MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatval21sw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatval21sw 14031
Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccatval21sw ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Proof of Theorem ccatval21sw
StepHypRef Expression
1 lencl 13977 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
21nn0zd 12169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3 lennncl 13978 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4 simpl 486 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5 nnz 12088 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6 zaddcl 12106 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
75, 6sylan2 596 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
8 nngt0 11750 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → 0 < (♯‘𝐵))
98adantl 485 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → 0 < (♯‘𝐵))
10 nnre 11726 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
11 zre 12069 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12 ltaddpos 11211 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
1310, 11, 12syl2anr 600 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
149, 13mpbid 235 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
154, 7, 143jca 1129 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
162, 3, 15syl2an 599 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17163impb 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18 fzolb 13138 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
1917, 18sylibr 237 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20 ccatval2 14024 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
2119, 20syld3an3 1410 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
221nn0cnd 12041 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
2322subidd 11066 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴)) = 0)
2423fveq2d 6681 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
25243ad2ant1 1134 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
2621, 25eqtrd 2774 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  c0 4212   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7173  cr 10617  0cc0 10618   + caddc 10621   < clt 10756  cmin 10951  cn 11719  cz 12065  ..^cfzo 13127  chash 13785  Word cword 13958   ++ cconcat 14014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-hash 13786  df-word 13959  df-concat 14015
This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  27929
  Copyright terms: Public domain W3C validator