MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcn 24907
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐵 normally contains free variables 𝑘 and 𝑥 to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcn (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4017 . 2 𝐴𝐴
2 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 15721 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
54mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
65eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
73, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
9 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
10 sumeq1 15721 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1110mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1211eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
139, 12imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1413imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
15 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
16 sumeq1 15721 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1716mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1817eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1915, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
21 sseq1 4020 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
22 sumeq1 15721 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑘𝑤 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322mpteq2dv 5249 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2423eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2625imbi2d 340 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
27 sum0 15753 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2827mpteq2i 5252 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
3130cnfldtopon 24818 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
33 0cnd 11251 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3429, 32, 33cnmptc 23685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3528, 34eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3635a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
37 ssun1 4187 . . . . . . . . . 10 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
38 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑦𝐴)
3937, 38mpan 690 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑦𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
41 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ¬ 𝑧𝑦)
42 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4341, 42sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
44 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
452ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝐴 ∈ Fin)
46 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
4745, 46ssfid 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
48 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
4946sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
50 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑥𝑋)
5129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
53 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 cnf2 23272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
56 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
5756fmpt 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
5855, 57sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
59 rsp 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵 ∈ ℂ))
6160imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
6248, 49, 50, 61syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℂ)
6343, 44, 47, 62fsumsplit 15773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
6564unssbd 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
6766snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
6865, 67sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
6968adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧𝐴)
7060impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑘𝐴𝐵 ∈ ℂ))
7170ralrimiv 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7271ad2ant2rl 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
73 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
7473nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
75 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
7675eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7774, 76rspc 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
7869, 72, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
79 sumsns 15782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8069, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
8180oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8263, 81eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴𝑥𝑋)) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8382anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8483mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8584adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
86 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)
87 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
88 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
8987, 88nfsum 15723 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵
90 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 +
91 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑧
9291, 88nfcsbw 3934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵
9389, 90, 92nfov 7460 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
94 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
9594sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝑦 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
9694csbeq2dv 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
9795, 96oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9886, 93, 97cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵))
9985, 98eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)))
10029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
101 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤Σ𝑘𝑦 𝐵
102101, 89, 95cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) = (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵)
103 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104102, 103eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤𝑧 / 𝑘𝐵
106105, 92, 96cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)
10768adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → 𝑧𝐴)
10853ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → ∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝑋
111110, 73nfmpt 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵)
112111nfel1 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
11375mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵))
114113eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
115112, 114rspc 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
116107, 109, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋𝑧 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
117106, 116eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11830addcn 24900 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
120100, 104, 117, 119cnmpt12f 23689 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑤𝑋 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝑤 / 𝑥𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝑤 / 𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12199, 120eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) ∧ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122121exp32 420 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
123122a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
12440, 123syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
125124expcom 413 . . . . . 6 𝑧𝑦 → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
126125adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝜑 → ((𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
127126a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) → (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
1288, 14, 20, 26, 36, 127findcard2s 9203 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1292, 128mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1301, 129mpi 20 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  csb 3907  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155  Σcsu 15718  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347
This theorem is referenced by:  fsum2cn  24908  lebnumlem2  25007  plycn  26314  plycnOLD  26315  psercn2  26480  psercn2OLD  26481  knoppcnlem11  36485  fsumcnf  44958
  Copyright terms: Public domain W3C validator