Theorem cvmlift2 34762

Description: A two-dimensional version of cvmlift 34745. There is a unique lift of functions on the unit square II ×_t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		coeq2 5848	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝐹 ∘ ℎ) = (𝐹 ∘ 𝑔))
7		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
8	7	cbvmptv 5251	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
10	6, 9	eqeq12d 2740	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘0) = (𝑔‘0))
12	11	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
13	10, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
14	13	cbvriotavw 7367	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15		coeq2 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝐹 ∘ 𝑘) = (𝐹 ∘ 𝑔))
16		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
17	16	cbvmptv 5251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
19	15, 18	eqeq12d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
21	20	eqeq1d 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
22	19, 21	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
23	22	cbvriotavw 7367	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24		oveq1 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
25	24	mpteq2dv 5240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
26	25	eqeq2d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))
28	27	eqeq2d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
29	26, 28	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
30	29	riotabidv 7359	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
31	23, 30	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
32	31	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
34	32, 33	cbvmpov 7496	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
35	1, 2, 3, 4, 5, 14, 34	cvmlift2lem13 34761	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃!wreu 3366  ∪ cuni 4899   ↦ cmpt 5221   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6533  ℩crio 7356  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  0cc0 11105  1c1 11106  [,]cicc 13323   Cn ccn 23049   ×_t ctx 23385  IIcii 24716   CovMap ccvm 34701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8698  df-ec 8700  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-cmp 23212  df-conn 23237  df-lly 23291  df-nlly 23292  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-ii 24718  df-cncf 24719  df-htpy 24817  df-phtpy 24818  df-phtpc 24839  df-pconn 34667  df-sconn 34668  df-cvm 34702

This theorem is referenced by:  cvmliftpht  34764