Theorem flid 12991

Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
flid	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem flid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flle 12982	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
4	1	leidd 11005	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ 𝐴)
5		flge 12988	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
6	1, 5	mpancom 675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴)))
7	4, 6	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))
8		reflcl 12979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9, 1	letri3d 10580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (⌊‘𝐴))))
11	3, 7, 10	mpbir2and 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ℝcr 10332   ≤ cle 10473  ℤcz 11791  ⌊cfl 12973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fl 12975

This theorem is referenced by:  flidm  12992  flidz  12993  ceilid  13032  fleqceilz  13035  zmod10  13068  bits0  15635  bitsp1e  15639  bitsuz  15681  phiprmpw  15967  fldivp1  16087  prmreclem4  16109  dvfsumlem1  24338  dvfsumlem3  24340  ppival2  25419  ppival2g  25420  chtprm  25444  chtnprm  25445  chpp1  25446  chtdif  25449  cht1  25456  chp1  25458  prmorcht  25469  logfaclbnd  25512  logfacbnd3  25513  logexprlim  25515  rplogsumlem2  25775  log2sumbnd  25834  logdivbnd  25846  pntrsumbnd  25856  pntrlog2bndlem1  25867  pntrlog2bndlem4  25870  chpvalz  31576  chtvalz  31577  dnizphlfeqhlf  33364  lefldiveq  41013  fourierdlem65  41912  zefldiv2ALTV  43219  bits0ALTV  43237  zefldiv2  43983  flnn0div2ge  43986  flnn0ohalf  43987  nnlog2ge0lt1  44019  logbpw2m1  44020  blenpw2  44031  blen1  44037  blen2  44038  blengt1fldiv2p1  44046  dignn0fr  44054  dig0  44059  digexp  44060  0dig2nn0e  44065  0dig2nn0o  44066