Theorem atansopn 26974

Description: The domain of continuity of the arctangent is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
atansopn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}

Assertion

Ref	Expression
atansopn	⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem atansopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atansopn.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2)))
3	2	mptpreima 6221	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
4	1, 3	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ 𝑆 = (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷)
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	5	cnfldtopon 24822	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
8		1cnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
9	7, 7, 8	cnmptc 23702	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10		2nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	5	expcn 24914	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
12	10, 11	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
13	5	addcn 24906	. . . . . 6 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
15	7, 9, 12, 14	cnmpt12f 23706	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16	15	mptru 1566	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
17		atansopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
18	17	logdmopn 26691	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
19		cnima 23305	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
20	16, 18, 19	mp2an 702	. 2 ⊢ (◡(𝑦 ∈ ℂ ↦ (1 + (𝑦↑2))) “ 𝐷) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
21	4, 20	eqeltri 2857	1 ⊢ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)

Syntax hints:   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141  {crab 3413   ∖ cdif 3901   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5644   “ cima 5648  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  -∞cmnf 11211  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  (,]cioc 13347  ↑cexp 14071  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21404  TopOnctopon 22950   Cn ccn 23264   ×_t ctx 23600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362

This theorem is referenced by:  dvatan  26977