Theorem mod0mul 47158

Description: If an integer is 0 modulo a positive integer, this integer must be the product of another integer and the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod0mul	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁

Proof of Theorem mod0mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnrp 12981	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		mod0 13837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ))
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ)
6		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝑥 · 𝑁) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
7	6	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 / 𝑁) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
8	7	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = (𝐴 / 𝑁)) → (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁)))
9		zcn 12559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		nncn 12216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnne0 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
14	13	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
15	10, 12, 14	divcan1d 11987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑁))
18	5, 8, 17	rspcedvd 3614	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
19	18	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑁) ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
20	4, 19	sylbid 239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970   mod cmo 13830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831

This theorem is referenced by:  m1modmmod  47160