![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mod0mul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If an integer is 0 modulo a positive integer, this integer must be the product of another integer and the modulus. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
mod0mul | โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = 0 โ โ๐ฅ โ โค ๐ด = (๐ฅ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zre 12566 | . . 3 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
2 | nnrp 12989 | . . 3 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ+) | |
3 | mod0 13845 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ+) โ ((๐ด mod ๐) = 0 โ (๐ด / ๐) โ โค)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 594 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = 0 โ (๐ด / ๐) โ โค)) |
5 | simpr 483 | . . . 4 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ด / ๐) โ โค) โ (๐ด / ๐) โ โค) | |
6 | oveq1 7418 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = (๐ด / ๐) โ (๐ฅ ยท ๐) = ((๐ด / ๐) ยท ๐)) | |
7 | 6 | eqeq2d 2741 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ด / ๐) โ (๐ด = (๐ฅ ยท ๐) โ ๐ด = ((๐ด / ๐) ยท ๐))) |
8 | 7 | adantl 480 | . . . 4 โข ((((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ด / ๐) โ โค) โง ๐ฅ = (๐ด / ๐)) โ (๐ด = (๐ฅ ยท ๐) โ ๐ด = ((๐ด / ๐) ยท ๐))) |
9 | zcn 12567 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
10 | 9 | adantr 479 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
11 | nncn 12224 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
12 | 11 | adantl 480 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ๐ โ โ) |
13 | nnne0 12250 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ ๐ โ 0) | |
14 | 13 | adantl 480 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ๐ โ 0) |
15 | 10, 12, 14 | divcan1d 11995 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด / ๐) ยท ๐) = ๐ด) |
16 | 15 | adantr 479 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ด / ๐) โ โค) โ ((๐ด / ๐) ยท ๐) = ๐ด) |
17 | 16 | eqcomd 2736 | . . . 4 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ด / ๐) โ โค) โ ๐ด = ((๐ด / ๐) ยท ๐)) |
18 | 5, 8, 17 | rspcedvd 3613 | . . 3 โข (((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โง (๐ด / ๐) โ โค) โ โ๐ฅ โ โค ๐ด = (๐ฅ ยท ๐)) |
19 | 18 | ex 411 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด / ๐) โ โค โ โ๐ฅ โ โค ๐ด = (๐ฅ ยท ๐))) |
20 | 4, 19 | sylbid 239 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = 0 โ โ๐ฅ โ โค ๐ด = (๐ฅ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 โ wne 2938 โwrex 3068 (class class class)co 7411 โcc 11110 โcr 11111 0cc0 11112 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 โcn 12216 โคcz 12562 โ+crp 12978 mod cmo 13838 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12979 df-fl 13761 df-mod 13839 |
This theorem is referenced by: m1modmmod 47294 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |