Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd 32724
Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
Assertion
Ref Expression
dpadd ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12730 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
43nn0cni 12522 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℂ
5 dpmul.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
6 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12730 . . . . 5 𝐶𝐷 ∈ ℕ0
87nn0cni 12522 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
9 10nn 12731 . . . . 5 10 ∈ ℕ
109nncni 12260 . . . 4 10 ∈ ℂ
119nnne0i 12290 . . . 4 10 ≠ 0
124, 8, 10, 11divdiri 12009 . . 3 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))
13 dpadd.1 . . . 4 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
1413oveq1i 7429 . . 3 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = (𝐸𝐹 / 10)
1512, 14eqtr3i 2755 . 2 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = (𝐸𝐹 / 10)
162nn0rei 12521 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
171, 16decdiv10 32709 . . 3 (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴.𝐵)
186nn0rei 12521 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
195, 18decdiv10 32709 . . 3 (𝐶𝐷 / 10) = (𝐶.𝐷)
2017, 19oveq12i 7431 . 2 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21 dpmul.e . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
22 dpadd.f . . . 4 𝐹 ∈ ℕ0
2322nn0rei 12521 . . 3 𝐹 ∈ ℝ
2421, 23decdiv10 32709 . 2 (𝐸𝐹 / 10) = (𝐸.𝐹)
2515, 20, 243eqtr3i 2761 1 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   / cdiv 11908  0cn0 12510  cdc 12715  .cdp 32701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-dec 12716  df-dp2 32685  df-dp 32702
This theorem is referenced by:  threehalves  32728  hgt750lemd  34413  hgt750lem2  34417
  Copyright terms: Public domain W3C validator