MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem3 12366
Description: Lemma for rpnnen1 12370. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q ℚ ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
21mptex 6977 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
43fvmpt2 6771 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
52, 4mpan2 687 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
65fveq1d 6665 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘))
7 ovex 7178 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V
8 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
98fvmpt2 6771 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
107, 9mpan2 687 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
116, 10sylan9eq 2873 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
1312rabeq2i 3485 . . . . . . . 8 (𝑛𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
14 zre 11973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
18 nngt0 11656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
1917, 18jca 512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
2019ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
21 ltdivmul 11503 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2317ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
26 ltle 10717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2822, 27sylbid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2928impr 455 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3013, 29sylan2b 593 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3130ralrimiva 3179 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
32 ssrab2 4053 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
3312, 32eqsstri 3998 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℤ
34 zssre 11976 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
3533, 34sstri 3973 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℝ)
3724ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
39 btwnz 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4222rexbidva 3293 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
4341, 42mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
44 rabn0 4336 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
4543, 44sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4612neeq1i 3077 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4745, 46sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
48 breq2 5061 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛𝑦𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
4948ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛𝑇 𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5049rspcev 3620 . . . . . . . 8 (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
52 suprleub 11595 . . . . . . 7 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦) ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1365 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5431, 53mpbird 258 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥))
5512, 3rpnnen1lem2 12364 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5655zred 12075 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5819adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
59 ledivmul 11504 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6154, 60mpbird 258 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥)
6211, 61eqbrtrd 5079 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6362ralrimiva 3179 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 ℚ ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 12365 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
6664, 1elmap 8424 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
6765, 66sylib 219 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
68 ffn 6507 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → (𝐹𝑥) Fn ℕ)
69 breq1 5060 . . . 4 (𝑛 = ((𝐹𝑥)‘𝑘) → (𝑛𝑥 ↔ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7069ralrn 6846 . . 3 ((𝐹𝑥) Fn ℕ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7263, 71mpbird 258 1 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969  cq 12336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-q 12337
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12367  rpnnen1lem5  12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator