Theorem dfodd5 46626

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd5	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) ≠ 0}

Proof of Theorem dfodd5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd4 46625	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}
2		elmod2 46336	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 mod 2) ∈ {0, 1})
3		prcom 4735	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} = {1, 0}
4	3	eleq2i 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 mod 2) ∈ {0, 1} ↔ (𝑧 mod 2) ∈ {1, 0})
5	4	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 mod 2) ∈ {0, 1} → (𝑧 mod 2) ∈ {1, 0})
6		ax-1ne0 11181	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
7		elprneb 46037	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 mod 2) ∈ {1, 0} ∧ 1 ≠ 0) → ((𝑧 mod 2) = 1 ↔ (𝑧 mod 2) ≠ 0))
8	5, 6, 7	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝑧 mod 2) ∈ {0, 1} → ((𝑧 mod 2) = 1 ↔ (𝑧 mod 2) ≠ 0))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑧 mod 2) = 1 ↔ (𝑧 mod 2) ≠ 0))
10	9	rabbiia 3434	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) ≠ 0}
11	1, 10	eqtri 2758	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) ≠ 0}

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  {crab 3430  {cpr 4629  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  ℤcz 12562   mod cmo 13838   Odd codd 46591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-odd 46593

This theorem is referenced by: (None)