MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfmptc 24852
Description: A constant function is a continuous function on β„‚. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇
Proof of Theorem cncfmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24719 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 resttopon 23085 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
52, 3, 4sylancr 585 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
7 resttopon 23085 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
82, 6, 7sylancr 585 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
9 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
105, 8, 9cnmptc 23586 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
11 eqid 2728 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
12 eqid 2728 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)
131, 11, 12cncfcn 24850 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
14133adant1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
1510, 14eleqtrrd 2832 1 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-rest 17411  df-topn 17412  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-xms 24246  df-ms 24247  df-cncf 24818
This theorem is referenced by:  addccncf  24857  sub1cncf  24859  sub2cncf  24860  negcncf  24862  negcncfOLD  24863  dvidlem  25864  dvcnp2  25869  dvcnp2OLD  25870  dvmulbr  25889  dvmulbrOLD  25890  cmvth  25943  cmvthOLD  25944  dvlipcn  25947  lhop1lem  25966  dvfsumle  25974  dvfsumleOLD  25975  dvfsumge  25976  dvfsumabs  25977  dvfsumlem2  25981  dvfsumlem2OLD  25982  itgpowd  26005  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  loglesqrt  26713  lgamgulmlem2  26982  pntlem3  27562  efmul2picn  34261  circlemeth  34305  logdivsqrle  34315  ftc1cnnclem  37197  ftc2nc  37208  areacirclem3  37216  areacirclem4  37217  areacirc  37219  constcncf  37268  lcmineqlem10  41541  lcmineqlem12  41543  arearect  42674  areaquad  42675  constcncfg  45289  add1cncf  45318  add2cncf  45319  sub1cncfd  45320  sub2cncfd  45321  itgsbtaddcnst  45399  dirkeritg  45519
  Copyright terms: Public domain W3C validator