Theorem m1mod0mod1 47243

Description: An integer decreased by 1 is 0 modulo a positive integer iff the integer is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1mod0mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Proof of Theorem m1mod0mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		npcan1 11715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3	2	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
7	6	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
9		1mod 13954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
10	9	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (1 mod 𝑁) = 1)
12	8, 11	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) = (0 + 1))
13	12	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((0 + 1) mod 𝑁))
14		peano2rem 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16		1red 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
17		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		0lt1 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
19		0re 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		1re 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttr 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	19, 20, 21	mp3an12 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	18, 22	mpani 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	17, 24	elrpd 13096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
26	25	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	15, 16, 26	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
29		modaddabs 13960	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
31		0p1e1 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
33	32, 9	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
34	33	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
36	13, 30, 35	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁) = 1)
37	7, 36	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
39	38	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → 1 = (𝐴 mod 𝑁))
40	39	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 − 1) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)))
41	40	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
42		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 26	modcld 13926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
45	44	subidd 11635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = 0)
46	45	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
47		modsubmod 13980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
48	42, 43, 26, 47	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
49		0mod 13953	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
50	26, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
51	46, 48, 50	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
52	51	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
53	41, 52	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
54	37, 53	impbida 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  dfodd4  47533  difmodm1lt  48256