Theorem rpnnen1lem3 12894

Description: Lemma for rpnnen1 12898. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem3	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen1lem.n	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	mptex 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3		rpnnen1lem.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4	3	fvmpt2 6952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
5	2, 4	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
6	5	fveq1d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘))
7		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
9	8	fvmpt2 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
10	7, 9	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
11	6, 10	sylan9eq 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
12		rpnnen1lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
13	12	reqabi 3421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
14		zre 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		nnre 12154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
18		nngt0 12178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
20	19	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
21		ltdivmul 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
23	17	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24		remulcl 11113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
25	23, 16, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
26		ltle 11223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
27	15, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
28	22, 27	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
29	28	impr 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
30	13, 29	sylan2b 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
31	30	ralrimiva 3127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
32		ssrab2 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
33	12, 32	eqsstri 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ ℤ
34		zssre 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
35	33, 34	sstri 3942	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ⊆ ℝ
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℝ)
37	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
38	17, 37	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
39		btwnz 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
40	39	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
42	22	rexbidva 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
43	41, 42	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
44		rabn0 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
45	43, 44	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
46	12	neeq1i 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
47	45, 46	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
48		breq2 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
49	48	ralbidv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
50	49	rspcev 3575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
51	38, 31, 50	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
52		suprleub 12110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦) ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
53	36, 47, 51, 38, 52	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
54	31, 53	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥))
55	12, 3	rpnnen1lem2 12892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
56	55	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
58	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
59		ledivmul 12020	. . . . . 6 ⊢ ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
61	54, 60	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥)
62	11, 61	eqbrtrd 5119	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
63	62	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
64		rpnnen1lem.q	. . . . 5 ⊢ ℚ ∈ V
65	12, 3, 1, 64	rpnnen1lem1 12893	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
66	64, 1	elmap 8811	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ) ↔ (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
67	65, 66	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ)
68		ffn 6661	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥):ℕ⟶ℚ → (𝐹‘𝑥) Fn ℕ)
69		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝑛 = ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
70	69	ralrn 7033	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑥) Fn ℕ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
71	67, 68, 70	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
72	63, 71	mpbird 257	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹‘𝑥)𝑛 ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3398  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8765  supcsup 9345  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℤcz 12490  ℚcq 12863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-q 12864

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12895  rpnnen1lem5  12896