Theorem prmgaplem1 16817

Description: Lemma for prmgap 16827: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13326	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3		nnnn0 12310	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	faccld 14068	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
7		elfzuz 13322	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 12694	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
10		elfzuz3 13323	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
11	9, 10	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
13		dvdsfac 16104	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐼)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
15		iddvds 16048	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∥ 𝐼)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∥ 𝐼)
17	16	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ 𝐼)
18	2, 6, 2, 14, 17	dvds2addd 16070	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5085  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313   + caddc 10944  ℕcn 12043  2c2 12098  ℤcz 12389  ℤ_≥cuz 12652  ...cfz 13309  !cfa 14057   ∥ cdvds 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-seq 13792  df-fac 14058  df-dvds 16033

This theorem is referenced by:  prmgaplem2  16818