MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfmptc 24427
Description: A constant function is a continuous function on β„‚. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇
Proof of Theorem cncfmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24298 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 resttopon 22664 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
52, 3, 4sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
6 simp3 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
7 resttopon 22664 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
82, 6, 7sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
9 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
105, 8, 9cnmptc 23165 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
11 eqid 2732 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
12 eqid 2732 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)
131, 11, 12cncfcn 24425 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
14133adant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
1510, 14eleqtrrd 2836 1 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  β€“cnβ†’ccncf 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-xms 23825  df-ms 23826  df-cncf 24393
This theorem is referenced by:  addccncf  24432  sub1cncf  24434  sub2cncf  24435  negcncf  24437  dvidlem  25431  dvcnp2  25436  dvmulbr  25455  cmvth  25507  dvlipcn  25510  lhop1lem  25529  dvfsumle  25537  dvfsumge  25538  dvfsumabs  25539  dvfsumlem2  25543  itgpowd  25566  taylthlem2  25885  loglesqrt  26263  lgamgulmlem2  26531  pntlem3  27109  efmul2picn  33603  circlemeth  33647  logdivsqrle  33657  gg-negcncf  35161  gg-dvcnp2  35169  gg-dvmulbr  35170  gg-cmvth  35176  gg-dvfsumle  35177  gg-dvfsumlem2  35178  ftc1cnnclem  36554  ftc2nc  36565  areacirclem3  36573  areacirclem4  36574  areacirc  36576  constcncf  36625  lcmineqlem10  40898  lcmineqlem12  40900  arearect  41954  areaquad  41955  constcncfg  44578  add1cncf  44607  add2cncf  44608  sub1cncfd  44609  sub2cncfd  44610  itgsbtaddcnst  44688  dirkeritg  44808
  Copyright terms: Public domain W3C validator