Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem1 16378
 Description: Lemma for prmgap 16388: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12901 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
2 eluz2nn 12275 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
4 elfzuz3 12902 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐼))
53, 4jca 515 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
65adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
7 dvdsfac 15671 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
9 elfzelz 12905 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
10 iddvds 15618 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
119, 10syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1211adantl 485 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
139adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
14 nnnn0 11895 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
1514faccld 13643 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1615nnzd 12077 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
1716adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
18 dvds2add 15638 . . 3 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∥ (!‘𝑁) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
1913, 17, 13, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((𝐼 ∥ (!‘𝑁) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
208, 12, 19mp2and 698 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   + caddc 10532  ℕcn 11628  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ...cfz 12888  !cfa 13632   ∥ cdvds 15602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-seq 13368  df-fac 13633  df-dvds 15603 This theorem is referenced by:  prmgaplem2  16379
 Copyright terms: Public domain W3C validator