MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen1lem3 12959
Description: Lemma for rpnnen1 12963. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 β„• ∈ V
21mptex 7221 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
43fvmpt2 7006 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
52, 4mpan2 689 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
65fveq1d 6890 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜))
7 ovex 7438 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
98fvmpt2 7006 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
107, 9mpan2 689 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
116, 10sylan9eq 2792 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
1312reqabi 3454 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯))
14 zre 12558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
18 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
1917, 18jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
2019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
21 ltdivmul 12085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2317ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
24 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
26 ltle 11298 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2822, 27sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2928impr 455 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3013, 29sylan2b 594 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3130ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
32 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} βŠ† β„€
3312, 32eqsstri 4015 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† β„€
34 zssre 12561 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3990 . . . . . . . 8 𝑇 βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
3724ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
39 btwnz 12661 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (π‘˜ Β· π‘₯) < 𝑛))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4222rexbidva 3176 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
4341, 42mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
44 rabn0 4384 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4612neeq1i 3005 . . . . . . . 8 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4745, 46sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
48 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
4948ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5049rspcev 3612 . . . . . . . 8 (((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
52 suprleub 12176 . . . . . . 7 (((𝑇 βŠ† ℝ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦) ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1373 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5431, 53mpbird 256 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
5512, 3rpnnen1lem2 12957 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€)
5655zred 12662 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5819adantl 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
59 ledivmul 12086 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6154, 60mpbird 256 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯)
6211, 61eqbrtrd 5169 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
6362ralrimiva 3146 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 β„š ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 12958 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
6664, 1elmap 8861 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
6765, 66sylib 217 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
68 ffn 6714 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn β„•)
69 breq1 5150 . . . 4 (𝑛 = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7069ralrn 7086 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7263, 71mpbird 256 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  supcsup 9431  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„šcq 12928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-q 12929
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12960  rpnnen1lem5  12961
  Copyright terms: Public domain W3C validator