MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bezoutr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bezoutr 16379
Description: Partial converse to bezout 16359. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
bezoutr (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem bezoutr
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16321 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 12538 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
32adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
4 simpll 766 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 simprl 770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
64, 5zmulcld 12546 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
7 simplr 768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
8 simprr 772 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)
97, 8zmulcld 12546 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
10 gcddvds 16318 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
1110adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
1211simpld 496 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด)
133, 4, 5, 12dvdsmultr1d 16114 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (๐ด ยท ๐‘‹))
1411simprd 497 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต)
153, 7, 8, 14dvdsmultr1d 16114 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ (๐ต ยท ๐‘Œ))
163, 6, 9, 13, 15dvds2addd 16109 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071   gcd cgcd 16309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310
This theorem is referenced by:  bezoutr1  16380
  Copyright terms: Public domain W3C validator