Theorem fldivmod 45842

Description: Expressing the floor of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem fldivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 12770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	flcld 13528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12437	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		rpcn 12750	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 11005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
7		modcl 13603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 8	pncand 11343	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
10	6, 8	addcld 11004	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
11	10, 8	subcld 11342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
12		rpne0 12756	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
14	11, 3, 5, 13	divmul3d 11795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
15	9, 14	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
16		flpmodeq 13604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)))
18	17	oveq1d 7282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
19	15, 18	eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℂcc 10879  ℝcr 10880  0cc0 10881   + caddc 10884   · cmul 10886   − cmin 11215   / cdiv 11642  ℝ⁺crp 12740  ⌊cfl 13520   mod cmo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fl 13522  df-mod 13600

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  45939