Theorem bitsp1 16477

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))

Proof of Theorem bitsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	3, 4	expp1d 14197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
6	2, 4	nnexpcld 14294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
8	7, 3	mulcomd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀)))
9	5, 8	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = (2 · (2↑𝑀)))
10	9	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2	nnne0d 12343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
14	6	nnne0d 12343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ≠ 0)
15	12, 3, 7, 13, 14	divdiv1d 12101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
16	10, 15	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
17	16	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
18	11	zred 12747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20		fldiv 13911	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
21	19, 6, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
22	17, 21	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
23	22	breq2d 5178	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
24	23	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25		peano2nn0 12593	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
26		bitsval2 16471	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
27	25, 26	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
28	19	flcld 13849	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
29		bitsval2 16471	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
30	28, 29	sylancom 587	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
31	24, 27, 30	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302  bitscbits 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-bits 16468

This theorem is referenced by:  bitsp1e  16478  bitsp1o  16479