Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvasca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvasca 40381
Description: The ring base set of the constructed partial vector space A are all translation group endomorphisms (for a fiducial co-atom π‘Š). (Contributed by NM, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvasca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvasca.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvasca.u π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvasca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvasca ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = 𝐷)

Proof of Theorem dvasca
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvasca.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . . . 4 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2724 . . . 4 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvasca.d . . . 4 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvasca.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5dvaset 40380 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ = ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩}))
76fveq2d 6886 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
8 dvasca.f . 2 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
94fvexi 6896 . . 3 𝐷 ∈ V
10 eqid 2724 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})
1110lmodsca 17278 . . 3 (𝐷 ∈ V β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩})))
129, 11ax-mp 5 . 2 𝐷 = (Scalarβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), 𝐷⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘ β€˜π‘“))⟩}))
137, 8, 123eqtr4g 2789 1 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3939  {csn 4621  {ctp 4625  βŸ¨cop 4627   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534   ∈ cmpo 7404  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  LHypclh 39359  LTrncltrn 39476  TEndoctendo 40127  EDRingcedring 40128  DVecAcdveca 40377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-dveca 40378
This theorem is referenced by:  dvabase  40382  dvafplusg  40383  dvafmulr  40386  dvalveclem  40400
  Copyright terms: Public domain W3C validator