Theorem cvmlift2 35614

Description: A two-dimensional version of cvmlift 35597. There is a unique lift of functions on the unit square II ×_t II which commutes with the covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝜑,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝐺   𝐶,𝑓   𝑃,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		coeq2 5823	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝐹 ∘ ℎ) = (𝐹 ∘ 𝑔))
7		oveq1 7392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤𝐺0) = (𝑧𝐺0))
8	7	cbvmptv 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)))
10	6, 9	eqeq12d 2772	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0))))
11		fveq1 6855	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘0) = (𝑔‘0))
12	11	eqeq1d 2758	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘0) = 𝑃))
13	10, 12	anbi12d 640	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
14	13	cbvriotavw 7352	. 2 ⊢ (℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
15		coeq2 5823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝐹 ∘ 𝑘) = (𝐹 ∘ 𝑔))
16		oveq2 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑢𝐺𝑤) = (𝑢𝐺𝑧))
17	16	cbvmptv 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)))
19	15, 18	eqeq12d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧))))
20		fveq1 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (𝑘‘0) = (𝑔‘0))
21	20	eqeq1d 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → ((𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
22	19, 21	anbi12d 640	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑔 → (((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))))
23	22	cbvriotavw 7352	. . . . 5 ⊢ (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))
24		oveq1 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑥𝐺𝑧))
25	24	mpteq2dv 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)))
26	25	eqeq2d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ↔ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧))))
27		fveq2 6856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))
28	27	eqeq2d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢) ↔ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))
29	26, 28	anbi12d 640	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
30	29	riotabidv 7344	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
31	23, 30	eqtrid 2803	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → (℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢))) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥))))
32	31	fveq1d 6858	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑥 → ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣))
33		fveq2 6856	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑣) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
34	32, 33	cbvmpov 7480	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑘 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑘) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐺𝑤)) ∧ (𝑘‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑢)))‘𝑣)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑔‘0) = ((℩ℎ ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ ℎ) = (𝑤 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑤𝐺0)) ∧ (ℎ‘0) = 𝑃))‘𝑥)))‘𝑦))
35	1, 2, 3, 4, 5, 14, 34	cvmlift2lem13 35613	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = 𝐺 ∧ (0𝑓0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃!wreu 3359  ∪ cuni 4859   ↦ cmpt 5175   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6510  ℩crio 7341  (class class class)co 7385   ∈ cmpo 7387  0cc0 11063  1c1 11064  [,]cicc 13342   Cn ccn 23257   ×_t ctx 23593  IIcii 24910   CovMap ccvm 35553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-ec 8668  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-cmp 23420  df-conn 23445  df-lly 23499  df-nlly 23500  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-ii 24912  df-cncf 24913  df-htpy 25005  df-phtpy 25006  df-phtpc 25027  df-pconn 35519  df-sconn 35520  df-cvm 35554

This theorem is referenced by:  cvmliftpht  35616