Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartleme 31238
Description: Lemma for eulerpart 31257. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11751 . . . 4 0 ∈ V
2 nnex 11492 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2elmap 8285 . . 3 (𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
43anbi1i 623 . 2 ((𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
5 cnveq 5630 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴𝑓 = 𝐴)
65imaeq1d 5805 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐴 “ ℕ))
76eleq1d 2867 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
8 fveq1 6537 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑘) = (𝐴𝑘))
98oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑘) · 𝑘))
109sumeq2sdv 14894 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
1110eqeq1d 2797 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
127, 11anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
13 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1412, 13elrab2 3621 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
15 3anass 1088 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
164, 14, 153bitr4i 304 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  ccnv 5442  cima 5446  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357   · cmul 10388  cn 11486  0cn0 11745  Σcsu 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-sum 14877
This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  31239  eulerpartlemd  31241  eulerpartlemb  31243  eulerpartlemn  31256
  Copyright terms: Public domain W3C validator