MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsp1e 16414
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1e ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))

Proof of Theorem bitsp1e
StepHypRef Expression
1 2z 12632 . . . . 5 2 ∈ β„€
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ β„€)
3 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3zmulcld 12710 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
5 bitsp1 16413 . . 3 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2)))))
64, 5sylan 578 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2)))))
7 zcn 12601 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8 2cnd 12328 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ β„‚)
9 2ne0 12354 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 β‰  0)
117, 8, 10divcan3d 12033 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2 Β· 𝑁) / 2) = 𝑁)
1211fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2)) = (βŒŠβ€˜π‘))
13 flid 13813 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
1412, 13eqtrd 2768 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2)) = 𝑁)
1514adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2)) = 𝑁)
1615fveq2d 6906 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2))) = (bitsβ€˜π‘))
1716eleq2d 2815 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
186, 17bitrd 278 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   / cdiv 11909  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  βŒŠcfl 13795  bitscbits 16401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-bits 16404
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator