Theorem ditgeqiooicc 45980

Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeqiooicc.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
ditgeqiooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgeqiooicc.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgeqiooicc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ditgeqiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		ditgeqiooicc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7	5	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ditgeqiooicc.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		elioo2 13429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
13	6, 12	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14	13	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
15	5, 14	gtned 11397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐴)
16	15	neneqd 2944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
17	16	iffalsed 4535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
18	13	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	13	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
20	18, 19	ltned 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
21	20	neneqd 2944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
22	21	iffalsed 4535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
23	17, 22	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
24		ditgeqiooicc.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
27		ditgeqiooicc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
28	27	fvmpt2 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
29	3, 26, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
30	29, 17, 22	3eqtrrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
31	30	itgeq2dv 25818	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
32		ditgeqiooicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
33	32	ditgpos 25892	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
34	32	ditgpos 25892	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
35	31, 33, 34	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ∫citg 25654  ⨜cdit 25882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-sum 15724  df-itg 25659  df-ditg 25883

This theorem is referenced by: (None)