MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthdaylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem birthdaylem2 26457
Description: For general ๐‘ and ๐พ, count the fraction of injective functions from 1...๐พ to 1...๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
birthday.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
Assertion
Ref Expression
birthdaylem2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘˜,๐พ   ๐‘“,๐‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘“,๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘“,๐‘˜)

Proof of Theorem birthdaylem2
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}
21fveq2i 6895 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)})
3 fzfi 13937 . . . . . . 7 (1...๐พ) โˆˆ Fin
4 fzfi 13937 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
5 hashf1 14418 . . . . . . 7 (((1...๐พ) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜{๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โ€“1-1โ†’(1...๐‘)}) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
72, 6eqtri 2761 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
8 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
98adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
10 hashfz1 14306 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = ๐พ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = ๐พ)
1211fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (!โ€˜๐พ))
13 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
14 hashfz1 14306 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
1716, 11oveq12d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (๐‘C๐พ))
1812, 17oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) ยท ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))C(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)))
197, 18eqtrid 2785 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)))
2013adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2120faccld 14244 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2221nncnd 12228 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
23 fznn0sub 13533 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
2423adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
2524faccld 14244 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2625nncnd 12228 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
2725nnne0d 12262 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0)
2822, 26, 27divcld 11990 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โˆˆ โ„‚)
299faccld 14244 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
3029nncnd 12228 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„‚)
3129nnne0d 12262 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โ‰  0)
3228, 30, 31divcan2d 11992 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ))) = ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))))
33 bcval2 14265 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3433adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3522, 26, 30, 27, 31divdiv1d 12021 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3634, 35eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐พ) = (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ)))
3736oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)) = ((!โ€˜๐พ) ยท (((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) / (!โ€˜๐พ))))
38 fzfid 13938 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
39 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4039adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
41 nnrp 12985 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
4241relogcld 26131 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
4342recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4440, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
4538, 44fsumcl 15679 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
46 fzfid 13938 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ Fin)
47 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4847adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4948, 43syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5046, 49fsumcl 15679 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
51 efsub 16043 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
5245, 50, 51syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
5324nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„)
5453ltp1d 12144 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) < ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
55 fzdisj 13528 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) < ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆฉ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = โˆ…)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆฉ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = โˆ…)
57 fznn0sub2 13608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘))
59 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
62 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•)
63 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6462, 63eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
65 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
67 elfz5 13493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
6864, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
6961, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘))
70 fzsplit 13527 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
72 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0)
7372oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (1...0))
74 fz10 13522 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...0) = โˆ…
7573, 74eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = โˆ…)
7675uneq1d 4163 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
77 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆช โˆ…)
78 un0 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆช โˆ…) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)
7977, 78eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)
8072oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) = (0 + 1))
81 1e0p1 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
8280, 81eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) = 1)
8382oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) = (1...๐‘))
8479, 83eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (โˆ… โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = (1...๐‘))
8576, 84eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
86 elnn0 12474 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0))
8724, 86sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ โˆ’ ๐พ) = 0))
8871, 85, 87mpjaodan 958 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐‘) = ((1...(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆช (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
8956, 88, 38, 44fsumsplit 15687 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
9089oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
91 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆˆ Fin)
92 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
9324, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„•)
94 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
95 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
9693, 94, 95syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
9796, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9891, 97fsumcl 15679 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9950, 98pncan2d 11573 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
10090, 99eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
101100fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) = (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
10221nnne0d 12262 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰  0)
103 eflog 26085 . . . . . . . . 9 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (!โ€˜๐‘))
10422, 102, 103syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (!โ€˜๐‘))
105 logfac 26109 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
10620, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›))
107106fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜๐‘))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
108104, 107eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
109 eflog 26085 . . . . . . . . 9 (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
11026, 27, 109syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
111 logfac 26109 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))
11224, 111syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))
113112fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜(!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
114110, 113eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›)))
115108, 114oveq12d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ โˆ’ ๐พ))(logโ€˜๐‘›))))
11652, 101, 1153eqtr4d 2783 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) = ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ))))
