Theorem lennncl 14591

Description: The length of a nonempty word is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lennncl	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)

Proof of Theorem lennncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14589	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashnncl 14422	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	biimpar 483	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  Fincfn 8949  ℕcn 12250  ♯chash 14386  Word cword 14570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571

This theorem is used by:  len0nnbi  14608  lswcl  14625  ccatval1lsw  14642  ccatval21sw  14643  lswccatn0lsw  14650  ccat1st1st  14688  pfxtrcfv  14754  pfxsuff1eqwrdeq  14760  pfx1  14764  wrdeqs1cat  14781  cshw0  14857  cshwmodn  14858  cshwn  14860  cshwlen  14862  cshwidx0mod  14868  scshwfzeqfzo  14889  lswco  14902  gsumwsubmcl  18935  gsumsgrpccat  18938  efgsf  19845  efgsrel  19850  efgs1b  19852  efgredlema  19856  efgredlemd  19860  efgrelexlemb  19866  clwwlkccatlem  30409  clwwlkwwlksb  30474  cycpmrn  33529  signsvtn0  35024  signstfvneq0  35026  signsvfn  35036  signsvtp  35037  signsvtn  35038  signsvfpn  35039  signsvfnn  35040  signlem0  35041