Theorem flcld 13748

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13745	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  flge  13755  flwordi  13762  flword2  13763  fladdz  13775  flhalf  13780  fldiv4p1lem1div2  13785  fldiv4lem1div2uz2  13786  fldiv4lem1div2  13787  ceicl  13791  quoremz  13805  intfracq  13809  fldiv  13810  moddiffl  13832  moddifz  13833  zmodcl  13841  modadd1  13858  modmuladd  13866  modmul1  13877  modsubdir  13893  iexpcyc  14160  absrdbnd  15295  limsupgre  15434  climrlim2  15500  dvdsmod  16289  divalgmod  16366  flodddiv4t2lthalf  16378  bitsp1  16391  bitsmod  16396  bitscmp  16398  bitsuz  16434  modgcd  16492  bezoutlem3  16501  isprm7  16669  hashdvds  16736  prmdiv  16746  odzdvds  16757  fldivp1  16859  pcfac  16861  pcbc  16862  prmreclem4  16881  vdwnnlem3  16959  mulgmodid  19080  odmod  19512  gexdvds  19550  zringlpirlem3  21439  zcld  24797  ovolunlem1a  25481  opnmbllem  25586  mbfi1fseqlem5  25704  dvfsumlem1  26011  dvfsumlem3  26013  sineq0  26506  efif1olem2  26525  ppiltx  27158  dvdsflf1o  27168  ppiub  27185  fsumvma2  27195  logfac2  27198  chpchtsum  27200  pcbcctr  27257  bposlem1  27265  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  gausslemma2dlem3  27349  gausslemma2dlem4  27350  gausslemma2dlem5  27352  lgseisenlem4  27359  lgseisen  27360  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  2lgslem1  27375  2lgslem2  27376  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrisumlema  27469  dchrisumlem3  27472  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0lem1  27497  rplogsum  27508  mulog2sumlem2  27516  pntrsumo1  27546  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem4  27561  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntlemg  27579  pntlemq  27582  pntlemr  27583  pntlemf  27586  ostth2lem2  27615  dya2ub  34454  dya2icoseg  34461  dnibndlem13  36796  knoppndvlem19  36836  ltflcei  37975  opnmbllem0  38023  itg2addnclem2  38039  cntotbnd  38163  aks4d1p1p3  42554  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p3  42563  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  aks6d1c2lem4  42612  aks6d1c2  42615  aks6d1c6lem4  42658  aks6d1c7lem1  42665  aks6d1c7lem2  42666  irrapxlem1  43267  irrapxlem2  43268  irrapxlem3  43269  irrapxlem4  43270  pellexlem5  43278  pellfund14  43343  hashnzfz2  44765  hashnzfzclim  44766  sineq0ALT  45380  lefldiveq  45740  ltmod  46081  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  dirkertrigeqlem3  46543  dirkertrigeq  46544  dirkercncflem4  46549  fourierdlem4  46554  fourierdlem7  46557  fourierdlem19  46569  fourierdlem26  46576  fourierdlem41  46591  fourierdlem47  46596  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem51  46600  fourierdlem63  46612  fourierdlem65  46614  fourierdlem71  46620  fourierdlem89  46638  fourierdlem90  46639  fourierdlem91  46640  ceilbi  47800  fldivmod  47807  modn0mul  47826  lighneallem2  48084  fllogbd  49051  fldivexpfllog2  49056  logbpw2m1  49058  fllog2  49059  nnpw2blen  49071  blen1b  49079  nnolog2flm1  49081  blennngt2o2  49083  blennn0e2  49085  digvalnn0  49090  dig2nn1st  49096  dig2nn0  49102  dig2bits  49105  dignn0flhalflem2  49107