Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartleme Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartleme 33906
Description: Lemma for eulerpart 33925. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
eulerpartleme (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,π‘˜)   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem eulerpartleme
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12494 . . . 4 β„•0 ∈ V
2 nnex 12234 . . . 4 β„• ∈ V
31, 2elmap 8879 . . 3 (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
43anbi1i 623 . 2 ((𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
5 cnveq 5870 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐴)
65imaeq1d 6056 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝐴 β€œ β„•))
76eleq1d 2813 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
8 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
98oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐴 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
109sumeq2sdv 15668 . . . . 5 (𝑓 = 𝐴 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
1110eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
127, 11anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐴 β†’ (((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
13 eulerpart.p . . 3 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
1412, 13elrab2 3683 . 2 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
15 3anass 1093 . 2 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ ((◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)))
164, 14, 153bitr4i 303 1 (𝐴 ∈ 𝑃 ↔ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953   Β· cmul 11129  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  Ξ£csu 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  eulerpartlemv  33907  eulerpartlemd  33909  eulerpartlemb  33911  eulerpartlemn  33924
  Copyright terms: Public domain W3C validator