Theorem flid 13777

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12540	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flle 13768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4	1	leidd 11751	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		flge 13774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	1, 5	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	4, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
8		reflcl 13765	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9, 1	letri3d 11323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
11	3, 7, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  ℝcr 11074   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  flidm  13778  flidz  13779  ceilid  13820  fleqceilz  13823  zmod10  13856  bits0  16405  bitsp1e  16409  bitsuz  16451  phiprmpw  16753  fldivp1  16875  prmreclem4  16897  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem3  25942  ppival2  27045  ppival2g  27046  chtprm  27070  chtnprm  27071  chpp1  27072  chtdif  27075  cht1  27082  chp1  27084  prmorcht  27095  logfaclbnd  27140  logfacbnd3  27141  logexprlim  27143  rplogsumlem2  27403  log2sumbnd  27462  logdivbnd  27474  pntrsumbnd  27484  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem4  27498  chpvalz  34626  chtvalz  34627  dnizphlfeqhlf  36471  lefldiveq  45297  fourierdlem65  46176  zefldiv2ALTV  47666  bits0ALTV  47684  zefldiv2  48523  flnn0div2ge  48526  flnn0ohalf  48527  nnlog2ge0lt1  48559  logbpw2m1  48560  blenpw2  48571  blen1  48577  blen2  48578  blengt1fldiv2p1  48586  dignn0fr  48594  dig0  48599  digexp  48600  0dig2nn0e  48605  0dig2nn0o  48606