Theorem dpadd 30589

Description: Addition with one decimal. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpmul.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd.1	⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹

Assertion

Ref	Expression
dpadd	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Proof of Theorem dpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dpmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 11912	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℂ
5		dpmul.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		dpmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11912	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 ∈ ℂ
9		10nn 12117	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 11650	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	9	nnne0i 11680	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
12	4, 8, 10, 11	divdiri 11399	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10))
13		dpadd.1	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) = ;𝐸𝐹
14	13	oveq1i 7168	. . 3 ⊢ ((;𝐴𝐵 + ;𝐶𝐷) / ;10) = (;𝐸𝐹 / ;10)
15	12, 14	eqtr3i 2848	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = (;𝐸𝐹 / ;10)
16	2	nn0rei 11911	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	1, 16	decdiv10 30574	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴.𝐵)
18	6	nn0rei 11911	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
19	5, 18	decdiv10 30574	. . 3 ⊢ (;𝐶𝐷 / ;10) = (𝐶.𝐷)
20	17, 19	oveq12i 7170	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 / ;10) + (;𝐶𝐷 / ;10)) = ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷))
21		dpmul.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
22		dpadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
23	22	nn0rei 11911	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
24	21, 23	decdiv10 30574	. 2 ⊢ (;𝐸𝐹 / ;10) = (𝐸.𝐹)
25	15, 20, 24	3eqtr3i 2854	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   / cdiv 11299  ℕ₀cn0 11900  ;cdc 12101  .cdp 30566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-dec 12102  df-dp2 30550  df-dp 30567

This theorem is referenced by:  threehalves  30593  hgt750lemd  31921  hgt750lem2  31925