Theorem m1mod0mod1 47915

Description: An integer decreased by 1 is 0 modulo a positive integer iff the integer is 1 modulo the same modulus. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1mod0mod1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Proof of Theorem m1mod0mod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		npcan1 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
3	2	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
5	4	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → 𝐴 = ((𝐴 − 1) + 1))
7	6	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
8		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
9		1mod 13907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
10	9	3adant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (1 mod 𝑁) = 1)
12	8, 11	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) = (0 + 1))
13	12	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((0 + 1) mod 𝑁))
14		peano2rem 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
16		1red 11176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
17		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		0lt1 11703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
19		0re 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		1re 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		lttr 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
22	19, 20, 21	mp3an12 1471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
23	18, 22	mpani 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
24	23	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	17, 24	elrpd 13028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
26	25	3adant1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
27	15, 16, 26	3jca 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
28	27	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
29		modaddabs 13915	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) + (1 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁))
31		0p1e1 12332	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
33	32, 9	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
34	33	3adant1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
35	34	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → ((0 + 1) mod 𝑁) = 1)
36	13, 30, 35	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) + 1) mod 𝑁) = 1)
37	7, 36	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
38		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
39	38	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → 1 = (𝐴 mod 𝑁))
40	39	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → (𝐴 − 1) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)))
41	40	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
42		simp1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 26	modcld 13879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
45	44	subidd 11524	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = 0)
46	45	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
47		modsubmod 13936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
48	42, 43, 26, 47	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁))
49		0mod 13906	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
50	26, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
51	46, 48, 50	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
52	51	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0)
53	41, 52	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 1) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
54	37, 53	impbida 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   − cmin 11408  ℝ⁺crp 12987   mod cmo 13873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fl 13796  df-mod 13874

This theorem is referenced by:  dfodd4  48242