Theorem bitsp1o 16372

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 2𝑁 + 1 is the 𝑀-th bit of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1o	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Proof of Theorem bitsp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12614	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 12611	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6		bitsp1 16370	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
7	5, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)))))
8		2re 12231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		zre 12504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
13		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
14		2cnd 12235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
15		2ne0 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
17	12, 13, 14, 16	divdird 11967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
18		zcn 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18, 14, 16	divcan3d 11934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
20	19	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
21	17, 20	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
22	21	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))))
23		halfge0 12369	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
24		halflt1 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
25	23, 24	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
26		halfre 12366	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
27		flbi2 13749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
28	26, 27	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁 ↔ (0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
29	25, 28	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 + (1 / 2))) = 𝑁)
30	22, 29	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2)) = 𝑁)
32	31	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) = (bits‘𝑁))
33	32	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(((2 · 𝑁) + 1) / 2))) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
34	7, 33	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ⌊cfl 13722  bitscbits 16358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-bits 16361

This theorem is referenced by: (None)