Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1mod0mod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1mod0mod1 46771
Description: An integer decreased by 1 is 0 modulo a positive integer iff the integer is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1mod0mod1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Proof of Theorem m1mod0mod1
StepHypRef Expression
1 recn 11226 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 npcan1 11667 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
32eqcomd 2731 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
41, 3syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
543ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
65adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
76oveq1d 7430 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
8 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
9 1mod 13898 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
1093adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
1110adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (1 mod 𝑁) = 1)
128, 11oveq12d 7433 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) = (0 + 1))
1312oveq1d 7430 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((0 + 1) mod 𝑁))
14 peano2rem 11555 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16 1red 11243 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
17 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 0lt1 11764 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
19 0re 11244 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
20 1re 11242 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
21 lttr 11318 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2219, 20, 21mp3an12 1447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2318, 22mpani 694 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
2423imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2517, 24elrpd 13043 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
26253adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
2715, 16, 263jca 1125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
2827adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
29 modaddabs 13904 . . . . 5 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
3028, 29syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
31 0p1e1 12362 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3231oveq1i 7425 . . . . . . 7 ((0 + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
3332, 9eqtrid 2777 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
34333adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
3534adantr 479 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
3613, 30, 353eqtr3d 2773 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁) = 1)
377, 36eqtrd 2765 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
38 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
3938eqcomd 2731 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → 1 = (𝐴 mod 𝑁))
4039oveq2d 7431 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 − 1) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)))
4140oveq1d 7430 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
42 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 26modcld 13870 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4443recnd 11270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
4544subidd 11587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = 0)
4645oveq1d 7430 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
47 modsubmod 13924 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
4842, 43, 26, 47syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
49 0mod 13897 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
5026, 49syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
5146, 48, 503eqtr3d 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
5251adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
5341, 52eqtrd 2765 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
5437, 53impbida 799 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cc 11134  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276  cmin 11472  +crp 13004   mod cmo 13864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865
This theorem is referenced by:  dfodd4  47061  difmodm1lt  47706
  Copyright terms: Public domain W3C validator