Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartleme 34036
Description: Lemma for eulerpart 34055. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12503 . . . 4 β„•0 ∈ V
2 nnex 12243 . . . 4 β„• ∈ V
31, 2elmap 8883 . . 3 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
43anbi1i 622 . 2 ((𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
5 cnveq 5871 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐴)
65imaeq1d 6058 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ β„•))
76eleq1d 2810 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
8 fveq1 6889 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
98oveq1d 7428 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
109sumeq2sdv 15677 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1110eqeq1d 2727 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
127, 11anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐴 β†’ (((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
13 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
1412, 13elrab2 3679 . 2 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
15 3anass 1092 . 2 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
164, 14, 153bitr4i 302 1 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  β—‘ccnv 5672   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957   Β· cmul 11138  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  Ξ£csu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  34037  eulerpartlemd  34039  eulerpartlemb  34041  eulerpartlemn  34054
  Copyright terms: Public domain W3C validator