Theorem eulerpartleme 34507

Description: Lemma for eulerpart 34526. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartleme	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem eulerpartleme

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12443	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 12180	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
3	1, 2	elmap 8819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
4	3	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
5		cnveq 5828	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ◡𝑓 = ◡𝐴)
6	5	imaeq1d 6024	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐴 “ ℕ))
7	6	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
8		fveq1 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
9	8	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
10	9	sumeq2sdv 15665	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
11	10	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
12	7, 11	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
13		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
14	12, 13	elrab2 3637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
15		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
16	4, 14, 15	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   · cmul 11043  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-map 8775  df-nn 12175  df-n0 12438  df-seq 13964  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  34508  eulerpartlemd  34510  eulerpartlemb  34512  eulerpartlemn  34525