Theorem ditgeqiooicc 45916

Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgeqiooicc.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
ditgeqiooicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ditgeqiooicc.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ditgeqiooicc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ditgeqiooicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 13470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2	1	sseli 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		ditgeqiooicc.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7	5	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		ditgeqiooicc.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11		elioo2 13425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
13	6, 12	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14	13	simp2d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
15	5, 14	gtned 11394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐴)
16	15	neneqd 2943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
17	16	iffalsed 4542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
18	13	simp1d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	13	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
20	18, 19	ltned 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 𝐵)
21	20	neneqd 2943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
22	21	iffalsed 4542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
23	17, 22	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
24		ditgeqiooicc.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26	23, 25	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
27		ditgeqiooicc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
28	27	fvmpt2 7027	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
29	3, 26, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
30	29, 17, 22	3eqtrrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
31	30	itgeq2dv 25832	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
32		ditgeqiooicc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
33	32	ditgpos 25906	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑥) d𝑥)
34	32	ditgpos 25906	. 2 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺‘𝑥) d𝑥)
35	31, 33, 34	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐹‘𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴 → 𝐵](𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ∫citg 25667  ⨜cdit 25896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sum 15720  df-itg 25672  df-ditg 25897

This theorem is referenced by: (None)