MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen1lem3 12963
Description: Lemma for rpnnen1 12967. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 β„• ∈ V
21mptex 7225 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
43fvmpt2 7010 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
52, 4mpan2 690 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
65fveq1d 6894 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜))
7 ovex 7442 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
98fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
107, 9mpan2 690 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
116, 10sylan9eq 2793 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
1312reqabi 3455 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯))
14 zre 12562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
18 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
1917, 18jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
21 ltdivmul 12089 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
2317ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
24 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
26 ltle 11302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2715, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2822, 27sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
2928impr 456 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3013, 29sylan2b 595 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
3130ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
32 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} βŠ† β„€
3312, 32eqsstri 4017 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† β„€
34 zssre 12565 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
3533, 34sstri 3992 . . . . . . . 8 𝑇 βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
3724ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
39 btwnz 12665 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (π‘˜ Β· π‘₯) < 𝑛))
4039simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
4222rexbidva 3177 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
4341, 42mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
44 rabn0 4386 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
4543, 44sylibr 233 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4612neeq1i 3006 . . . . . . . 8 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
4745, 46sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
48 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
4948ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5049rspcev 3613 . . . . . . . 8 (((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
52 suprleub 12180 . . . . . . 7 (((𝑇 βŠ† ℝ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦) ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1374 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯) ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
5431, 53mpbird 257 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
5512, 3rpnnen1lem2 12961 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€)
5655zred 12666 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 484 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5819adantl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
59 ledivmul 12090 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
6154, 60mpbird 257 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ≀ π‘₯)
6211, 61eqbrtrd 5171 . . 3 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
6362ralrimiva 3147 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 β„š ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 12962 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
6664, 1elmap 8865 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
6765, 66sylib 217 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
68 ffn 6718 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn β„•)
69 breq1 5152 . . . 4 (𝑛 = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7069ralrn 7090 . . 3 ((πΉβ€˜π‘₯) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
7263, 71mpbird 257 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„€cz 12558  β„šcq 12932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-q 12933
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  12964  rpnnen1lem5  12965
  Copyright terms: Public domain W3C validator