Theorem exple1 14216

Description: A real between 0 and 1 inclusive raised to a nonnegative integer power is less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 29-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exple1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ≤ 1)

Proof of Theorem exple1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0uz 12920	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6	4, 5	eleqtrdi 2851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
8		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 1)
9		leexp2r 14214	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐴↑0))
10	1, 3, 6, 7, 8, 9	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ≤ (𝐴↑0))
11	1	recnd 11289	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		exp0 14106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
14	10, 13	breqtrd 5169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ≤ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26482  ftalem5  27120  dchrisum0flblem1  27552  strlem3a  32271  knoppndvlem18  36530  stoweidlem1  46016  stoweidlem24  46039  stoweidlem45  46060