (((Ack‘3)‘0) = 5 ∧ ((Ack‘3)‘1) = ;13 ∧ ((Ack‘3)‘2) = ;29))
12	11	simp2bi 1144	. . 3 ⊢ (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩ → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘1) = ;13
14	3, 6, 13	3eqtri 2771	1 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4574  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  9c9 12018  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419  Ackcack 45956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764  df-itco 45957  df-ack 45958

This theorem is referenced by:  ackval41a  45992