MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsp1 15990
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))

Proof of Theorem bitsp1
StepHypRef Expression
1 2nn 11903 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
32nncnd 11846 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
4 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
53, 4expp1d 13717 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
62, 4nnexpcld 13812 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
76nncnd 11846 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
87, 3mulcomd 10854 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀)))
95, 8eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = (2 · (2↑𝑀)))
109oveq2d 7229 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
11 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
1211zcnd 12283 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
132nnne0d 11880 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
146nnne0d 11880 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ≠ 0)
1512, 3, 7, 13, 14divdiv1d 11639 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
1610, 15eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
1716fveq2d 6721 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
1811zred 12282 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12077 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20 fldiv 13433 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2119, 6, 20syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2217, 21eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
2322breq2d 5065 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
2423notbid 321 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25 peano2nn0 12130 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
26 bitsval2 15984 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2725, 26sylan2 596 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2819flcld 13373 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
29 bitsval2 15984 . . 3 (((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3028, 29sylancom 591 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3124, 27, 303bitr4d 314 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cfl 13365  cexp 13635  cdvds 15815  bitscbits 15978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-bits 15981
This theorem is referenced by:  bitsp1e  15991  bitsp1o  15992
  Copyright terms: Public domain W3C validator