11732, 37, 1163eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐พ) ยท (๐‘C๐พ)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
11819, 117eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‡) = (expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)))
119 birthday.s . . . . . . . 8 ๐‘† = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
120 mapvalg 8830 . . . . . . . . 9 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (1...๐พ) โˆˆ Fin) โ†’ ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)) = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)})
1214, 3, 120mp2an 691 . . . . . . . 8 ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)) = {๐‘“ โˆฃ ๐‘“:(1...๐พ)โŸถ(1...๐‘)}
122119, 121eqtr4i 2764 . . . . . . 7 ๐‘† = ((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))
123122fveq2i 6895 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ)))
124 hashmap 14395 . . . . . . 7 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (1...๐พ) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))))
1254, 3, 124mp2an 691 . . . . . 6 (โ™ฏโ€˜((1...๐‘) โ†‘m (1...๐พ))) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))
126123, 125eqtri 2761 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜๐‘†) = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ)))
12716, 11oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘))โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐พ))) = (๐‘โ†‘๐พ))
128126, 127eqtrid 2785 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (๐‘โ†‘๐พ))
129 nncn 12220 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
130129adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
131 nnne0 12246 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
132131adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
133 elfzelz 13501 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
134133adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
135 explog 26102 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
136130, 132, 134, 135syl3anc 1372 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
137128, 136eqtrd 2773 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘†) = (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
138118, 137oveq12d 7427 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
1399nn0cnd 12534 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
140 nnrp 12985 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
141140adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
142141relogcld 26131 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
143142recnd 11242 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
144139, 143mulcld 11234 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
145 efsub 16043 . . 3 ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
14698, 144, 145syl2anc 585 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = ((expโ€˜ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›)) / (expโ€˜(๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))))
147 relogdiv 26101 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
14841, 141, 147syl2anr 598 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
14996, 148syldan 592 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
150149sumeq2dv 15649 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
15165adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15224nn0zd 12584 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
153152peano2zd 12669 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1) โˆˆ โ„ค)
15496nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
155141adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
156154, 155rpdivcld 13033 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (๐‘› / ๐‘) โˆˆ โ„+)
157156relogcld 26131 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) โˆˆ โ„)
158157recnd 11242 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
159 fvoveq1 7432 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†’ (logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = (logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)))
160151, 153, 151, 158, 159fsumrev 15725 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))(logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)))
161130subidd 11559 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0)
162 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
163130, 139, 162subsubd 11599 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
164163oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))
165 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
166 subcl 11459 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
167139, 165, 166sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
168130, 167nncand 11576 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1))) = (๐พ โˆ’ 1))
169164, 168eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)) = (๐พ โˆ’ 1))
170161, 169oveq12d 7427 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))) = (0...(๐พ โˆ’ 1)))
171130adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
172 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
173172adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
174173nn0cnd 12534 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
175132adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
176171, 174, 171, 175divsubdird 12029 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘) = ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
177171, 175dividd 11988 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
178177oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)) = (1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
179176, 178eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘) = (1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))
180179fveq2d 6896 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))) โ†’ (logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)) = (logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
181170, 180sumeq12rdv 15653 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ โˆ’ ๐‘)...(๐‘ โˆ’ ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)))(logโ€˜((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
182160, 181eqtrd 2773 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜(๐‘› / ๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
183143adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
18491, 97, 183fsumsub 15734 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘)))
185 fsumconst 15736 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)))
18691, 143, 185syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)))
187 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
188 fzen 13518 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
189187, 134, 152, 188syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
19024nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
191 addcom 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
192165, 190, 191sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1))
193139, 130pncan3d 11574 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ)) = ๐‘)
194192, 193oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((1 + (๐‘ โˆ’ ๐พ))...(๐พ + (๐‘ โˆ’ ๐พ))) = (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘))
195189, 194breqtrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (1...๐พ) โ‰ˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘))
196 hasheni 14308 . . . . . . . . . 10 ((1...๐พ) โ‰ˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
197195, 196syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐พ)) = (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)))
198197, 11eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) = ๐พ)
199198oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)) ยท (logโ€˜๐‘)) = (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))
200186, 199eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘) = (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))
201200oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
202184, 201eqtrd 2773 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)((logโ€˜๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))))
203150, 182, 2023eqtr3rd 2782 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘))))
204203fveq2d 6896 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (expโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (((๐‘ โˆ’ ๐พ) + 1)...๐‘)(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐พ ยท (logโ€˜๐‘)))) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
205138, 146, 2043eqtr2d 2779 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‡) / (โ™ฏโ€˜๐‘†)) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐พ โˆ’ 1))(logโ€˜(1 โˆ’ (๐‘˜ / ๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2941   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948  โˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820   โ‰ˆ cen 8936  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  Ccbc 14262  โ™ฏchash 14290  ฮฃcsu 15632  expce 16005  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  26458
  Copyright terms: Public domain W3C validator