Theorem eulerpartleme 34523

Description: Lemma for eulerpart 34542. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
eulerpartleme	⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem eulerpartleme

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
2		nnex 12171	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
3	1, 2	elmap 8812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
4	3	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
5		cnveq 5822	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ◡𝑓 = ◡𝐴)
6	5	imaeq1d 6018	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (◡𝑓 “ ℕ) = (◡𝐴 “ ℕ))
7	6	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
8		fveq1 6833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
9	8	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
10	9	sumeq2sdv 15656	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
11	10	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
12	7, 11	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
13		eulerpart.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
14	12, 13	elrab2 3638	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
15		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
16	4, 14, 15	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886   · cmul 11034  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-map 8768  df-nn 12166  df-n0 12429  df-seq 13955  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  34524  eulerpartlemd  34526  eulerpartlemb  34528  eulerpartlemn  34541