MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddge22np1 15358
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 nn0z 11650 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 eluz2 11895 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5 2re 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7 1red 10296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8 2nn0 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
136, 7, 12lesubaddd 10880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14 2m1e1 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
1514breq1i 4818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16 nn0re 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
17 2rp 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
197, 16, 18ledivmuld 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
20 halfgt0 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
21 0red 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
22 halfre 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
24 ltletr 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2521, 23, 16, 24syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2620, 25mpani 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
2719, 26sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
2815, 27syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
2913, 28sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
31303ad2ant3 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
324, 31sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
3332imp 395 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
34 elnnz 11636 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
353, 33, 34sylanbrc 578 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635ex 401 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ))
371, 36syl6bir 245 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ)))
3837com13 88 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
3938impcom 396 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
4039pm4.71rd 558 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4140bicomd 214 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4241rexbidva 3196 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
43 nnssnn0 11543 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
44 rexss 3831 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4543, 44mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
46 eluzge2nn0 11930 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 oddnn02np1 15357 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4846, 47syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4942, 45, 483bitr4rd 303 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  wss 3734   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  0cn0 11540  cz 11626  cuz 11889  +crp 12031  cdvds 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-inf 8558  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fl 12804  df-dvds 15269
This theorem is referenced by:  lighneallem3  42203
  Copyright terms: Public domain W3C validator