Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcmlem1 16361
 Description: Lemma for prmgaplcm 16370: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcmlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5041 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
2 fzssz 12889 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℤ
3 fzfi 13320 . . . . 5 (1...𝑁) ∈ Fin
42, 3pm3.2i 473 . . . 4 ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
5 dvdslcmf 15949 . . . 4 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
7 2eluzge1 12269 . . . . 5 2 ∈ (ℤ‘1)
8 fzss1 12926 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
97, 8mp1i 13 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
109sselda 3942 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
111, 6, 10rspcdva 3601 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
12 elfzelz 12888 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
13 iddvds 15599 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1514adantl 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
1612adantl 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
17 lcmfcl 15946 . . . . 5 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 12060 . . . 4 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
194, 18mp1i 13 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
20 dvds2add 15619 . . 3 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
2116, 19, 16, 20syl3anc 1367 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼)))
2211, 15, 21mp2and 697 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125   ⊆ wss 3909   class class class wbr 5038  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  Fincfn 8483  1c1 10512   + caddc 10514  ℕcn 11612  2c2 11667  ℤcz 11956  ℤ≥cuz 12218  ...cfz 12872   ∥ cdvds 15583  lcmclcmf 15907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-rp 12365  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-prod 15236  df-dvds 15584  df-lcmf 15909 This theorem is referenced by:  prmgaplcmlem2  16362
 Copyright terms: Public domain W3C validator