Theorem fldivmod 43332

Description: Expressing the floor of a division by the modulo operator. (Contributed by AV, 6-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fldivmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Proof of Theorem fldivmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rerpdivcl 12169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	flcld 12918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 11835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		rpcn 12149	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	3, 5	mulcld 10397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) ∈ ℂ)
7		modcl 12991	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 8	pncand 10735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵))
10	6, 8	addcld 10396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
11	10, 8	subcld 10734	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℂ)
12		rpne0 12155	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
13	12	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
14	11, 3, 5, 13	divmul3d 11185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ↔ ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵)))
15	9, 14	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
16		flpmodeq 12992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) = 𝐴)
17	16	oveq1d 6937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)))
18	17	oveq1d 6937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) · 𝐵) + (𝐴 mod 𝐵)) − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
19	15, 18	eqtr3d 2816	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606   / cdiv 11032  ℝ⁺crp 12137  ⌊cfl 12910   mod cmo 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  43428