Theorem dpadd 30358

Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1	⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹

Assertion

Ref	Expression
dpadd	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11925	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 11719	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
5		dpmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		dpmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11925	. . . . 5 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11719	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℂ
9		10nn 11926	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 11449	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	9	nnne0i 11479	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
12	4, 8, 10, 11	divdiri 11197	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10))
13		dpadd.1	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹
14	13	oveq1i 6985	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = (;𝐸𝐹 / ;10)
15	12, 14	eqtr3i 2799	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = (;𝐸𝐹 / ;10)
16	2	nn0rei 11718	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	1, 16	decdiv10 30343	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴.𝐵)
18	6	nn0rei 11718	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
19	5, 18	decdiv10 30343	. . 3 ⊢ (;𝐶𝐷 / ;10) = (𝐶.𝐷)
20	17, 19	oveq12i 6987	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21		dpmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
22		dpadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11718	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
24	21, 23	decdiv10 30343	. 2 ⊢ (;𝐸𝐹 / ;10) = (𝐸.𝐹)
25	15, 20, 24	3eqtr3i 2805	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6975  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   / cdiv 11097  ℕ₀cn0 11706  ;cdc 11910  .cdp 30335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-dec 11911  df-dp2 30319  df-dp 30336

This theorem is referenced by:  threehalves  30362  hgt750lemd  31600  hgt750lem2  31604