MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmptc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncfmptc 24787
Description: A constant function is a continuous function on β„‚. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncfmptc ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇
Proof of Theorem cncfmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24654 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4 resttopon 23020 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
52, 3, 4sylancr 586 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝑇 βŠ† β„‚)
7 resttopon 23020 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
82, 6, 7sylancr 586 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
9 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
105, 8, 9cnmptc 23521 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
11 eqid 2726 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆)
12 eqid 2726 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)
131, 11, 12cncfcn 24785 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
14133adant1 1127 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (𝑆–cn→𝑇) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑆) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑇)))
1510, 14eleqtrrd 2830 1 ((𝐴 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝑇 βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  addccncf  24792  sub1cncf  24794  sub2cncf  24795  negcncf  24797  negcncfOLD  24798  dvidlem  25799  dvcnp2  25804  dvcnp2OLD  25805  dvmulbr  25824  dvmulbrOLD  25825  cmvth  25878  cmvthOLD  25879  dvlipcn  25882  lhop1lem  25901  dvfsumle  25909  dvfsumleOLD  25910  dvfsumge  25911  dvfsumabs  25912  dvfsumlem2  25916  dvfsumlem2OLD  25917  itgpowd  25940  taylthlem2  26264  taylthlem2OLD  26265  loglesqrt  26648  lgamgulmlem2  26917  pntlem3  27497  efmul2picn  34137  circlemeth  34181  logdivsqrle  34191  ftc1cnnclem  37072  ftc2nc  37083  areacirclem3  37091  areacirclem4  37092  areacirc  37094  constcncf  37143  lcmineqlem10  41419  lcmineqlem12  41421  arearect  42537  areaquad  42538  constcncfg  45157  add1cncf  45186  add2cncf  45187  sub1cncfd  45188  sub2cncfd  45189  itgsbtaddcnst  45267  dirkeritg  45387
  Copyright terms: Public domain W3C validator