Theorem mod0mul 48139

Description: If an integer is 0 modulo a positive integer, this integer must be a multiple of the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod0mul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mod0mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnrp 13046	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		mod0 13929	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ)
6		oveq1 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝑥 · 𝑁) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
7	6	eqeq2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = (𝐴 / 𝑁)) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
9		zcn 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		nncn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnne0 12288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
15	10, 12, 14	divcan1d 12010	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
18	5, 8, 17	rspcedvd 3586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
19	18	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
20	4, 19	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fl 13845  df-mod 13923

This theorem is used by:  m1modmmod  48141  modlt0b  48146