Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1mod0mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1mod0mod1 47294
Description: An integer decreased by 1 is 0 modulo a positive integer iff the integer is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1mod0mod1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Proof of Theorem m1mod0mod1
StepHypRef Expression
1 recn 11243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 npcan1 11686 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
32eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
543ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
65adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
76oveq1d 7446 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
8 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
9 1mod 13940 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
1093adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
1110adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (1 mod 𝑁) = 1)
128, 11oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) = (0 + 1))
1312oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((0 + 1) mod 𝑁))
14 peano2rem 11574 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15143ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16 1red 11260 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
17 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 0lt1 11783 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
19 0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
20 1re 11259 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
21 lttr 11335 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2219, 20, 21mp3an12 1450 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2318, 22mpani 696 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
2423imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2517, 24elrpd 13072 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
26253adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
2715, 16, 263jca 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
2827adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
29 modaddabs 13946 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
3028, 29syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
31 0p1e1 12386 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
3332, 9eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
34333adant1 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
3534adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
3613, 30, 353eqtr3d 2783 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁) = 1)
377, 36eqtrd 2775 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
38 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
3938eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → 1 = (𝐴 mod 𝑁))
4039oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 − 1) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)))
4140oveq1d 7446 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
42 simp1 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 26modcld 13912 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4443recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
4544subidd 11606 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = 0)
4645oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
47 modsubmod 13967 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4842, 43, 26, 47syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
49 0mod 13939 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
5026, 49syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
5146, 48, 503eqtr3d 2783 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
5251adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
5341, 52eqtrd 2775 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
5437, 53impbida 801 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  +crp 13032   mod cmo 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907
This theorem is referenced by:  dfodd4  47584  difmodm1lt  48372
  Copyright terms: Public domain W3C validator