Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartleme 34365
Description: Lemma for eulerpart 34384. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12532 . . . 4 0 ∈ V
2 nnex 12272 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2elmap 8911 . . 3 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
43anbi1i 624 . 2 ((𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
5 cnveq 5884 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴𝑓 = 𝐴)
65imaeq1d 6077 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐴 “ ℕ))
76eleq1d 2826 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
8 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑘) = (𝐴𝑘))
98oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑘) · 𝑘))
109sumeq2sdv 15739 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
1110eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
127, 11anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
13 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1412, 13elrab2 3695 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
15 3anass 1095 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
164, 14, 153bitr4i 303 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-map 8868  df-nn 12267  df-n0 12527  df-seq 14043  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  34366  eulerpartlemd  34368  eulerpartlemb  34370  eulerpartlemn  34383
  Copyright terms: Public domain W3C validator