MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplcmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplcmlem1 16857
Description: Lemma for prmgaplcm 16866: The least common multiple of all positive integers less than or equal to a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplcmlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplcmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13369 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 fzssz 13371 . . . 4 (1...𝑁) ⊆ ℤ
4 fzfi 13805 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
53, 4pm3.2i 471 . . 3 ((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
6 lcmfcl 16438 . . . 4 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12537 . . 3 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
85, 7mp1i 13 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (lcm‘(1...𝑁)) ∈ ℤ)
9 breq1 5106 . . 3 (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)) ↔ 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁))))
10 dvdslcmf 16441 . . . 4 (((1...𝑁) ⊆ ℤ ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
115, 10mp1i 13 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)𝑥 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
12 2eluzge1 12747 . . . . 5 2 ∈ (ℤ‘1)
13 fzss1 13408 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
1412, 13mp1i 13 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
1514sselda 3942 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ (1...𝑁))
169, 11, 15rspcdva 3580 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (lcm‘(1...𝑁)))
17 iddvds 16086 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
181, 17syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1918adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
202, 8, 2, 16, 19dvds2addd 16108 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((lcm‘(1...𝑁)) + 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3062  wss 3908   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349  Fincfn 8816  1c1 10985   + caddc 10987  cn 12086  2c2 12141  cz 12432  cuz 12695  ...cfz 13352  cdvds 16070  lcmclcmf 16399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-prod 15723  df-dvds 16071  df-lcmf 16401
This theorem is referenced by:  prmgaplcmlem2  16858
  Copyright terms: Public domain W3C validator