Theorem fldivmod 48619

Description: Expressing the floor of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem fldivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 13179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	flcld 13965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12831	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		rpcn 13158	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 11356	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
7		modcl 14040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 8	pncand 11697	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
10	6, 8	addcld 11355	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
11	10, 8	subcld 11696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
12		rpne0 13164	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
14	11, 3, 5, 13	divmul3d 12154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
15	9, 14	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
16		flpmodeq 14041	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)
17	16	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)))
18	17	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
19	15, 18	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℝ⁺crp 13147  ⌊cfl 13957   mod cmo 14036

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037

This theorem is used by:  ceildivmod  48620  dignn0flhalflem1  49932