Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ditgeqiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeqiooicc 44291
Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgeqiooicc.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
ditgeqiooicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ditgeqiooicc.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
ditgeqiooicc (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem ditgeqiooicc
StepHypRef Expression
1 ioossicc 13359 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
21sseli 3944 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
32adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
4 ditgeqiooicc.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
75rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ditgeqiooicc.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
109rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
11 elioo2 13314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
127, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡)))
136, 12mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐡))
1413simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 < π‘₯)
155, 14gtned 11298 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
1615neneqd 2945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐴)
1716iffalsed 4501 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)))
1813simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1913simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ < 𝐡)
2018, 19ltned 11299 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ β‰  𝐡)
2120neneqd 2945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ π‘₯ = 𝐡)
2221iffalsed 4501 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
2317, 22eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
24 ditgeqiooicc.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
27 ditgeqiooicc.1 . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
2827fvmpt2 6963 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
293, 26, 28syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ = 𝐴, 𝑅, if(π‘₯ = 𝐡, 𝐿, (πΉβ€˜π‘₯))))
3029, 17, 223eqtrrd 2778 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
3130itgeq2dv 25169 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
32 ditgeqiooicc.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
3332ditgpos 25243 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
3432ditgpos 25243 . 2 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
3531, 33, 343eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΉβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ⨜[𝐴 β†’ 𝐡](πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  βˆ«citg 25005  β¨œcdit 25233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-sum 15580  df-itg 25010  df-ditg 25234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator