MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atansopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atansopn 25179
Description: The domain of continuity of the arctangent is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
atansopn 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑦,𝐷
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atansopn
StepHypRef Expression
1 atansopn.s . . 3 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2 eqid 2793 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2)))
32mptpreima 5959 . . 3 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
41, 3eqtr4i 2820 . 2 𝑆 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷)
5 eqid 2793 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65cnfldtopon 23062 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
76a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
8 1cnd 10471 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
97, 7, 8cnmptc 21942 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10 2nn0 11751 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
115expcn 23151 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1210, 11mp1i 13 . . . . 5 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
135addcn 23144 . . . . . 6 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1413a1i 11 . . . . 5 (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
157, 9, 12, 14cnmpt12f 21946 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1615mptru 1527 . . 3 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
17 atansopn.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
1817logdmopn 24901 . . 3 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
19 cnima 21545 . . 3 (((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
2016, 18, 19mp2an 688 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
214, 20eqeltri 2877 1 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1520  wtru 1521  wcel 2079  {crab 3107  cdif 3851  cmpt 5035  ccnv 5434  cima 5438  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375  -∞cmnf 10508  2c2 11529  0cn0 11734  (,]cioc 12578  cexp 13267  TopOpenctopn 16512  fldccnfld 20215  TopOnctopon 21190   Cn ccn 21504   ×t ctx 21840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603
This theorem is referenced by:  dvatan  25182
  Copyright terms: Public domain W3C validator