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Theorem fsumcn 24378
Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for 𝐡 normally contains free variables π‘˜ and π‘₯ to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fsumcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsumcn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsumcn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem fsumcn
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4004 . 2 𝐴 βŠ† 𝐴
2 fsumcn.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
4 sumeq1 15632 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
54mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡))
65eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
73, 6imbi12d 345 . . . . 5 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
87imbi2d 341 . . . 4 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
9 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑦 βŠ† 𝐴))
10 sumeq1 15632 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑦 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡)
1110mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡))
1211eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
139, 12imbi12d 345 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1413imbi2d 341 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
15 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴))
16 sumeq1 15632 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡)
1716mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡))
1817eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1915, 18imbi12d 345 . . . . 5 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2019imbi2d 341 . . . 4 (𝑀 = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
21 sseq1 4007 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
22 sumeq1 15632 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
2322mpteq2dv 5250 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
2423eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2521, 24imbi12d 345 . . . . 5 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
2625imbi2d 341 . . . 4 (𝑀 = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑀 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
27 sum0 15664 . . . . . . 7 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 0
2827mpteq2i 5253 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
29 fsumcn.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
30 fsumcn.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3130cnfldtopon 24291 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
33 0cnd 11204 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
3429, 32, 33cnmptc 23158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3528, 34eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3635a1d 25 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
37 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧})
38 sstr 3990 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
3937, 38mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑦 βŠ† 𝐴)
4039imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
41 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
42 disjsn 4715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∩ {𝑧}) = βˆ…)
44 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
452ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
46 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
4745, 46ssfid 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ∈ Fin)
48 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ πœ‘)
4946sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
50 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5129adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
53 fsumcn.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
54 cnf2 22745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
5551, 52, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
56 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
5756fmpt 7107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
5855, 57sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
59 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
6160imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6248, 49, 50, 61syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6343, 44, 47, 62fsumsplit 15684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡))
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
6564unssbd 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
66 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧 ∈ V
6766snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
6865, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6968adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
7060impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
7170ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
7271ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚)
73 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅
7473nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘˜β¦‹π‘§ / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
75 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑧 β†’ 𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
7675eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
7774, 76rspc 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ β„‚ β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
7869, 72, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
79 sumsns 15693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
8069, 78, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡 = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
8180oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ {𝑧}𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8263, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8382anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
8483mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
8584adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)))
86 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑀(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
87 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝑦
88 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
8987, 88nfsum 15634 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡
90 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ +
91 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯𝑧
9291, 88nfcsbw 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡
9389, 90, 92nfov 7436 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
94 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐡 = ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
9594sumeq2sdv 15647 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
9694csbeq2dv 3900 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅ = ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
9795, 96oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
9886, 93, 97cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡))
9985, 98eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)))
10029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
101 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘€Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡
102101, 89, 95cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡)
103 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
104102, 103eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
105 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑀⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅
106105, 92, 96cbvmpt 5259 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) = (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)
10768adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
10853ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
110 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜π‘‹
111110, 73nfmpt 5255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅)
112111nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
11375mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅))
114113eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
115112, 114rspc 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
116107, 109, 115sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
117106, 116eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11830addcn 24373 . . . . . . . . . . . . 13 + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ + ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
120100, 104, 117, 119cnmpt12f 23162 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑋 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 ⦋𝑀 / π‘₯⦌𝐡 + ⦋𝑧 / π‘˜β¦Œβ¦‹π‘€ / π‘₯⦌𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
12199, 120eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
122121exp32 422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
123122a2d 29 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
12440, 123syl5 34 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
125124expcom 415 . . . . . 6 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦 β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
126125adantl 483 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
127126a2d 29 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑦 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))))
1288, 14, 20, 26, 36, 127findcard2s 9162 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
1292, 128mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
1301, 129mpi 20 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3893   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110  Ξ£csu 15629  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   Γ—t ctx 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820
This theorem is referenced by:  fsum2cn  24379  lebnumlem2  24470  plycn  25767  psercn2  25927  gg-plycn  35166  gg-psercn2  35167  knoppcnlem11  35368  fsumcnf  43691
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