Theorem cncfmptc 24920

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24787	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		resttopon 23153	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
5	2, 3, 4	sylancr 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
7		resttopon 23153	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
8	2, 6, 7	sylancr 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
9		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	5, 8, 9	cnmptc 23654	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
12		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)
13	1, 11, 12	cncfcn 24918	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
14	13	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
15	10, 14	eleqtrrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5228  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℂcc 11147   ↾_t crest 17430  TopOpenctopn 17431  ℂ_fldccnfld 21339  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23216  –cn→ccncf 24884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-rest 17432  df-topn 17433  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-xms 24314  df-ms 24315  df-cncf 24886

This theorem is referenced by:  addccncf  24925  sub1cncf  24927  sub2cncf  24928  negcncf  24930  negcncfOLD  24931  dvidlem  25932  dvcnp2  25937  dvcnp2OLD  25938  dvmulbr  25957  dvmulbrOLD  25958  cmvth  26011  cmvthOLD  26012  dvlipcn  26015  lhop1lem  26034  dvfsumle  26042  dvfsumleOLD  26043  dvfsumge  26044  dvfsumabs  26045  dvfsumlem2  26049  dvfsumlem2OLD  26050  itgpowd  26073  taylthlem2  26399  taylthlem2OLD  26400  loglesqrt  26786  lgamgulmlem2  27055  pntlem3  27635  efmul2picn  34455  circlemeth  34499  logdivsqrle  34509  ftc1cnnclem  37405  ftc2nc  37416  areacirclem3  37424  areacirclem4  37425  areacirc  37427  constcncf  37476  lcmineqlem10  41750  lcmineqlem12  41752  arearect  42917  areaquad  42918  constcncfg  45529  add1cncf  45558  add2cncf  45559  sub1cncfd  45560  sub2cncfd  45561  itgsbtaddcnst  45639  dirkeritg  45759