MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsp1 16406
Description: The 𝑀 + 1-th bit of 𝑁 is the 𝑀-th bit of ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Proof of Theorem bitsp1
StepHypRef Expression
1 2nn 12316 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
32nncnd 12259 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
4 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
53, 4expp1d 14144 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
62, 4nnexpcld 14240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
76nncnd 12259 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
87, 3mulcomd 11266 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2↑𝑀) Β· 2) = (2 Β· (2↑𝑀)))
95, 8eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = (2 Β· (2↑𝑀)))
109oveq2d 7436 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1211zcnd 12698 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
132nnne0d 12293 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
146nnne0d 12293 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
1512, 3, 7, 13, 14divdiv1d 12052 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)) = (𝑁 / (2 Β· (2↑𝑀))))
1610, 15eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 / 2) / (2↑𝑀)))
1716fveq2d 6901 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
1811zred 12697 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12490 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
20 fldiv 13858 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ β„•) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2119, 6, 20syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))) = (βŒŠβ€˜((𝑁 / 2) / (2↑𝑀))))
2217, 21eqtr4d 2771 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) = (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀))))
2322breq2d 5160 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
2423notbid 318 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1)))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
25 peano2nn0 12543 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
26 bitsval2 16400 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 + 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2725, 26sylan2 592 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑(𝑀 + 1))))))
2819flcld 13796 . . 3 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€)
29 bitsval2 16400 . . 3 (((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3028, 29sylancom 587 . 2 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜((βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)) / (2↑𝑀)))))
3124, 27, 303bitr4d 311 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑀 + 1) ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜(βŒŠβ€˜(𝑁 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144   / cdiv 11902  β„•cn 12243  2c2 12298  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  βŒŠcfl 13788  β†‘cexp 14059   βˆ₯ cdvds 16231  bitscbits 16394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-bits 16397
This theorem is referenced by:  bitsp1e  16407  bitsp1o  16408
  Copyright terms: Public domain W3C validator