Theorem dvafplusg 40373

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafplus.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvafplusg	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑇,𝑓,𝑠,𝑡   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem dvafplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafplus.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
2		dvafplus.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafplus.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafplus.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	dvasca 40371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
7	6	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
8	1, 7	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
9		dvafplus.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		dvafplus.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2724	. . 3 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
12	2, 9, 10, 3, 11	erngfplus 40167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
13	8, 12	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5222   ∘ ccom 5671  ‘cfv 6534   ∈ cmpo 7404  +_gcplusg 17198  Scalarcsca 17201  LHypclh 39349  LTrncltrn 39466  TEndoctendo 40117  EDRingcedring 40118  DVecAcdveca 40367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-edring 40122  df-dveca 40368

This theorem is referenced by:  dvaplusg  40374  dvalveclem  40390