Theorem m1mod0mod1 47636

Description: An integer decreased by 1 is 0 modulo a positive integer iff the integer is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1mod0mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Proof of Theorem m1mod0mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		npcan1 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3	2	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
7	6	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
9		1mod 13827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
10	9	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (1 mod 𝑁) = 1)
12	8, 11	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) = (0 + 1))
13	12	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((0 + 1) mod 𝑁))
14		peano2rem 11452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16		1red 11137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
17		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		0lt1 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
19		0re 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		1re 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttr 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	19, 20, 21	mp3an12 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	18, 22	mpani 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	17, 24	elrpd 12950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
26	25	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	15, 16, 26	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
29		modaddabs 13835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
31		0p1e1 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
33	32, 9	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
34	33	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
36	13, 30, 35	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁) = 1)
37	7, 36	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
39	38	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → 1 = (𝐴 mod 𝑁))
40	39	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 − 1) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)))
41	40	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
42		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 26	modcld 13799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
45	44	subidd 11484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = 0)
46	45	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
47		modsubmod 13856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
48	42, 43, 26, 47	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
49		0mod 13826	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
50	26, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
51	46, 48, 50	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
52	51	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
53	41, 52	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
54	37, 53	impbida 801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   − cmin 11368  ℝ⁺crp 12909   mod cmo 13793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794

This theorem is referenced by:  dfodd4  47941