Theorem constcncfg 45916

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constcncfg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constcncfg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
constcncfg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem constcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constcncfg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		constcncfg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		constcncfg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
4		cncfmptc 24833	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  –cn→ccncf 24797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-xms 24236  df-ms 24237  df-cncf 24799

This theorem is referenced by:  addccncf2  45920  negcncfg  45925  fprodcncf  45944  itgsinexplem1  45998  itgcoscmulx  46013  itgsincmulx  46018  itgiccshift  46024  itgperiod  46025  itgsbtaddcnst  46026  dirkeritg  46146  dirkercncflem2  46148  dirkercncflem4  46150  fourierdlem16  46167  fourierdlem18  46169  fourierdlem21  46172  fourierdlem22  46173  fourierdlem39  46190  fourierdlem40  46191  fourierdlem58  46208  fourierdlem59  46209  fourierdlem62  46212  fourierdlem68  46218  fourierdlem73  46223  fourierdlem76  46226  fourierdlem78  46228  fourierdlem83  46233  fourierdlem93  46243  fourierdlem111  46261  sqwvfoura  46272  sqwvfourb  46273  fouriersw  46275  etransclem18  46296  etransclem22  46300  etransclem34  46312  etransclem46  46324