MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsp1 16368
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Proof of Theorem bitsp1
StepHypRef Expression
1 2nn 12281 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
32nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
4 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
53, 4expp1d 14108 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
62, 4nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
76nncnd 12224 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
87, 3mulcomd 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑀) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑀)))
95, 8eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑀)))
109oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
11 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
132nnne0d 12258 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
146nnne0d 12258 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
1512, 3, 7, 13, 14divdiv1d 12017 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
1610, 15eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
1716fveq2d 6892 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
1811zred 12662 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12455 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20 fldiv 13821 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2119, 6, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2217, 21eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
2322breq2d 5159 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
2423notbid 317 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25 peano2nn0 12508 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
26 bitsval2 16362 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2725, 26sylan2 593 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2819flcld 13759 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€)
29 bitsval2 16362 . . 3 (((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3028, 29sylancom 588 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3124, 27, 303bitr4d 310 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-bits 16359
This theorem is referenced by:  bitsp1e  16369  bitsp1o  16370
  Copyright terms: Public domain W3C validator