Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ditgeqiooicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgeqiooicc 43084
Description: A function 𝐹 on an open interval, has the same directed integral as its extension 𝐺 on the closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgeqiooicc.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
ditgeqiooicc.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ditgeqiooicc.4 (𝜑𝐴𝐵)
ditgeqiooicc.5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
ditgeqiooicc (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ditgeqiooicc
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12920 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
21sseli 3883 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
32adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4 ditgeqiooicc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
75rexrd 10782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 ditgeqiooicc.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109rexrd 10782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 elioo2 12875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
127, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
136, 12mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
1413simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
155, 14gtned 10866 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐴)
1615neneqd 2940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
1716iffalsed 4435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
1813simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1913simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
2018, 19ltned 10867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥𝐵)
2120neneqd 2940 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
2221iffalsed 4435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2317, 22eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
24 ditgeqiooicc.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6874 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2623, 25eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
27 ditgeqiooicc.1 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
2827fvmpt2 6799 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
293, 26, 28syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
3029, 17, 223eqtrrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3130itgeq2dv 24547 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
32 ditgeqiooicc.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3332ditgpos 24621 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
3432ditgpos 24621 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑥) d𝑥)
3531, 33, 343eqtr4d 2784 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  ifcif 4424   class class class wbr 5040  cmpt 5120  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  cr 10627  *cxr 10765   < clt 10766  cle 10767  (,)cioo 12834  [,]cicc 12837  citg 24383  cdit 24611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-ioo 12838  df-icc 12841  df-fz 12995  df-seq 13474  df-sum 15149  df-itg 24388  df-ditg 24612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator