Theorem dvasca 42266

Description: The ring base set of the constructed partial vector space A are all translation group endomorphisms (for a fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvasca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvasca.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvasca	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

Proof of Theorem dvasca

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvasca.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvasca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvasca.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 42265	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7	6	fveq2d 6915	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
8		dvasca.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
9	4	fvexi 6925	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
11	10	lmodsca 17531	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
13	7, 8, 12	3eqtr4g 2823	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4838   ∘ ccom 5660  ‘cfv 6561   ∈ cmpo 7448  ndxcnx 17403  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  LHypclh 41244  LTrncltrn 41361  TEndoctendo 42012  EDRingcedring 42013  DVecAcdveca 42262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-dveca 42263

This theorem is used by:  dvabase  42267  dvafplusg  42268  dvafmulr  42271  dvalveclem  42285