MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcld 13710
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
flcld (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 flcl 13707 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6501  cr 11057  cz 12506  cfl 13702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fl 13704
This theorem is referenced by:  flge  13717  flwordi  13724  flword2  13725  fladdz  13737  flhalf  13742  fldiv4p1lem1div2  13747  fldiv4lem1div2uz2  13748  fldiv4lem1div2  13749  ceicl  13753  quoremz  13767  intfracq  13771  fldiv  13772  moddiffl  13794  moddifz  13795  zmodcl  13803  modadd1  13820  modmuladd  13825  modmul1  13836  modsubdir  13852  iexpcyc  14118  absrdbnd  15233  limsupgre  15370  climrlim2  15436  dvdsmod  16218  divalgmod  16295  flodddiv4t2lthalf  16305  bitsp1  16318  bitsmod  16323  bitscmp  16325  bitsuz  16361  modgcd  16420  bezoutlem3  16429  isprm7  16591  hashdvds  16654  prmdiv  16664  odzdvds  16674  fldivp1  16776  pcfac  16778  pcbc  16779  prmreclem4  16798  vdwnnlem3  16876  mulgmodid  18922  odmod  19335  gexdvds  19373  zringlpirlem3  20901  zcld  24192  ovolunlem1a  24876  opnmbllem  24981  mbfi1fseqlem5  25100  dvfsumlem1  25406  dvfsumlem3  25408  sineq0  25896  efif1olem2  25915  ppiltx  26542  dvdsflf1o  26552  ppiub  26568  fsumvma2  26578  logfac2  26581  chpchtsum  26583  pcbcctr  26640  bposlem1  26648  bposlem3  26650  bposlem4  26651  bposlem5  26652  bposlem6  26653  gausslemma2dlem3  26732  gausslemma2dlem4  26733  gausslemma2dlem5  26735  lgseisenlem4  26742  lgseisen  26743  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  2lgslem1  26758  2lgslem2  26759  chebbnd1lem2  26834  chebbnd1lem3  26835  rplogsumlem2  26849  rpvmasumlem  26851  dchrisumlema  26852  dchrisumlem3  26855  dchrvmasumiflem1  26865  dchrisum0lem1  26880  rplogsum  26891  mulog2sumlem2  26899  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  pntlemg  26962  pntlemq  26965  pntlemr  26966  pntlemf  26969  ostth2lem2  26998  dya2ub  32910  dya2icoseg  32917  dnibndlem13  34982  knoppndvlem19  35022  ltflcei  36095  opnmbllem0  36143  itg2addnclem2  36159  cntotbnd  36284  aks4d1p1p3  40555  aks4d1p1p2  40556  aks4d1p1p4  40557  aks4d1p3  40564  aks4d1p7d1  40568  aks4d1p7  40569  aks4d1p8  40573  aks4d1p9  40574  irrapxlem1  41174  irrapxlem2  41175  irrapxlem3  41176  irrapxlem4  41177  pellexlem5  41185  pellfund14  41250  hashnzfz2  42675  hashnzfzclim  42676  sineq0ALT  43293  lefldiveq  43600  ltmod  43953  ioodvbdlimc1lem2  44247  ioodvbdlimc2lem  44249  dirkertrigeqlem3  44415  dirkertrigeq  44416  dirkercncflem4  44421  fourierdlem4  44426  fourierdlem7  44429  fourierdlem19  44441  fourierdlem26  44448  fourierdlem41  44463  fourierdlem47  44468  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem51  44472  fourierdlem63  44484  fourierdlem65  44486  fourierdlem71  44492  fourierdlem89  44510  fourierdlem90  44511  fourierdlem91  44512  lighneallem2  45872  fldivmod  46678  modn0mul  46680  fllogbd  46720  fldivexpfllog2  46725  logbpw2m1  46727  fllog2  46728  nnpw2blen  46740  blen1b  46748  nnolog2flm1  46750  blennngt2o2  46752  blennn0e2  46754  digvalnn0  46759  dig2nn1st  46765  dig2nn0  46771  dig2bits  46774  dignn0flhalflem2  46776
  Copyright terms: Public domain W3C validator