MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcn 23478
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3940 . 2 𝐴𝐴
2 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3943 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 15040 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
54mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
65eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
73, 6imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
87imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
9 sseq1 3943 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
10 sumeq1 15040 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1110mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1211eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
139, 12imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1413imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
15 sseq1 3943 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
16 sumeq1 15040 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1716mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1817eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1915, 18imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2019imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
21 sseq1 3943 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
22 sumeq1 15040 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2423eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2521, 24imbi12d 348 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2625imbi2d 344 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
27 sum0 15073 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2827mpteq2i 5125 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3130cnfldtopon 23391 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
33 0cnd 10627 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3429, 32, 33cnmptc 22270 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3528, 34eqeltrid 2897 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3635a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
37 ssun1 4102 . . . . . . . . . 10 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
38 sstr 3926 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑦𝐴)
3937, 38mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑦𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ¬ 𝑧𝑦)
42 disjsn 4610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4341, 42sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
44 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ Fin)
46 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4745, 46ssfid 8729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
48 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
4946sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
50 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥𝑋)
5129adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
53 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 cnf2 21857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
56 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5756fmpt 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5855, 57sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
59 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6160imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
6248, 49, 50, 61syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
6343, 44, 47, 62fsumsplit 15092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
64 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
6564unssbd 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
6766snss 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
6865, 67sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6968adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧𝐴)
7060impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
7170ralrimiv 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7271ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
73 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
7473nfel1 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
75 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
7675eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7774, 76rspc 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7869, 72, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
79 sumsns 15100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8069, 78, 79syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8180oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8263, 81eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8382anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8483mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8584adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
86 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)
87 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
88 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8987, 88nfsum 15042 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵
90 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
91 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑧
9291, 88nfcsbw 3857 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
9389, 90, 92nfov 7169 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
94 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
9594sumeq2sdv 15056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
9694csbeq2dv 3838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
9795, 96oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9886, 93, 97cbvmpt 5134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9985, 98eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
10029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
101 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘𝑦 𝐵
102101, 89, 95cbvmpt 5134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
103 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104102, 103eqeltrrid 2898 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵
106105, 92, 96cbvmpt 5134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
10768adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝑧𝐴)
10853ralrimiva 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
111110, 73nfmpt 5130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵)
112111nfel1 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
11375mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵))
114113eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
115112, 114rspc 3562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
116107, 109, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
117106, 116eqeltrrid 2898 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11830addcn 23473 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
120100, 104, 117, 119cnmpt12f 22274 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12199, 120eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122121exp32 424 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
123122a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
12440, 123syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
125124expcom 417 . . . . . 6 𝑧𝑦 → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
126125adantl 485 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
127126a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
1288, 14, 20, 26, 36, 127findcard2s 8747 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1292, 128mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1301, 129mpi 20 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  csb 3831  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {csn 4528  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  cc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533  Σcsu 15037  TopOpenctopn 16690  fldccnfld 20094  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832   ×t ctx 22168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932
This theorem is referenced by:  fsum2cn  23479  lebnumlem2  23570  plycn  24861  psercn2  25021  knoppcnlem11  33950  fsumcnf  41637
  Copyright terms: Public domain W3C validator