Theorem prmgaplcmlem1 17107

Description: Lemma for prmgaplcm 17116: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcmlem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13548	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		fzssz 13550	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
4		fzfi 14004	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
5	3, 4	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
6		lcmfcl 16682	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12612	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
8	5, 7	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
9		breq1 5113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
10		dvdslcmf 16685	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
11	5, 10	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
12		2eluzge1 12902	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
13		fzss1 13587	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
14	12, 13	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
15	14	sselda 3945	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
16	9, 11, 15	rspcdva 3591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
17		iddvds 16323	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
18	1, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
19	18	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
20	2, 8, 2, 16, 19	dvds2addd 16346	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  2c2 12291  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531   ∥ cdvds 16306  lcmclcmf 16643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-dvds 16307  df-lcmf 16645

This theorem is referenced by:  prmgaplcmlem2  17108