Theorem cvmlift2 34376

Description: A two-dimensional version of cvmlift 34359. There is a unique lift of functions on the unit square II ×_t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		coeq2 5858	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝐹 ∘ ℎ) = (𝐹 ∘ 𝑔))
7		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
8	7	cbvmptv 5261	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
10	6, 9	eqeq12d 2748	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘0) = (𝑔‘0))
12	11	eqeq1d 2734	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
13	10, 12	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
14	13	cbvriotavw 7377	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15		coeq2 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝐹 ∘ 𝑘) = (𝐹 ∘ 𝑔))
16		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
17	16	cbvmptv 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
19	15, 18	eqeq12d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
21	20	eqeq1d 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
22	19, 21	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
23	22	cbvriotavw 7377	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
25	24	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
26	25	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))
28	27	eqeq2d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
29	26, 28	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
30	29	riotabidv 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
31	23, 30	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
32	31	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33		fveq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
34	32, 33	cbvmpov 7506	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
35	1, 2, 3, 4, 5, 14, 34	cvmlift2lem13 34375	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3374  ∪ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  ℩crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329   Cn ccn 22735   ×_t ctx 23071  IIcii 24398   CovMap ccvm 34315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-conn 22923  df-lly 22977  df-nlly 22978  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515  df-pconn 34281  df-sconn 34282  df-cvm 34316

This theorem is referenced by:  cvmliftpht  34378