Theorem flcld 13162

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  ℝcr 10530  ℤcz 11975  ⌊cfl 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fl 13156

This theorem is referenced by:  flge  13169  flwordi  13176  flword2  13177  fladdz  13189  flhalf  13194  fldiv4p1lem1div2  13199  fldiv4lem1div2uz2  13200  fldiv4lem1div2  13201  ceicl  13205  quoremz  13217  intfracq  13221  fldiv  13222  moddiffl  13244  moddifz  13245  zmodcl  13253  modadd1  13270  modmuladd  13275  modmul1  13286  modsubdir  13302  iexpcyc  13563  absrdbnd  14695  limsupgre  14832  climrlim2  14898  dvdsmod  15672  divalgmod  15751  flodddiv4t2lthalf  15761  bitsp1  15774  bitsmod  15779  bitscmp  15781  bitsuz  15817  modgcd  15874  bezoutlem3  15883  isprm7  16046  hashdvds  16106  prmdiv  16116  odzdvds  16126  fldivp1  16227  pcfac  16229  pcbc  16230  prmreclem4  16249  vdwnnlem3  16327  mulgmodid  18260  odmod  18668  gexdvds  18703  zringlpirlem3  20627  zcld  23415  ovolunlem1a  24091  opnmbllem  24196  mbfi1fseqlem5  24314  dvfsumlem1  24617  dvfsumlem3  24619  sineq0  25103  efif1olem2  25121  ppiltx  25748  dvdsflf1o  25758  ppiub  25774  fsumvma2  25784  logfac2  25787  chpchtsum  25789  pcbcctr  25846  bposlem1  25854  bposlem3  25856  bposlem4  25857  bposlem5  25858  bposlem6  25859  gausslemma2dlem3  25938  gausslemma2dlem4  25939  gausslemma2dlem5  25941  lgseisenlem4  25948  lgseisen  25949  lgsquadlem1  25950  lgsquadlem2  25951  2lgslem1  25964  2lgslem2  25965  chebbnd1lem2  26040  chebbnd1lem3  26041  rplogsumlem2  26055  rpvmasumlem  26057  dchrisumlema  26058  dchrisumlem3  26061  dchrvmasumiflem1  26071  dchrisum0lem1  26086  rplogsum  26097  mulog2sumlem2  26105  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem4  26150  pntpbnd1  26156  pntpbnd2  26157  pntlemg  26168  pntlemq  26171  pntlemr  26172  pntlemf  26175  ostth2lem2  26204  dya2ub  31523  dya2icoseg  31530  dnibndlem13  33824  knoppndvlem19  33864  ltflcei  34874  opnmbllem0  34922  itg2addnclem2  34938  cntotbnd  35068  irrapxlem1  39412  irrapxlem2  39413  irrapxlem3  39414  irrapxlem4  39415  pellexlem5  39423  pellfund14  39488  hashnzfz2  40646  hashnzfzclim  40647  sineq0ALT  41264  lefldiveq  41552  ltmod  41912  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  dirkertrigeqlem3  42379  dirkertrigeq  42380  dirkercncflem4  42385  fourierdlem4  42390  fourierdlem7  42393  fourierdlem19  42405  fourierdlem26  42412  fourierdlem41  42427  fourierdlem47  42432  fourierdlem48  42433  fourierdlem49  42434  fourierdlem51  42436  fourierdlem63  42448  fourierdlem65  42450  fourierdlem71  42456  fourierdlem89  42474  fourierdlem90  42475  fourierdlem91  42476  lighneallem2  43765  fldivmod  44572  modn0mul  44574  fllogbd  44614  fldivexpfllog2  44619  logbpw2m1  44621  fllog2  44622  nnpw2blen  44634  blen1b  44642  nnolog2flm1  44644  blennngt2o2  44646  blennn0e2  44648  digvalnn0  44653  dig2nn1st  44659  dig2nn0  44665  dig2bits  44668  dignn0flhalflem2  44670