MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptc 24227
Description: A constant function is a continuous function on . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24098 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 resttopon 22464 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
52, 3, 4sylancr 588 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
7 resttopon 22464 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
82, 6, 7sylancr 588 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
9 simp1 1137 . . 3 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝐴𝑇)
105, 8, 9cnmptc 22965 . 2 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
11 eqid 2738 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
12 eqid 2738 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)
131, 11, 12cncfcn 24225 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆cn𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
14133adant1 1131 . 2 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆cn𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
1510, 14eleqtrrd 2842 1 ((𝐴𝑇𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3909  cmpt 5187  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  t crest 17262  TopOpenctopn 17263  fldccnfld 20749  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527  cnccncf 24191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-q 12829  df-rp 12871  df-xneg 12988  df-xadd 12989  df-xmul 12990  df-fz 13380  df-seq 13862  df-exp 13923  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-xms 23625  df-ms 23626  df-cncf 24193
This theorem is referenced by:  addccncf  24232  sub1cncf  24234  sub2cncf  24235  negcncf  24237  dvidlem  25231  dvcnp2  25236  dvmulbr  25255  cmvth  25307  dvlipcn  25310  lhop1lem  25329  dvfsumle  25337  dvfsumge  25338  dvfsumabs  25339  dvfsumlem2  25343  itgpowd  25366  taylthlem2  25685  loglesqrt  26063  lgamgulmlem2  26331  pntlem3  26909  efmul2picn  33013  circlemeth  33057  logdivsqrle  33067  ftc1cnnclem  36081  ftc2nc  36092  areacirclem3  36100  areacirclem4  36101  areacirc  36103  constcncf  36153  lcmineqlem10  40427  lcmineqlem12  40429  arearect  41452  areaquad  41453  constcncfg  44008  add1cncf  44037  add2cncf  44038  sub1cncfd  44039  sub2cncfd  44040  itgsbtaddcnst  44118  dirkeritg  44238
  Copyright terms: Public domain W3C validator