Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartleme 31746
 Description: Lemma for eulerpart 31765. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11894 . . . 4 0 ∈ V
2 nnex 11634 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2elmap 8421 . . 3 (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ↔ 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
43anbi1i 626 . 2 ((𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
5 cnveq 5709 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴𝑓 = 𝐴)
65imaeq1d 5896 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐴 “ ℕ))
76eleq1d 2874 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
8 fveq1 6645 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓𝑘) = (𝐴𝑘))
98oveq1d 7151 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑘) · 𝑘))
109sumeq2sdv 15056 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
1110eqeq1d 2800 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
127, 11anbi12d 633 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
13 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
1412, 13elrab2 3631 . 2 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (ℕ0m ℕ) ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
15 3anass 1092 . 2 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁) ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ ((𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁)))
164, 14, 153bitr4i 306 1 (𝐴𝑃 ↔ (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  ◡ccnv 5519   “ cima 5523  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  Fincfn 8495   · cmul 10534  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  Σcsu 15037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-seq 13368  df-sum 15038 This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  31747  eulerpartlemd  31749  eulerpartlemb  31751  eulerpartlemn  31764
 Copyright terms: Public domain W3C validator