Theorem oddge22np1 16407

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		nn0z 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
3	2	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4		eluz2 12868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5		2re 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8		2nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 12570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
13	6, 7, 12	lesubaddd 11811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14		2m1e1 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	breq1i 5118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16		nn0re 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
17		2rp 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
19	7, 16, 18	ledivmuld 13113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
20		halfgt0 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < (1 / 2)
21		0red 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
22		halfre 12457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
24		ltletr 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
25	21, 23, 16, 24	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
26	20, 25	mpani 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
27	19, 26	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
28	15, 27	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
29	13, 28	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
30	29	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
31	30	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
32	4, 31	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33	32	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
34		elnnz 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
35	3, 33, 34	sylanbrc 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	35	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ))
37	1, 36	biimtrrdi 257	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ)))
38	37	com13 89	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ)))
39	38	impcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ))
40	39	pm4.71rd 571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
41	40	bicomd 226	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
42	41	rexbidva 3193	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
43		nnssnn0 12507	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
44		rexss 4017	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
45	43, 44	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
46		eluzge2nn0 12916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		oddnn02np1 16406	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
48	46, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
49	42, 45, 48	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ℝ⁺crp 13016   ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825  df-dvds 16311

This theorem is referenced by:  lighneallem3  48283