Theorem seglelin 35549

Description: Linearity law for segment comparison. Theorem 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seglelin	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∨ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩))

Proof of Theorem seglelin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		segcon2 35538	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩))
2		andir 1005	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
3		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpl2l 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		simpl3 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))
7		cgrcom 35423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl121anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))
9	8	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
10	9	orbi2d 912	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))))
11	2, 10	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))))
12	11	rexbidva 3168	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))))
13		brsegle2 35542	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
14		brsegle 35541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
15	14	3com23 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
16	13, 15	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∨ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))))
17		r19.43 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩)))
18	16, 17	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∨ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∨ (𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩Cgr⟨𝐴, 𝑥⟩))))
19	12, 18	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∧ ⟨𝐴, 𝑥⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∨ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
20	1, 19	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg≤ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∨ ⟨𝐶, 𝐷⟩ Seg≤ ⟨𝐴, 𝐵⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  ⟨cop 4626   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  ℕcn 12208  𝔼cee 28581   Btwn cbtwn 28582  Cgrccgr 28583   Seg_≤ csegle 35539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ee 28584  df-btwn 28585  df-cgr 28586  df-ofs 35416  df-colinear 35472  df-ifs 35473  df-cgr3 35474  df-fs 35475  df-segle 35540

This theorem is referenced by: (None)