Theorem flid 13823

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flle 13814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4	1	leidd 11801	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		flge 13820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	1, 5	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	4, 6	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
8		reflcl 13811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9, 1	letri3d 11375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
11	3, 7, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  ℝcr 11126   ≤ cle 11268  ℤcz 12586  ⌊cfl 13805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fl 13807

This theorem is referenced by:  flidm  13824  flidz  13825  ceilid  13866  fleqceilz  13869  zmod10  13902  bits0  16445  bitsp1e  16449  bitsuz  16491  phiprmpw  16793  fldivp1  16915  prmreclem4  16937  dvfsumlem1  25982  dvfsumlem3  25985  ppival2  27088  ppival2g  27089  chtprm  27113  chtnprm  27114  chpp1  27115  chtdif  27118  cht1  27125  chp1  27127  prmorcht  27138  logfaclbnd  27183  logfacbnd3  27184  logexprlim  27186  rplogsumlem2  27446  log2sumbnd  27505  logdivbnd  27517  pntrsumbnd  27527  pntrlog2bndlem1  27538  pntrlog2bndlem4  27541  chpvalz  34606  chtvalz  34607  dnizphlfeqhlf  36440  lefldiveq  45269  fourierdlem65  46148  zefldiv2ALTV  47623  bits0ALTV  47641  zefldiv2  48458  flnn0div2ge  48461  flnn0ohalf  48462  nnlog2ge0lt1  48494  logbpw2m1  48495  blenpw2  48506  blen1  48512  blen2  48513  blengt1fldiv2p1  48521  dignn0fr  48529  dig0  48534  digexp  48535  0dig2nn0e  48540  0dig2nn0o  48541