MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen1lem3 12965
Description: Lemma for rpnnen1 12969. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 β„• ∈ V
21mptex 7227 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
43fvmpt2 7009 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
52, 4mpan2 689 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
65fveq1d 6893 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜))
7 ovex 7444 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
98fvmpt2 7009 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
107, 9mpan2 689 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
116, 10sylan9eq 2792 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
1312reqabi 3454 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯))
14 zre 12564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 nnre 12221 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
18 nngt0 12245 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
1917, 18jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
2019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
21 ltdivmul 12091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2317ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
24 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
26 ltle 11304 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2822, 27sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2928impr 455 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3013, 29sylan2b 594 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3130ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
32 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} βŠ† β„€
3312, 32eqsstri 4016 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† β„€
34 zssre 12567 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3991 . . . . . . . 8 𝑇 βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
3724ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
39 btwnz 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (π‘˜ Β· π‘₯) < 𝑛))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4222rexbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
4341, 42mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
44 rabn0 4385 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4612neeq1i 3005 . . . . . . . 8 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4745, 46sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
48 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
4948ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5049rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
52 suprleub 12182 . . . . . . 7 (((𝑇 βŠ† ℝ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦) ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1373 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5431, 53mpbird 256 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
5512, 3rpnnen1lem2 12963 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€)
5655zred 12668 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5819adantl 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
59 ledivmul 12092 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6154, 60mpbird 256 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯)
6211, 61eqbrtrd 5170 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
6362ralrimiva 3146 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 β„š ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 12964 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
6664, 1elmap 8867 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
6765, 66sylib 217 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
68 ffn 6717 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn β„•)
69 breq1 5151 . . . 4 (𝑛 = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7069ralrn 7089 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7263, 71mpbird 256 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„•cn 12214  β„€cz 12560  β„šcq 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-q 12935
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12966  rpnnen1lem5  12967
  Copyright terms: Public domain W3C validator