MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsp1 16377
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Proof of Theorem bitsp1
StepHypRef Expression
1 2nn 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
32nncnd 12229 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
53, 4expp1d 14115 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
62, 4nnexpcld 14211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
76nncnd 12229 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
87, 3mulcomd 11236 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑀) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑀)))
95, 8eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑀)))
109oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zcnd 12668 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
132nnne0d 12263 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
146nnne0d 12263 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
1512, 3, 7, 13, 14divdiv1d 12022 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
1610, 15eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
1716fveq2d 6888 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
1811zred 12667 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12460 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20 fldiv 13828 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2119, 6, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2217, 21eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
2322breq2d 5153 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
2423notbid 318 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25 peano2nn0 12513 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
26 bitsval2 16371 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2725, 26sylan2 592 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2819flcld 13766 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€)
29 bitsval2 16371 . . 3 (((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3028, 29sylancom 587 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3124, 27, 303bitr4d 311 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   / cdiv 11872  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  βŒŠcfl 13758  β†‘cexp 14030   βˆ₯ cdvds 16202  bitscbits 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-bits 16368
This theorem is referenced by:  bitsp1e  16378  bitsp1o  16379
  Copyright terms: Public domain W3C validator