MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem1 16855
Description: Lemma for prmgap 16865: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem1
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13369 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 nnnn0 12353 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 14111 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 12538 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
65adantr 481 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
7 elfzuz 13365 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 12737 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
10 elfzuz3 13366 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐼))
119, 10jca 512 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
1211adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
13 dvdsfac 16142 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
15 iddvds 16086 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
161, 15syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1716adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
182, 6, 2, 14, 17dvds2addd 16108 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349   + caddc 10987  cn 12086  2c2 12141  cz 12432  cuz 12695  ...cfz 13352  !cfa 14100  cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-fz 13353  df-seq 13835  df-fac 14101  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  prmgaplem2  16856
  Copyright terms: Public domain W3C validator