MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsp1o 16318
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜((2 Β· 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 12540 . . . . . 6 2 ∈ β„€
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ β„€)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42, 3zmulcld 12618 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
54peano2zd 12615 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„€)
6 bitsp1 16316 . . 3 ((((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜((2 Β· 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2)))))
75, 6sylan 581 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜((2 Β· 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2)))))
8 2re 12232 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ ℝ)
10 zre 12508 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11190 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
1211recnd 11188 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
13 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 1 ∈ β„‚)
14 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 ∈ β„‚)
15 2ne0 12262 . . . . . . . . . 10 2 β‰  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 2 β‰  0)
1712, 13, 14, 16divdird 11974 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) = (((2 Β· 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18 zcn 12509 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1918, 14, 16divcan3d 11941 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2 Β· 𝑁) / 2) = 𝑁)
2019oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (((2 Β· 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
2117, 20eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
2221fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2)) = (βŒŠβ€˜(𝑁 + (1 / 2))))
23 halfge0 12375 . . . . . . . 8 0 ≀ (1 / 2)
24 halflt1 12376 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2523, 24pm3.2i 472 . . . . . . 7 (0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
26 halfre 12372 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
27 flbi2 13728 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2826, 27mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≀ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2925, 28mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
3022, 29eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
3130adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
3231fveq2d 6847 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))) = (bitsβ€˜π‘))
3332eleq2d 2820 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(((2 Β· 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
347, 33bitrd 279 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜((2 Β· 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  βŒŠcfl 13701  bitscbits 16304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-bits 16307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator