Theorem cncfmptc 23190

Description: A constant function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 23062	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3		simp2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4		resttopon 21441	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
6		simp3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
7		resttopon 21441	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) ∈ (TopOn‘𝑇))
9		simp1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑇)
10	5, 8, 9	cnmptc 21942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
11		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
12		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)
13	1, 11, 12	cncfcn 23188	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
14	13	3adant1 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑇)))
15	10, 14	eleqtrrd 2884	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ⊆ wss 3854   ↦ cmpt 5035  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℂcc 10370   ↾_t crest 16511  TopOpenctopn 16512  ℂ_fldccnfld 20215  TopOnctopon 21190   Cn ccn 21504  –cn→ccncf 23155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-fz 12732  df-seq 13208  df-exp 13268  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-rest 16513  df-topn 16514  df-topgen 16534  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-xms 22601  df-ms 22602  df-cncf 23157

This theorem is referenced by:  addccncf  23195  negcncf  23197  dvidlem  24184  dvcnp2  24188  dvmulbr  24207  cmvth  24259  dvlipcn  24262  lhop1lem  24281  dvfsumle  24289  dvfsumge  24290  dvfsumabs  24291  dvfsumlem2  24295  taylthlem2  24633  loglesqrt  25008  lgamgulmlem2  25277  pntlem3  25855  efmul2picn  31440  circlemeth  31484  logdivsqrle  31494  ftc1cnnclem  34442  ftc2nc  34453  areacirclem3  34461  areacirclem4  34462  areacirc  34464  constcncf  34515  sub1cncf  34517  sub2cncf  34518  itgpowd  39257  arearect  39258  areaquad  39259  constcncfg  41649  add1cncf  41680  add2cncf  41681  sub1cncfd  41682  sub2cncfd  41683  itgsbtaddcnst  41762  dirkeritg  41883