Theorem lennncl 14547

Description: The length of a nonempty word is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lennncl	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)

Proof of Theorem lennncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14545	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashnncl 14379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	biimpar 481	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  ‘cfv 6521  Fincfn 8927  ℕcn 12210  ♯chash 14343  Word cword 14526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527

This theorem is referenced by:  len0nnbi  14564  lswcl  14581  ccatval1lsw  14598  ccatval21sw  14599  lswccatn0lsw  14605  ccat1st1st  14642  pfxtrcfv  14706  pfxsuff1eqwrdeq  14712  pfx1  14716  wrdeqs1cat  14733  cshw0  14807  cshwmodn  14808  cshwn  14810  cshwlen  14812  cshwidx0mod  14818  scshwfzeqfzo  14839  lswco  14852  gsumwsubmcl  18871  gsumsgrpccat  18874  efgsf  19769  efgsrel  19774  efgs1b  19776  efgredlema  19780  efgredlemd  19784  efgrelexlemb  19790  clwwlkccatlem  30191  clwwlkwwlksb  30256  cycpmrn  33323  signsvtn0  34864  signstfvneq0  34866  signsvfn  34876  signsvtp  34877  signsvtn  34878  signsvfpn  34879  signsvfnn  34880  signlem0  34881