MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddge22np1 16299
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
2 nn0z 12587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„•0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
119, 10nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
1211nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
136, 7, 12lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
14 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆ’ 1) = 1
1514breq1i 5148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
16 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
17 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
197, 16, 18ledivmuld 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
20 halfgt0 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
21 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„)
22 halfre 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
24 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2521, 23, 16, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2620, 25mpani 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†’ 0 < ๐‘›))
2719, 26sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2815, 27biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2913, 28sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ 0 < ๐‘›))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
31303ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
324, 31sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
3332imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ๐‘›)
34 elnnz 12572 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘›))
353, 33, 34sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635ex 412 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
371, 36syl6bir 254 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3837com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3938impcom 407 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
4039pm4.71rd 562 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4140bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4241rexbidva 3170 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43 nnssnn0 12479 . . 3 โ„• โІ โ„•0
44 rexss 4050 . . 3 (โ„• โІ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4543, 44mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
46 eluzge2nn0 12875 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
47 oddnn02np1 16298 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4846, 47syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4942, 45, 483bitr4rd 312 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   โІ wss 3943   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  lighneallem3  46852
  Copyright terms: Public domain W3C validator