Theorem constcncfg 46407

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constcncfg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constcncfg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
constcncfg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem constcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constcncfg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		constcncfg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		constcncfg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
4		cncfmptc 24962	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  –cn→ccncf 24926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-rest 17442  df-topn 17443  df-topgen 17463  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-xms 24368  df-ms 24369  df-cncf 24928

This theorem is referenced by:  addccncf2  46411  negcncfg  46416  fprodcncf  46435  itgsinexplem1  46489  itgcoscmulx  46504  itgsincmulx  46509  itgiccshift  46515  itgperiod  46516  itgsbtaddcnst  46517  dirkeritg  46637  dirkercncflem2  46639  dirkercncflem4  46641  fourierdlem16  46658  fourierdlem18  46660  fourierdlem21  46663  fourierdlem22  46664  fourierdlem39  46681  fourierdlem40  46682  fourierdlem58  46699  fourierdlem59  46700  fourierdlem62  46703  fourierdlem68  46709  fourierdlem73  46714  fourierdlem76  46717  fourierdlem78  46719  fourierdlem83  46724  fourierdlem93  46734  fourierdlem111  46752  sqwvfoura  46763  sqwvfourb  46764  fouriersw  46766  etransclem18  46787  etransclem22  46791  etransclem34  46803  etransclem46  46815