MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddge22np1 16323
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
2 nn0z 12611 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
32adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4 eluz2 12856 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
5 2re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
7 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8 2nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„•0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
119, 10nn0mulcld 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
1211nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
136, 7, 12lesubaddd 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
14 2m1e1 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 โˆ’ 1) = 1
1514breq1i 5150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›))
16 nn0re 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
17 2rp 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„+
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
197, 16, 18ledivmuld 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†” 1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›)))
20 halfgt0 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
21 0red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ โ„)
22 halfre 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
24 ltletr 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2521, 23, 16, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((0 < (1 / 2) โˆง (1 / 2) โ‰ค ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2620, 25mpani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2) โ‰ค ๐‘› โ†’ 0 < ๐‘›))
2719, 26sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2815, 27biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 โˆ’ 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘›) โ†’ 0 < ๐‘›))
2913, 28sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ 0 < ๐‘›))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
31303ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
324, 31sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 < ๐‘›))
3332imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < ๐‘›)
34 elnnz 12596 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘›))
353, 33, 34sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3635ex 411 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
371, 36syl6bir 253 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3837com13 88 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)))
3938impcom 406 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•))
4039pm4.71rd 561 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4140bicomd 222 . . 3 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4241rexbidva 3167 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
43 nnssnn0 12503 . . 3 โ„• โІ โ„•0
44 rexss 4048 . . 3 (โ„• โІ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
4543, 44mp1i 13 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
46 eluzge2nn0 12899 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
47 oddnn02np1 16322 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4846, 47syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
4942, 45, 483bitr4rd 311 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โІ wss 3940   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   โˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  โ„+crp 13004   โˆฅ cdvds 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-dvds 16229
This theorem is referenced by:  lighneallem3  47009
  Copyright terms: Public domain W3C validator