MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddge22np1 16236
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
2 nn0z 12529 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 eluz2 12774 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„•0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
119, 10nn0mulcld 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
1211nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
136, 7, 12lesubaddd 11757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
14 2m1e1 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆ’ 1) = 1
1514breq1i 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
16 nn0re 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
17 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
197, 16, 18ledivmuld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
20 halfgt0 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
21 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„)
22 halfre 12372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
24 ltletr 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2521, 23, 16, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2620, 25mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†’ 0 < ๐‘›))
2719, 26sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2815, 27biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2913, 28sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ 0 < ๐‘›))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
31303ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
324, 31sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
3332imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ๐‘›)
34 elnnz 12514 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘›))
353, 33, 34sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635ex 414 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
371, 36syl6bir 254 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3837com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3938impcom 409 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
4039pm4.71rd 564 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4140bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4241rexbidva 3170 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43 nnssnn0 12421 . . 3 โ„• โŠ† โ„•0
44 rexss 4016 . . 3 (โ„• โŠ† โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4543, 44mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
46 eluzge2nn0 12817 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
47 oddnn02np1 16235 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4846, 47syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4942, 45, 483bitr4rd 312 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  lighneallem3  45885
  Copyright terms: Public domain W3C validator