Theorem dvasca 38947

Description: The ring base set of the constructed partial vector space A are all translation group endomorphisms (for a fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvasca.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvasca.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvasca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvasca	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

Proof of Theorem dvasca

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvasca.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvasca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvasca.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 38946	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7	6	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
8		dvasca.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
9	4	fvexi 6770	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
11	10	lmodsca 16964	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ V → 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊), 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐷⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
13	7, 8, 12	3eqtr4g 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418   ∈ cmpo 7257  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  TEndoctendo 38693  EDRingcedring 38694  DVecAcdveca 38943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-dveca 38944

This theorem is referenced by:  dvabase  38948  dvafplusg  38949  dvafmulr  38952  dvalveclem  38966