Theorem ccatval21sw 14485

Description: The first symbol of the right (nonempty) half of a concatenated word. (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval21sw	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Proof of Theorem ccatval21sw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 14432	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12486	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3		lennncl 14433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		nnz 12481	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
6		zaddcl 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
8		nngt0 12148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → 0 < (♯‘𝐵))
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → 0 < (♯‘𝐵))
10		nnre 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
11		zre 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
12		ltaddpos 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
13	10, 11, 12	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (0 < (♯‘𝐵) ↔ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
15	4, 7, 14	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
16	2, 3, 15	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
17	16	3impb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18		fzolb 13557	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) < ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
19	17, 18	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
20		ccatval2 14477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
21	19, 20	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))))
22	1	nn0cnd 12436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
23	22	subidd 11452	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴)) = 0)
24	23	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
25	24	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐵‘((♯‘𝐴) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘0))
26	21, 25	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998   + caddc 11001   < clt 11138   − cmin 11336  ℕcn 12117  ℤcz 12460  ..^cfzo 13546  ♯chash 14229  Word cword 14412   ++ cconcat 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-concat 14470

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  29959