Theorem elmod2 45722

Description: An integer modulo 2 is either 0 or 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.) (Proof shortened by OpenAI, 3-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elmod2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ {0, 1})

Proof of Theorem elmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12257	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		zmodfzo 13831	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0..^2))
3	2	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 2) ∈ (0..^2))
4	1, 3	mpan 688	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ (0..^2))
5		fzo0to2pr 13689	. 2 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
6	4, 5	eleqtrdi 2842	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 2) ∈ {0, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  {cpr 4615  (class class class)co 7384  0cc0 11082  1c1 11083  ℕcn 12184  2c2 12239  ℤcz 12530  ..^cfzo 13599   mod cmo 13806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-pre-sup 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11844  df-nn 12185  df-2 12247  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-rp 12947  df-fz 13457  df-fzo 13600  df-fl 13729  df-mod 13807

This theorem is referenced by:  dfodd5  46012  dig2nn0  46857