Theorem dfwppr 48837

Description: Alternate definition of a weak pseudoprime 𝑋, which fulfils (𝑁↑𝑋)≡𝑁 (modulo 𝑋), see Wikipedia "Fermat pseudoprime", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_pseudoprime, 29-May-2023. (Contributed by AV, 31-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dfwppr	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))

Proof of Theorem dfwppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
2		nnz 12715	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		nnnn0 12614	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℕ0)
4		zexpcl 14220	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
6	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		moddvds 16434	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7421   − cmin 11542  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694   mod cmo 14010  ↑cexp 14205   ∥ cdvds 16423

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-dvds 16424

This theorem is used by: (None)