Theorem ccatval21sw 14513

Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval21sw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Proof of Theorem ccatval21sw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14460	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12517	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		lennncl 14461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		nnz 12513	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6		zaddcl 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
8		nngt0 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → 0 < (♯‘𝐵))
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → 0 < (♯‘𝐵))
10		nnre 12156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
11		zre 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		ltaddpos 11631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
13	10, 11, 12	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	4, 7, 14	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	2, 3, 15	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13585	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		ccatval2 14505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
21	19, 20	syld3an3 1412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
22	1	nn0cnd 12468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
23	22	subidd 11484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴)) = 0)
24	23	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
25	24	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
26	21, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   + caddc 11033   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℤcz 12492  ..^cfzo 13574  ♯chash 14257  Word cword 14440   ++ cconcat 14497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  30047