Theorem dvasca 39020

Description: The ring base set of the constructed partial vector space A are all translation group endomorphisms (for a fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvasca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvasca.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvasca	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

Proof of Theorem dvasca

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvasca.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvasca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvasca.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 39019	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7	6	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
8		dvasca.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
9	4	fvexi 6788	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
11	10	lmodsca 17038	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
13	7, 8, 12	3eqtr4g 2803	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  {csn 4561  {ctp 4565  ⟨cop 4567   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433   ∈ cmpo 7277  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766  EDRingcedring 38767  DVecAcdveca 39016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-dveca 39017

This theorem is referenced by:  dvabase  39021  dvafplusg  39022  dvafmulr  39025  dvalveclem  39039