Theorem ackval40 47541

Description: The Ackermann function at (4,0). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval40	⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13

Proof of Theorem ackval40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12284	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3	2	fveq1i 6892	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ((Ack‘(3 + 1))‘0)
4		3nn0 12497	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
5		ackvalsuc0val 47535	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1)
7		ackval3012 47540	. . 3 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩
8		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘0) ∈ V
9		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘1) ∈ V
10		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘3)‘2) ∈ V
11	8, 9, 10	otth 5484	. . . 4 ⊢ (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩ ↔ (((Ack‘3)‘0) = 5 ∧ ((Ack‘3)‘1) = ;13 ∧ ((Ack‘3)‘2) = ;29))
12	11	simp2bi 1145	. . 3 ⊢ (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩ → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
13	7, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘1) = ;13
14	3, 6, 13	3eqtri 2763	1 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cotp 4636  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  9c9 12281  ℕ₀cn0 12479  ;cdc 12684  Ackcack 47506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-seq 13974  df-exp 14035  df-itco 47507  df-ack 47508

This theorem is referenced by:  ackval41a  47542