Theorem bitsp1e 15570

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1e	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11766	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 11845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		bitsp1 15569	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
6	4, 5	sylan 575	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
7		zcn 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		2cnd 11458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 11491	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan3d 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	11	fveq2d 6452	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = (⌊‘𝑁))
13		flid 12933	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
14	12, 13	eqtrd 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
15	14	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
16	15	fveq2d 6452	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) = (bits‘𝑁))
17	16	eleq2d 2845	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
18	6, 17	bitrd 271	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   / cdiv 11035  2c2 11435  ℕ₀cn0 11647  ℤcz 11733  ⌊cfl 12915  bitscbits 15557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-bits 15560

This theorem is referenced by: (None)