Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval40 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval40 46379
Description: The Ackermann function at (4,0). (Contributed by AV, 9-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval40 ((Ack‘4)‘0) = 13

Proof of Theorem ackval40
StepHypRef Expression
1 df-4 12131 . . . 4 4 = (3 + 1)
21fveq2i 6822 . . 3 (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
32fveq1i 6820 . 2 ((Ack‘4)‘0) = ((Ack‘(3 + 1))‘0)
4 3nn0 12344 . . 3 3 ∈ ℕ0
5 ackvalsuc0val 46373 . . 3 (3 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1))
64, 5ax-mp 5 . 2 ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘3)‘1)
7 ackval3012 46378 . . 3 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩
8 fvex 6832 . . . . 5 ((Ack‘3)‘0) ∈ V
9 fvex 6832 . . . . 5 ((Ack‘3)‘1) ∈ V
10 fvex 6832 . . . . 5 ((Ack‘3)‘2) ∈ V
118, 9, 10otth 5423 . . . 4 (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩ ↔ (((Ack‘3)‘0) = 5 ∧ ((Ack‘3)‘1) = 13 ∧ ((Ack‘3)‘2) = 29))
1211simp2bi 1145 . . 3 (⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩ → ((Ack‘3)‘1) = 13)
137, 12ax-mp 5 . 2 ((Ack‘3)‘1) = 13
143, 6, 133eqtri 2768 1 ((Ack‘4)‘0) = 13
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  cotp 4580  cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967  2c2 12121  3c3 12122  4c4 12123  5c5 12124  9c9 12128  0cn0 12326  cdc 12530  Ackcack 46344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-seq 13815  df-exp 13876  df-itco 46345  df-ack 46346
This theorem is referenced by:  ackval41a  46380
  Copyright terms: Public domain W3C validator