Theorem dvds2addd 16108

Description: Deduction form of dvds2add 16106. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvds2addd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvds2addd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvds2addd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvds2addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvds2addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvds2addd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))

Proof of Theorem dvds2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvds2addd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvds2addd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)
3		dvds2addd.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvds2addd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvds2addd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvds2add 16106	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝐾 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁)))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ (𝑀 + 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349   + caddc 10987  ℤcz 12432   ∥ cdvds 16070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-dvds 16071

This theorem is referenced by:  dvdsadd2b  16122  sadaddlem  16280  dvdsmulgcd  16370  bezoutr  16378  4sqlem14  16764  4sqlem16  16766  prmdvdsprmop  16849  prmgaplem1  16855  prmgaplcmlem1  16857  2sqlem8  26687  2sqcoprm  26696  fltdvdsabdvdsc  40792  fltabcoprm  40796  jm2.25  41139