Theorem flcld 13760

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  ℤcz 12529  ⌊cfl 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  flge  13767  flwordi  13774  flword2  13775  fladdz  13787  flhalf  13792  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  fldiv4lem1div2  13799  ceicl  13803  quoremz  13817  intfracq  13821  fldiv  13822  moddiffl  13844  moddifz  13845  zmodcl  13853  modadd1  13870  modmuladd  13878  modmul1  13889  modsubdir  13905  iexpcyc  14172  absrdbnd  15308  limsupgre  15447  climrlim2  15513  dvdsmod  16299  divalgmod  16376  flodddiv4t2lthalf  16388  bitsp1  16401  bitsmod  16406  bitscmp  16408  bitsuz  16444  modgcd  16502  bezoutlem3  16511  isprm7  16678  hashdvds  16745  prmdiv  16755  odzdvds  16766  fldivp1  16868  pcfac  16870  pcbc  16871  prmreclem4  16890  vdwnnlem3  16968  mulgmodid  19045  odmod  19476  gexdvds  19514  zringlpirlem3  21374  zcld  24702  ovolunlem1a  25397  opnmbllem  25502  mbfi1fseqlem5  25620  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem3  25935  sineq0  26433  efif1olem2  26452  ppiltx  27087  dvdsflf1o  27097  ppiub  27115  fsumvma2  27125  logfac2  27128  chpchtsum  27130  pcbcctr  27187  bposlem1  27195  bposlem3  27197  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  gausslemma2dlem3  27279  gausslemma2dlem4  27280  gausslemma2dlem5  27282  lgseisenlem4  27289  lgseisen  27290  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  2lgslem1  27305  2lgslem2  27306  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  dchrisumlem3  27402  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0lem1  27427  rplogsum  27438  mulog2sumlem2  27446  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemg  27509  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemf  27516  ostth2lem2  27545  dya2ub  34261  dya2icoseg  34268  dnibndlem13  36478  knoppndvlem19  36518  ltflcei  37602  opnmbllem0  37650  itg2addnclem2  37666  cntotbnd  37790  aks4d1p1p3  42057  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p3  42066  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p7  42071  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c2  42118  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem1  42168  aks6d1c7lem2  42169  irrapxlem1  42810  irrapxlem2  42811  irrapxlem3  42812  irrapxlem4  42813  pellexlem5  42821  pellfund14  42886  hashnzfz2  44310  hashnzfzclim  44311  sineq0ALT  44926  lefldiveq  45290  ltmod  45636  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dirkertrigeqlem3  46098  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem4  46104  fourierdlem4  46109  fourierdlem7  46112  fourierdlem19  46124  fourierdlem26  46131  fourierdlem41  46146  fourierdlem47  46151  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem51  46155  fourierdlem63  46167  fourierdlem65  46169  fourierdlem71  46175  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  ceilbi  47334  fldivmod  47339  modn0mul  47358  lighneallem2  47607  fllogbd  48549  fldivexpfllog2  48554  logbpw2m1  48556  fllog2  48557  nnpw2blen  48569  blen1b  48577  nnolog2flm1  48579  blennngt2o2  48581  blennn0e2  48583  digvalnn0  48588  dig2nn1st  48594  dig2nn0  48600  dig2bits  48603  dignn0flhalflem2  48605