Theorem fldivmod 47339

Description: Expressing the floor of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem fldivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 12983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	flcld 13760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12639	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		rpcn 12962	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 11194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
7		modcl 13835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 8	pncand 11534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
10	6, 8	addcld 11193	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
11	10, 8	subcld 11533	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
12		rpne0 12968	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
14	11, 3, 5, 13	divmul3d 11992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
15	9, 14	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
16		flpmodeq 13836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)))
18	17	oveq1d 7402	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
19	15, 18	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752   mod cmo 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-mod 13832

This theorem is referenced by:  ceildivmod  47340  dignn0flhalflem1  48604