MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem1 16856
Description: Lemma for prmgap 16866: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem1
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13370 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21adantl 483 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 nnnn0 12354 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 14112 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12539 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
65adantr 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
7 elfzuz 13366 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 12738 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
10 elfzuz3 13367 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐼))
119, 10jca 513 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
1211adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
13 dvdsfac 16143 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
15 iddvds 16087 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
161, 15syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1716adantl 483 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
182, 6, 2, 14, 17dvds2addd 16109 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350   + caddc 10988  cn 12087  2c2 12142  cz 12433  cuz 12696  ...cfz 13353  !cfa 14101  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-fz 13354  df-seq 13836  df-fac 14102  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  prmgaplem2  16857
  Copyright terms: Public domain W3C validator