Theorem atansopn 26884

Description: The domain of continuity of the arctangent is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
atansopn	⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atansopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atansopn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2)))
3	2	mptpreima 6247	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
4	1, 3	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ 𝑆 = (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷)
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	cnfldtopon 24719	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
8		1cnd 11247	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
9	7, 7, 8	cnmptc 23586	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10		2nn0 12527	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5	expcn 24810	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	5	addcn 24801	. . . . . 6 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	7, 9, 12, 14	cnmpt12f 23590	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	15	mptru 1540	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
17		atansopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
18	17	logdmopn 26603	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
19		cnima 23189	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
20	16, 18, 19	mp2an 690	. 2 ⊢ (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
21	4, 20	eqeltri 2825	1 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ∖ cdif 3946   ↦ cmpt 5235  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  -∞cmnf 11284  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  (,]cioc 13365  ↑cexp 14066  TopOpenctopn 17410  ℂ_fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   Cn ccn 23148   ×_t ctx 23484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248

This theorem is referenced by:  dvatan  26887