MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcn 24708
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4004 . 2 𝐴𝐴
2 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
54mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
65eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
73, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
9 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
10 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1110mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1211eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
139, 12imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1413imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
15 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
16 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1716mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1817eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1915, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
21 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
22 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2423eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2625imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
27 sum0 15674 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2827mpteq2i 5253 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3130cnfldtopon 24619 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
33 0cnd 11214 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3429, 32, 33cnmptc 23486 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3528, 34eqeltrid 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3635a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
37 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
38 sstr 3990 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑦𝐴)
3937, 38mpan 687 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑦𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
41 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ¬ 𝑧𝑦)
42 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
44 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ Fin)
46 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4745, 46ssfid 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
48 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
4946sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
50 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥𝑋)
5129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
53 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 cnf2 23073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
56 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5756fmpt 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5855, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
59 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6160imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
6248, 49, 50, 61syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
6343, 44, 47, 62fsumsplit 15694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
6564unssbd 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
6766snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
6865, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6968adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧𝐴)
7060impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
7170ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7271ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
73 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
7473nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
75 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
7675eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7774, 76rspc 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7869, 72, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
79 sumsns 15703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8069, 78, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8180oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8263, 81eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8382anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8483mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8584adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
86 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)
87 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
88 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8987, 88nfsum 15644 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵
90 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
91 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑧
9291, 88nfcsbw 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
9389, 90, 92nfov 7442 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
94 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
9594sumeq2sdv 15657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
9694csbeq2dv 3900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
9795, 96oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9886, 93, 97cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9985, 98eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
10029ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
101 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘𝑦 𝐵
102101, 89, 95cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
103 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104102, 103eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵
106105, 92, 96cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
10768adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝑧𝐴)
10853ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
111110, 73nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵)
112111nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
11375mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵))
114113eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
115112, 114rspc 3600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
116107, 109, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
117106, 116eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11830addcn 24701 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
120100, 104, 117, 119cnmpt12f 23490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12199, 120eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122121exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
123122a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
12440, 123syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
125124expcom 413 . . . . . 6 𝑧𝑦 → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
126125adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
127126a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
1288, 14, 20, 26, 36, 127findcard2s 9171 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1292, 128mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1301, 129mpi 20 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  csb 3893  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  cc 11114  0cc0 11116   + caddc 11119  Σcsu 15639  TopOpenctopn 17374  fldccnfld 21233  TopOnctopon 22732   Cn ccn 23048   ×t ctx 23384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148
This theorem is referenced by:  fsum2cn  24709  lebnumlem2  24808  plycn  26113  plycnOLD  26114  psercn2  26274  psercn2OLD  26275  knoppcnlem11  35845  fsumcnf  44170
  Copyright terms: Public domain W3C validator