Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd 30905
Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
Assertion
Ref Expression
dpadd ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12308 . . . . 5 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
43nn0cni 12102 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℂ
5 dpmul.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
6 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12308 . . . . 5 𝐶𝐷 ∈ ℕ0
87nn0cni 12102 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
9 10nn 12309 . . . . 5 10 ∈ ℕ
109nncni 11840 . . . 4 10 ∈ ℂ
119nnne0i 11870 . . . 4 10 ≠ 0
124, 8, 10, 11divdiri 11589 . . 3 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))
13 dpadd.1 . . . 4 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
1413oveq1i 7223 . . 3 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = (𝐸𝐹 / 10)
1512, 14eqtr3i 2767 . 2 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = (𝐸𝐹 / 10)
162nn0rei 12101 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
171, 16decdiv10 30890 . . 3 (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴.𝐵)
186nn0rei 12101 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
195, 18decdiv10 30890 . . 3 (𝐶𝐷 / 10) = (𝐶.𝐷)
2017, 19oveq12i 7225 . 2 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21 dpmul.e . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
22 dpadd.f . . . 4 𝐹 ∈ ℕ0
2322nn0rei 12101 . . 3 𝐹 ∈ ℝ
2421, 23decdiv10 30890 . 2 (𝐸𝐹 / 10) = (𝐸.𝐹)
2515, 20, 243eqtr3i 2773 1 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   / cdiv 11489  0cn0 12090  cdc 12293  .cdp 30882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-dec 12294  df-dp2 30866  df-dp 30883
This theorem is referenced by:  threehalves  30909  hgt750lemd  32340  hgt750lem2  32344
  Copyright terms: Public domain W3C validator