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Theorem fsumcn 24708
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐡 normally contains free variables π‘˜ and π‘₯ to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fsumcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4004 . 2 𝐴 βŠ† 𝐴
2 fsumcn.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
4 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
54mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡))
65eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
73, 6imbi12d 344 . . . . 5 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
9 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴))
10 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡)
1110mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡))
1211eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
139, 12imbi12d 344 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1413imbi2d 340 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
15 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴))
16 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡)
1716mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡))
1817eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1915, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
21 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
22 sumeq1 15642 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
2322mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
2423eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2521, 24imbi12d 344 . . . . 5 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2625imbi2d 340 . . . 4 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
27 sum0 15674 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
2827mpteq2i 5253 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24619 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 0cnd 11214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
3429, 32, 33cnmptc 23486 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3528, 34eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3635a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
37 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧})
38 sstr 3990 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
3937, 38mpan 687 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
41 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
44 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
452ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
46 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
4745, 46ssfid 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∈ Fin)
48 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ πœ‘)
4946sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
50 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
53 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 cnf2 23073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
56 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5756fmpt 7111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
5855, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
59 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
6160imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6248, 49, 50, 61syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6343, 44, 47, 62fsumsplit 15694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡))
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
6564unssbd 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
66 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
6766snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
6865, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6968adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
7060impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
7170ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
7271ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
73 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅
7473nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
75 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑧 β†’ 𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
7675eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
7774, 76rspc 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
7869, 72, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
79 sumsns 15703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
8069, 78, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
8180oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8263, 81eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8382anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8483mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
8584adantrr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
86 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑀(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
87 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝑦
88 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
8987, 88nfsum 15644 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
90 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ +
91 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝑧
9291, 88nfcsbw 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡
9389, 90, 92nfov 7442 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
94 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐡 = ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
9594sumeq2sdv 15657 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
9694csbeq2dv 3900 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
9795, 96oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
9886, 93, 97cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
9985, 98eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)))
10029ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
101 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘€Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡
102101, 89, 95cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
103 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104102, 103eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑀⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅
106105, 92, 96cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
10768adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
10853ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜π‘‹
111110, 73nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
112111nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
11375mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
114113eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
115112, 114rspc 3600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
116107, 109, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
117106, 116eqeltrrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11830addcn 24701 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
120100, 104, 117, 119cnmpt12f 23490 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12199, 120eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122121exp32 420 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
123122a2d 29 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
12440, 123syl5 34 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
125124expcom 413 . . . . . 6 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
126125adantl 481 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
127126a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
1288, 14, 20, 26, 36, 127findcard2s 9171 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1292, 128mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1301, 129mpi 20 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  β¦‹csb 3893   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  β„‚cc 11114  0cc0 11116   + caddc 11119  Ξ£csu 15639  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21233  TopOnctopon 22732   Cn ccn 23048   Γ—t ctx 23384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148
This theorem is referenced by:  fsum2cn  24709  lebnumlem2  24808  plycn  26113  plycnOLD  26114  psercn2  26274  psercn2OLD  26275  knoppcnlem11  35843  fsumcnf  44168
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