Theorem bitsp1 16360

Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsp1	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))

Proof of Theorem bitsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
4		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	3, 4	expp1d 14072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
6	2, 4	nnexpcld 14170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
8	7, 3	mulcomd 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀)))
9	5, 8	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = (2 · (2↑𝑀)))
10	9	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
11		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	2	nnne0d 12196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
14	6	nnne0d 12196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ≠ 0)
15	12, 3, 7, 13, 14	divdiv1d 11949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 · (2↑𝑀))))
16	10, 15	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
17	16	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
18	11	zred 12598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 12389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20		fldiv 13782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
21	19, 6, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (⌊‘((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
22	17, 21	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
23	22	breq2d 5107	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
24	23	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25		peano2nn0 12442	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
26		bitsval2 16354	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
27	25, 26	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
28	19	flcld 13720	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
29		bitsval2 16354	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
30	28, 29	sylancom 588	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((⌊‘(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
31	24, 27, 30	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1) ∈ (bits‘𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (bits‘(⌊‘(𝑁 / 2)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986   ∥ cdvds 16181  bitscbits 16348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-bits 16351

This theorem is referenced by:  bitsp1e  16361  bitsp1o  16362