Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constcncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constcncfg 42307
Description: A constant function is a continuous function on . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constcncfg.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
constcncfg.b (𝜑𝐵𝐶)
constcncfg.c (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
Assertion
Ref Expression
constcncfg (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem constcncfg
StepHypRef Expression
1 constcncfg.b . 2 (𝜑𝐵𝐶)
2 constcncfg.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 constcncfg.c . 2 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
4 cncfmptc 23495 . 2 ((𝐵𝐶𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  wss 3910  cmpt 5119  (class class class)co 7130  cc 10512  cnccncf 23459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-rest 16674  df-topn 16675  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-xms 22905  df-ms 22906  df-cncf 23461
This theorem is referenced by:  addccncf2  42311  negcncfg  42316  fprodcncf  42335  itgsinexplem1  42389  itgcoscmulx  42404  itgsincmulx  42409  itgiccshift  42415  itgperiod  42416  itgsbtaddcnst  42417  dirkeritg  42537  dirkercncflem2  42539  dirkercncflem4  42541  fourierdlem16  42558  fourierdlem18  42560  fourierdlem21  42563  fourierdlem22  42564  fourierdlem39  42581  fourierdlem40  42582  fourierdlem58  42599  fourierdlem59  42600  fourierdlem62  42603  fourierdlem68  42609  fourierdlem73  42614  fourierdlem76  42617  fourierdlem78  42619  fourierdlem83  42624  fourierdlem93  42634  fourierdlem111  42652  sqwvfoura  42663  sqwvfourb  42664  fouriersw  42666  etransclem18  42687  etransclem22  42691  etransclem34  42703  etransclem46  42715
  Copyright terms: Public domain W3C validator