Theorem bitsp1e 16372

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1e	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12593	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12671	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5		bitsp1 16371	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2)))))
7		zcn 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		2cnd 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9		2ne0 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
11	7, 8, 10	divcan3d 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	11	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = (⌊‘𝑁))
13		flid 13772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
14	12, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 2)) = 𝑁)
16	15	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) = (bits‘𝑁))
17	16	eleq2d 2819	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘((2 · 𝑁) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
18	6, 17	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘(2 · 𝑁)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   / cdiv 11870  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ⌊cfl 13754  bitscbits 16359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-bits 16362

This theorem is referenced by: (None)