Theorem ditgeqiooicc 46734

Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeqiooicc.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
ditgeqiooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgeqiooicc.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgeqiooicc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ditgeqiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13478	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		ditgeqiooicc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7	5	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ditgeqiooicc.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		elioo2 13431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
13	6, 12	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14	13	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
15	5, 14	gtned 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐴)
16	15	neneqd 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
17	16	iffalsed 4500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
18	13	simp1d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	13	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
20	18, 19	ltned 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
21	20	neneqd 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
22	21	iffalsed 4500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
23	17, 22	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
24		ditgeqiooicc.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
27		ditgeqiooicc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
28	27	fvmpt2 7005	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
29	3, 26, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
30	29, 17, 22	3eqtrrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
31	30	itgeq2dv 25994	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
32		ditgeqiooicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
33	32	ditgpos 26068	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
34	32	ditgpos 26068	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
35	31, 33, 34	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261  (,)cioo 13390  [,]cicc 13393  ∫citg 25830  ⨜cdit 26058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-sum 15764  df-itg 25835  df-ditg 26059

This theorem is used by: (None)