Theorem dpadd 33267

Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1	⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹

Assertion

Ref	Expression
dpadd	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12744	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
5		dpmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		dpmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12744	. . . . 5 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℂ
9		10nn 12749	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12261	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	9	nnne0i 12294	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
12	4, 8, 10, 11	divdiri 11990	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10))
13		dpadd.1	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹
14	13	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = (;𝐸𝐹 / ;10)
15	12, 14	eqtr3i 2791	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = (;𝐸𝐹 / ;10)
16	2	nn0rei 12533	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	1, 16	decdiv10 33252	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴.𝐵)
18	6	nn0rei 12533	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
19	5, 18	decdiv10 33252	. . 3 ⊢ (;𝐶𝐷 / ;10) = (𝐶.𝐷)
20	17, 19	oveq12i 7435	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21		dpmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
22		dpadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 12533	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
24	21, 23	decdiv10 33252	. 2 ⊢ (;𝐸𝐹 / ;10) = (𝐸.𝐹)
25	15, 20, 24	3eqtr3i 2797	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   / cdiv 11889  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  .cdp 33244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-dec 12730  df-dp2 33228  df-dp 33245

This theorem is used by:  threehalves  33271  hgt750lemd  35067  hgt750lem2  35071