MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem3 12728
Description: Lemma for rpnnen1 12732. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q ℚ ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
21mptex 7108 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
43fvmpt2 6895 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
52, 4mpan2 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
65fveq1d 6785 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘))
7 ovex 7317 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V
8 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
98fvmpt2 6895 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
107, 9mpan2 688 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
116, 10sylan9eq 2799 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
1312rabeq2i 3423 . . . . . . . 8 (𝑛𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
14 zre 12332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 nnre 11989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
18 nngt0 12013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
1917, 18jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
2019ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
21 ltdivmul 11859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2317ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24 remulcl 10965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
26 ltle 11072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2822, 27sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2928impr 455 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3013, 29sylan2b 594 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3130ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
32 ssrab2 4014 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
3312, 32eqsstri 3956 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℤ
34 zssre 12335 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
3533, 34sstri 3931 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℝ)
3724ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
39 btwnz 12432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4222rexbidva 3226 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
4341, 42mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
44 rabn0 4320 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4612neeq1i 3009 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4745, 46sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
48 breq2 5079 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛𝑦𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
4948ralbidv 3113 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛𝑇 𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5049rspcev 3562 . . . . . . . 8 (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
52 suprleub 11950 . . . . . . 7 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦) ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1372 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5431, 53mpbird 256 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥))
5512, 3rpnnen1lem2 12726 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5655zred 12435 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5819adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
59 ledivmul 11860 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6154, 60mpbird 256 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥)
6211, 61eqbrtrd 5097 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6362ralrimiva 3104 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 ℚ ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 12727 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
6664, 1elmap 8668 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
6765, 66sylib 217 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
68 ffn 6609 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → (𝐹𝑥) Fn ℕ)
69 breq1 5078 . . . 4 (𝑛 = ((𝐹𝑥)‘𝑘) → (𝑛𝑥 ↔ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7069ralrn 6973 . . 3 ((𝐹𝑥) Fn ℕ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7263, 71mpbird 256 1 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3433  wss 3888  c0 4257   class class class wbr 5075  cmpt 5158  ran crn 5591   Fn wfn 6432  wf 6433  cfv 6437  (class class class)co 7284  m cmap 8624  supcsup 9208  cr 10879  0cc0 10880   · cmul 10885   < clt 11018  cle 11019   / cdiv 11641  cn 11982  cz 12328  cq 12697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-q 12698
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12729  rpnnen1lem5  12730
  Copyright terms: Public domain W3C validator