Theorem constcncfg 46619

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
constcncfg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
constcncfg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
constcncfg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
constcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem constcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constcncfg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
2		constcncfg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		constcncfg.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
4		cncfmptc 25100	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  –cn→ccncf 25064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-struct 17224  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-rest 17492  df-topn 17493  df-topgen 17513  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-xms 24506  df-ms 24507  df-cncf 25066

This theorem is used by:  addccncf2  46623  negcncfg  46628  fprodcncf  46647  itgsinexplem1  46701  itgcoscmulx  46716  itgsincmulx  46721  itgiccshift  46727  itgperiod  46728  itgsbtaddcnst  46729  dirkeritg  46849  dirkercncflem2  46851  dirkercncflem4  46853  fourierdlem16  46870  fourierdlem18  46872  fourierdlem21  46875  fourierdlem22  46876  fourierdlem39  46893  fourierdlem40  46894  fourierdlem58  46911  fourierdlem59  46912  fourierdlem62  46915  fourierdlem68  46921  fourierdlem73  46926  fourierdlem76  46929  fourierdlem78  46931  fourierdlem83  46936  fourierdlem93  46946  fourierdlem111  46964  sqwvfoura  46975  sqwvfourb  46976  fouriersw  46978  etransclem18  46999  etransclem22  47003  etransclem34  47015  etransclem46  47027