Theorem cvmlift2 33178

Description: A two-dimensional version of cvmlift 33161. There is a unique lift of functions on the unit square II ×_t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		coeq2 5756	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝐹 ∘ ℎ) = (𝐹 ∘ 𝑔))
7		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
8	7	cbvmptv 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
10	6, 9	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘0) = (𝑔‘0))
12	11	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
13	10, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
14	13	cbvriotavw 7222	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15		coeq2 5756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝐹 ∘ 𝑘) = (𝐹 ∘ 𝑔))
16		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
17	16	cbvmptv 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
19	15, 18	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20		fveq1 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
21	20	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
22	19, 21	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
23	22	cbvriotavw 7222	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
25	24	mpteq2dv 5172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
26	25	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))
28	27	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
29	26, 28	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
30	29	riotabidv 7214	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
31	23, 30	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
32	31	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
34	32, 33	cbvmpov 7348	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
35	1, 2, 3, 4, 5, 14, 34	cvmlift2lem13 33177	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3065  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  0cc0 10802  1c1 10803  [,]cicc 13011   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619  IIcii 23944   CovMap ccvm 33117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-ec 8458  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-cmp 22446  df-conn 22471  df-lly 22525  df-nlly 22526  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-ii 23946  df-htpy 24039  df-phtpy 24040  df-phtpc 24061  df-pconn 33083  df-sconn 33084  df-cvm 33118

This theorem is referenced by:  cvmliftpht  33180