Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ditgeqiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeqiooicc 45248
Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgeqiooicc.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
ditgeqiooicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ditgeqiooicc.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
ditgeqiooicc (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem ditgeqiooicc
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13416 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21sseli 3973 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
32adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4 ditgeqiooicc.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
75rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ditgeqiooicc.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 elioo2 13371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
127, 10, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
136, 12mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
1413simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
155, 14gtned 11353 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
1615neneqd 2939 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
1716iffalsed 4534 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
1813simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1913simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
2018, 19ltned 11354 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
2120neneqd 2939 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
2221iffalsed 4534 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
2317, 22eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
24 ditgeqiooicc.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
27 ditgeqiooicc.1 . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
2827fvmpt2 7003 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
293, 26, 28syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
3029, 17, 223eqtrrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
3130itgeq2dv 25666 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
32 ditgeqiooicc.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
3332ditgpos 25740 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
3432ditgpos 25740 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
3531, 33, 343eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  βˆ«citg 25502  β¨œcdit 25730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sum 15639  df-itg 25507  df-ditg 25731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator