Theorem prmgaplcmlem1 17048

Description: Lemma for prmgaplcm 17057: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplcmlem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13550	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		fzssz 13552	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℤ
4		fzfi 13987	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
5	3, 4	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
6		lcmfcl 16624	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12631	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
8	5, 7	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
9		breq1 5155	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
10		dvdslcmf 16627	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
11	5, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
12		2eluzge1 12925	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
13		fzss1 13589	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
15	14	sselda 3978	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
16	9, 11, 15	rspcdva 3608	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
17		iddvds 16267	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
18	1, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
19	18	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
20	2, 8, 2, 16, 19	dvds2addd 16289	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  Fincfn 8973  1c1 11155   + caddc 11157  ℕcn 12259  2c2 12314  ℤcz 12605  ℤ_≥cuz 12869  ...cfz 13533   ∥ cdvds 16251  lcmclcmf 16585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-prod 15903  df-dvds 16252  df-lcmf 16587

This theorem is referenced by:  prmgaplcmlem2  17049