MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flid 13774
Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
flid (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid
StepHypRef Expression
1 zre 12561 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 flle 13765 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
41leidd 11779 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴𝐴)
5 flge 13771 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴𝐴𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
61, 5mpancom 685 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴𝐴𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
74, 6mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
8 reflcl 13762 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
91, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109, 1letri3d 11355 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
113, 7, 10mpbir2and 710 1 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cfv 6534  cr 11106  cle 11248  cz 12557  cfl 13756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fl 13758
This theorem is referenced by:  flidm  13775  flidz  13776  ceilid  13817  fleqceilz  13820  zmod10  13853  bits0  16372  bitsp1e  16376  bitsuz  16418  phiprmpw  16714  fldivp1  16835  prmreclem4  16857  dvfsumlem1  25904  dvfsumlem3  25907  ppival2  27000  ppival2g  27001  chtprm  27025  chtnprm  27026  chpp1  27027  chtdif  27030  cht1  27037  chp1  27039  prmorcht  27050  logfaclbnd  27095  logfacbnd3  27096  logexprlim  27098  rplogsumlem2  27358  log2sumbnd  27417  logdivbnd  27429  pntrsumbnd  27439  pntrlog2bndlem1  27450  pntrlog2bndlem4  27453  chpvalz  34158  chtvalz  34159  dnizphlfeqhlf  35852  lefldiveq  44547  fourierdlem65  45432  zefldiv2ALTV  46874  bits0ALTV  46892  zefldiv2  47464  flnn0div2ge  47467  flnn0ohalf  47468  nnlog2ge0lt1  47500  logbpw2m1  47501  blenpw2  47512  blen1  47518  blen2  47519  blengt1fldiv2p1  47527  dignn0fr  47535  dig0  47540  digexp  47541  0dig2nn0e  47546  0dig2nn0o  47547
  Copyright terms: Public domain W3C validator