MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem2 26693
Description: For general ๐‘ and ๐พ, count the fraction of injective functions from 1...๐พ to 1...๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘˜,๐พ   ๐‘“,๐‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“,๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem birthdaylem2
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
21fveq2i 6893 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)})
3 fzfi 13941 . . . . . . 7 (1...๐พ) โˆˆ Fin
4 fzfi 13941 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
5 hashf1 14422 . . . . . . 7 (((1...๐พ) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))))
63, 4, 5mp2an 688 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
72, 6eqtri 2758 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
8 elfznn0 13598 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
98adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
10 hashfz1 14310 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = ๐พ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = ๐พ)
1211fveq2d 6894 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (!โ€˜๐พ))
13 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
14 hashfz1 14310 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1716, 11oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (๐‘C๐พ))
1812, 17oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)))
197, 18eqtrid 2782 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)))
2013adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2120faccld 14248 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2221nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
23 fznn0sub 13537 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
2423adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
2524faccld 14248 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2625nncnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2725nnne0d 12266 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0)
2822, 26, 27divcld 11994 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โˆˆ โ„‚)
299faccld 14248 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
3029nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
3129nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
3228, 30, 31divcan2d 11996 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ))) = ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))))
33 bcval2 14269 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3433adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3522, 26, 30, 27, 31divdiv1d 12025 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3634, 35eqtr4d 2773 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
3736oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)) = ((!โ€˜๐พ) ยท (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ))))
38 fzfid 13942 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
39 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
41 nnrp 12989 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
4241relogcld 26367 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
4342recnd 11246 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4440, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4538, 44fsumcl 15683 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
46 fzfid 13942 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ Fin)
47 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4847adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4948, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5046, 49fsumcl 15683 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
51 efsub 16047 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
5245, 50, 51syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
5324nn0red 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
5453ltp1d 12148 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) < ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
55 fzdisj 13532 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) < ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆฉ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = โˆ…)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆฉ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = โˆ…)
57 fznn0sub2 13612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘))
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘))
59 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
62 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
63 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6462, 63eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
65 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6665ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
67 elfz5 13497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
6864, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
6961, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘))
70 fzsplit 13531 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
72 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0)
7372oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (1...0))
74 fz10 13526 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...0) = โˆ…
7573, 74eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = โˆ…)
7675uneq1d 4161 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
77 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆช โˆ…)
78 un0 4389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆช โˆ…) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)
7977, 78eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)
8072oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) = (0 + 1))
81 1e0p1 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
8280, 81eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) = 1)
8382oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) = (1...๐‘))
8479, 83eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (1...๐‘))
8576, 84eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
86 elnn0 12478 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0))
8724, 86sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0))
8871, 85, 87mpjaodan 955 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
8956, 88, 38, 44fsumsplit 15691 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
9089oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
91 fzfid 13942 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆˆ Fin)
92 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
9324, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
94 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
95 eluznn 12906 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
9693, 94, 95syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
9796, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9891, 97fsumcl 15683 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9950, 98pncan2d 11577 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
10090, 99eqtr2d 2771 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
101100fveq2d 6894 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) = (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
10221nnne0d 12266 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
103 eflog 26321 . . . . . . . . 9 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (!โ€˜๐‘))
10422, 102, 103syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (!โ€˜๐‘))
105 logfac 26345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
10620, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
107106fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
108104, 107eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
109 eflog 26321 . . . . . . . . 9 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
11026, 27, 109syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
111 logfac 26345 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))
11224, 111syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))
113112fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
114110, 113eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
115108, 114oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
11652, 101, 1153eqtr4d 2780 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) = ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))))
11732, 37, 1163eqtr4d 2780 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
11819, 117eqtrd 2770 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
119 birthday.s . . . . . . . 8 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
120 mapvalg 8832 . . . . . . . . 9 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (1...๐พ) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)) = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)})
1214, 3, 120mp2an 688 . . . . . . . 8 ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)) = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
122119, 121eqtr4i 2761 . . . . . . 7 ๐‘† = ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))
123122fveq2i 6893 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)))
124 hashmap 14399 . . . . . . 7 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (1...๐พ) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
1254, 3, 124mp2an 688 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))
126123, 125eqtri 2758 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘†) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))
12716, 11oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (๐‘โ†‘๐พ))
128126, 127eqtrid 2782 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (๐‘โ†‘๐พ))
129 nncn 12224 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
130129adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
131 nnne0 12250 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
132131adantr 479 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
133 elfzelz 13505 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
134133adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
135 explog 26338 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
136130, 132, 134, 135syl3anc 1369 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
137128, 136eqtrd 2770 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
138118, 137oveq12d 7429 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
1399nn0cnd 12538 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
140 nnrp 12989 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
141140adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
142141relogcld 26367 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
143142recnd 11246 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
144139, 143mulcld 11238 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
145 efsub 16047 . . 3 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
14698, 144, 145syl2anc 582 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
147 relogdiv 26337 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
14841, 141, 147syl2anr 595 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
14996, 148syldan 589 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
150149sumeq2dv 15653 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
15165adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15224nn0zd 12588 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
153152peano2zd 12673 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„ค)
15496nnrpd 13018 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
155141adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
156154, 155rpdivcld 13037 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (๐‘› / ๐‘) โˆˆ โ„+)
157156relogcld 26367 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) โˆˆ โ„)
158157recnd 11246 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
159 fvoveq1 7434 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = (logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)))
160151, 153, 151, 158, 159fsumrev 15729 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))(logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)))
161130subidd 11563 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0)
162 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
163130, 139, 162subsubd 11603 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
164163oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
165 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
166 subcl 11463 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
167139, 165, 166sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
168130, 167nncand 11580 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (๐พ โˆ’ 1))
169164, 168eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (๐พ โˆ’ 1))
170161, 169oveq12d 7429 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = (0...(๐พ โˆ’ 1)))
171130adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
172 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
173172adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
174173nn0cnd 12538 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
175132adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
176171, 174, 171, 175divsubdird 12033 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘) = ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
177171, 175dividd 11992 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
178177oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)) = (1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
179176, 178eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘) = (1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
180179fveq2d 6894 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)) = (logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
181170, 180sumeq12rdv 15657 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))(logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
182160, 181eqtrd 2770 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
183143adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
18491, 97, 183fsumsub 15738 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘)))
185 fsumconst 15740 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)))
18691, 143, 185syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)))
187 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
188 fzen 13522 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
189187, 134, 152, 188syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
19024nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
191 addcom 11404 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
192165, 190, 191sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
193139, 130pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ๐‘)
194192, 193oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘))
195189, 194breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘))
196 hasheni 14312 . . . . . . . . . 10 ((1...๐พ) โ‰ˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
197195, 196syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
198197, 11eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = ๐พ)
199198oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)) = (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))
200186, 199eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))
201200oveq2d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
202184, 201eqtrd 2770 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
203150, 182, 2023eqtr3rd 2779 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
204203fveq2d 6894 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
205138, 146, 2043eqtr2d 2776 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {cab 2707   โ‰  wne 2938   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237  Ccbc 14266  โ™ฏchash 14294  ฮฃcsu 15636  expce 16009  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26694
  Copyright terms: Public domain W3C validator