Theorem dpadd 31283

Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1	⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹

Assertion

Ref	Expression
dpadd	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12512	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12305	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
5		dpmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		dpmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12512	. . . . 5 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12305	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℂ
9		10nn 12513	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12043	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	9	nnne0i 12073	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
12	4, 8, 10, 11	divdiri 11792	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10))
13		dpadd.1	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹
14	13	oveq1i 7318	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = (;𝐸𝐹 / ;10)
15	12, 14	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = (;𝐸𝐹 / ;10)
16	2	nn0rei 12304	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	1, 16	decdiv10 31268	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴.𝐵)
18	6	nn0rei 12304	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
19	5, 18	decdiv10 31268	. . 3 ⊢ (;𝐶𝐷 / ;10) = (𝐶.𝐷)
20	17, 19	oveq12i 7320	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21		dpmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
22		dpadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 12304	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
24	21, 23	decdiv10 31268	. 2 ⊢ (;𝐸𝐹 / ;10) = (𝐸.𝐹)
25	15, 20, 24	3eqtr3i 2771	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2103  (class class class)co 7308  0cc0 10931  1c1 10932   + caddc 10934   / cdiv 11692  ℕ₀cn0 12293  ;cdc 12497  .cdp 31260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1968  ax-7 2008  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2134  ax-11 2151  ax-12 2168  ax-ext 2706  ax-sep 5231  ax-nul 5238  ax-pow 5296  ax-pr 5360  ax-un 7621  ax-resscn 10988  ax-1cn 10989  ax-icn 10990  ax-addcl 10991  ax-addrcl 10992  ax-mulcl 10993  ax-mulrcl 10994  ax-mulcom 10995  ax-addass 10996  ax-mulass 10997  ax-distr 10998  ax-i2m1 10999  ax-1ne0 11000  ax-1rid 11001  ax-rnegex 11002  ax-rrecex 11003  ax-cnre 11004  ax-pre-lttri 11005  ax-pre-lttrn 11006  ax-pre-ltadd 11007  ax-pre-mulgt0 11008

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2813  df-nfc 2885  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3339  df-reu 3340  df-rab 3357  df-v 3438  df-sbc 3721  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4844  df-iun 4932  df-br 5081  df-opab 5143  df-mpt 5164  df-tr 5198  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7265  df-ov 7311  df-oprab 7312  df-mpo 7313  df-om 7749  df-2nd 7868  df-frecs 8132  df-wrecs 8163  df-recs 8237  df-rdg 8276  df-er 8534  df-en 8770  df-dom 8771  df-sdom 8772  df-pnf 11071  df-mnf 11072  df-xr 11073  df-ltxr 11074  df-le 11075  df-sub 11267  df-neg 11268  df-div 11693  df-nn 12034  df-2 12096  df-3 12097  df-4 12098  df-5 12099  df-6 12100  df-7 12101  df-8 12102  df-9 12103  df-n0 12294  df-dec 12498  df-dp2 31244  df-dp 31261

This theorem is referenced by:  threehalves  31287  hgt750lemd  32724  hgt750lem2  32728