Theorem flid 13832

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flle 13823	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4	1	leidd 11768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		flge 13829	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	1, 5	mpancom 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	4, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
8		reflcl 13820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9, 1	letri3d 11340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
11	3, 7, 10	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  ℝcr 11087   ≤ cle 11232  ℤcz 12582  ⌊cfl 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fl 13816

This theorem is referenced by:  flidm  13833  flidz  13834  ceilid  13875  fleqceilz  13878  zmod10  13911  bits0  16476  bitsp1e  16480  bitsuz  16522  phiprmpw  16825  fldivp1  16947  prmreclem4  16969  dvfsumlem1  26146  dvfsumlem3  26148  ppival2  27250  ppival2g  27251  chtprm  27275  chtnprm  27276  chpp1  27277  chtdif  27280  cht1  27287  chp1  27289  prmorcht  27300  logfaclbnd  27344  logfacbnd3  27345  logexprlim  27347  rplogsumlem2  27607  log2sumbnd  27666  logdivbnd  27678  pntrsumbnd  27688  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem4  27702  chpvalz  34932  chtvalz  34933  dnizphlfeqhlf  36927  lefldiveq  45869  fourierdlem65  46743  ppivalnnprm  48232  ppivalnnnprmge6  48233  zefldiv2ALTV  48281  bits0ALTV  48299  zefldiv2  49161  flnn0div2ge  49164  flnn0ohalf  49165  nnlog2ge0lt1  49197  logbpw2m1  49198  blenpw2  49209  blen1  49215  blen2  49216  blengt1fldiv2p1  49224  dignn0fr  49232  dig0  49237  digexp  49238  0dig2nn0e  49243  0dig2nn0o  49244