Theorem flcld 13831

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13828	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  ℤcz 12591  ⌊cfl 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fl 13825

This theorem is referenced by:  flge  13838  flwordi  13845  flword2  13846  fladdz  13858  flhalf  13863  fldiv4p1lem1div2  13868  fldiv4lem1div2uz2  13869  fldiv4lem1div2  13870  ceicl  13874  quoremz  13888  intfracq  13892  fldiv  13893  moddiffl  13915  moddifz  13916  zmodcl  13924  modadd1  13941  modmuladd  13949  modmul1  13960  modsubdir  13976  iexpcyc  14243  absrdbnd  15393  limsupgre  15532  climrlim2  15598  dvdsmod  16387  divalgmod  16464  flodddiv4t2lthalf  16476  bitsp1  16489  bitsmod  16494  bitscmp  16496  bitsuz  16532  modgcd  16590  bezoutlem3  16599  isprm7  16767  hashdvds  16834  prmdiv  16844  odzdvds  16855  fldivp1  16957  pcfac  16959  pcbc  16960  prmreclem4  16979  vdwnnlem3  17057  mulgmodid  19179  odmod  19616  gexdvds  19654  zringlpirlem3  21583  zcld  24940  ovolunlem1a  25624  opnmbllem  25729  mbfi1fseqlem5  25847  dvfsumlem1  26154  dvfsumlem3  26156  sineq0  26655  efif1olem2  26674  ppiltx  27307  dvdsflf1o  27317  ppiub  27334  fsumvma2  27344  logfac2  27347  chpchtsum  27349  pcbcctr  27406  bposlem1  27414  bposlem3  27416  bposlem4  27417  bposlem5  27418  bposlem6  27419  gausslemma2dlem3  27498  gausslemma2dlem4  27499  gausslemma2dlem5  27501  lgseisenlem4  27508  lgseisen  27509  lgsquadlem1  27510  lgsquadlem2  27511  2lgslem1  27524  2lgslem2  27525  chebbnd1lem2  27600  chebbnd1lem3  27601  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrisumlema  27618  dchrisumlem3  27621  dchrvmasumiflem1  27631  dchrisum0lem1  27646  rplogsum  27657  mulog2sumlem2  27665  pntrsumo1  27695  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem4  27710  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntlemg  27728  pntlemq  27731  pntlemr  27732  pntlemf  27735  ostth2lem2  27764  dya2ub  34605  dya2icoseg  34612  dnibndlem13  36968  knoppndvlem19  37008  ltflcei  38147  opnmbllem0  38195  itg2addnclem2  38211  cntotbnd  38335  aks4d1p1p3  42726  aks4d1p1p2  42727  aks4d1p1p4  42728  aks4d1p3  42735  aks4d1p7d1  42739  aks4d1p7  42740  aks4d1p8  42744  aks4d1p9  42745  aks6d1c2lem4  42784  aks6d1c2  42787  aks6d1c6lem4  42830  aks6d1c7lem1  42837  aks6d1c7lem2  42838  irrapxlem1  43441  irrapxlem2  43442  irrapxlem3  43443  irrapxlem4  43444  pellexlem5  43452  pellfund14  43517  hashnzfz2  44923  hashnzfzclim  44924  sineq0ALT  45537  lefldiveq  45903  ltmod  46244  ioodvbdlimc1lem2  46538  ioodvbdlimc2lem  46540  dirkertrigeqlem3  46706  dirkertrigeq  46707  dirkercncflem4  46712  fourierdlem4  46717  fourierdlem7  46720  fourierdlem19  46732  fourierdlem26  46739  fourierdlem41  46754  fourierdlem47  46759  fourierdlem48  46760  fourierdlem49  46761  fourierdlem51  46763  fourierdlem63  46775  fourierdlem65  46777  fourierdlem71  46783  fourierdlem89  46801  fourierdlem90  46802  fourierdlem91  46803  ceilbi  47963  fldivmod  47970  modn0mul  47989  lighneallem2  48247  fllogbd  49225  fldivexpfllog2  49230  logbpw2m1  49232  fllog2  49233  nnpw2blen  49245  blen1b  49253  nnolog2flm1  49255  blennngt2o2  49257  blennn0e2  49259  digvalnn0  49264  dig2nn1st  49270  dig2nn0  49276  dig2bits  49279  dignn0flhalflem2  49281