MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsp1e 16400
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1e ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1e
StepHypRef Expression
1 2z 12618 . . . . 5 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zmulcld 12696 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5 bitsp1 16399 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
64, 5sylan 579 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
7 zcn 12587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 2cnd 12314 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9 2ne0 12340 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
117, 8, 10divcan3d 12019 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
1211fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = (⌊‘𝑁))
13 flid 13799 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
1412, 13eqtrd 2768 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
1615fveq2d 6895 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) = (bits‘𝑁))
1716eleq2d 2815 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
186, 17bitrd 279 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   / cdiv 11895  2c2 12291  0cn0 12496  cz 12582  cfl 13781  bitscbits 16387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-bits 16390
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator