MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flcld 13172
Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
flcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
flcld (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld
StepHypRef Expression
1 flcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 flcl 13169 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  cfv 6343  cr 10534  cz 11978  cfl 13164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fl 13166
This theorem is referenced by:  flge  13179  flwordi  13186  flword2  13187  fladdz  13199  flhalf  13204  fldiv4p1lem1div2  13209  fldiv4lem1div2uz2  13210  fldiv4lem1div2  13211  ceicl  13215  quoremz  13227  intfracq  13231  fldiv  13232  moddiffl  13254  moddifz  13255  zmodcl  13263  modadd1  13280  modmuladd  13285  modmul1  13296  modsubdir  13312  iexpcyc  13574  absrdbnd  14701  limsupgre  14838  climrlim2  14904  dvdsmod  15678  divalgmod  15755  flodddiv4t2lthalf  15765  bitsp1  15778  bitsmod  15783  bitscmp  15785  bitsuz  15821  modgcd  15878  bezoutlem3  15887  isprm7  16050  hashdvds  16110  prmdiv  16120  odzdvds  16130  fldivp1  16231  pcfac  16233  pcbc  16234  prmreclem4  16253  vdwnnlem3  16331  mulgmodid  18266  odmod  18674  gexdvds  18709  zringlpirlem3  20186  zcld  23424  ovolunlem1a  24106  opnmbllem  24211  mbfi1fseqlem5  24329  dvfsumlem1  24635  dvfsumlem3  24637  sineq0  25122  efif1olem2  25141  ppiltx  25768  dvdsflf1o  25778  ppiub  25794  fsumvma2  25804  logfac2  25807  chpchtsum  25809  pcbcctr  25866  bposlem1  25874  bposlem3  25876  bposlem4  25877  bposlem5  25878  bposlem6  25879  gausslemma2dlem3  25958  gausslemma2dlem4  25959  gausslemma2dlem5  25961  lgseisenlem4  25968  lgseisen  25969  lgsquadlem1  25970  lgsquadlem2  25971  2lgslem1  25984  2lgslem2  25985  chebbnd1lem2  26060  chebbnd1lem3  26061  rplogsumlem2  26075  rpvmasumlem  26077  dchrisumlema  26078  dchrisumlem3  26081  dchrvmasumiflem1  26091  dchrisum0lem1  26106  rplogsum  26117  mulog2sumlem2  26125  pntrsumo1  26155  pntrlog2bndlem2  26168  pntrlog2bndlem4  26170  pntpbnd1  26176  pntpbnd2  26177  pntlemg  26188  pntlemq  26191  pntlemr  26192  pntlemf  26195  ostth2lem2  26224  dya2ub  31588  dya2icoseg  31595  dnibndlem13  33889  knoppndvlem19  33929  ltflcei  34993  opnmbllem0  35041  itg2addnclem2  35057  cntotbnd  35182  irrapxlem1  39683  irrapxlem2  39684  irrapxlem3  39685  irrapxlem4  39686  pellexlem5  39694  pellfund14  39759  hashnzfz2  40949  hashnzfzclim  40950  sineq0ALT  41567  lefldiveq  41854  ltmod  42210  ioodvbdlimc1lem2  42504  ioodvbdlimc2lem  42506  dirkertrigeqlem3  42672  dirkertrigeq  42673  dirkercncflem4  42678  fourierdlem4  42683  fourierdlem7  42686  fourierdlem19  42698  fourierdlem26  42705  fourierdlem41  42720  fourierdlem47  42725  fourierdlem48  42726  fourierdlem49  42727  fourierdlem51  42729  fourierdlem63  42741  fourierdlem65  42743  fourierdlem71  42749  fourierdlem89  42767  fourierdlem90  42768  fourierdlem91  42769  lighneallem2  44054  fldivmod  44862  modn0mul  44864  fllogbd  44904  fldivexpfllog2  44909  logbpw2m1  44911  fllog2  44912  nnpw2blen  44924  blen1b  44932  nnolog2flm1  44934  blennngt2o2  44936  blennn0e2  44938  digvalnn0  44943  dig2nn1st  44949  dig2nn0  44955  dig2bits  44958  dignn0flhalflem2  44960
  Copyright terms: Public domain W3C validator