Theorem flcld 13759

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13756	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  ℤcz 12554  ⌊cfl 13751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fl 13753

This theorem is referenced by:  flge  13766  flwordi  13773  flword2  13774  fladdz  13786  flhalf  13791  fldiv4p1lem1div2  13796  fldiv4lem1div2uz2  13797  fldiv4lem1div2  13798  ceicl  13802  quoremz  13816  intfracq  13820  fldiv  13821  moddiffl  13843  moddifz  13844  zmodcl  13852  modadd1  13869  modmuladd  13874  modmul1  13885  modsubdir  13901  iexpcyc  14167  absrdbnd  15284  limsupgre  15421  climrlim2  15487  dvdsmod  16268  divalgmod  16345  flodddiv4t2lthalf  16355  bitsp1  16368  bitsmod  16373  bitscmp  16375  bitsuz  16411  modgcd  16470  bezoutlem3  16479  isprm7  16641  hashdvds  16704  prmdiv  16714  odzdvds  16724  fldivp1  16826  pcfac  16828  pcbc  16829  prmreclem4  16848  vdwnnlem3  16926  mulgmodid  18987  odmod  19408  gexdvds  19446  zringlpirlem3  21025  zcld  24320  ovolunlem1a  25004  opnmbllem  25109  mbfi1fseqlem5  25228  dvfsumlem1  25534  dvfsumlem3  25536  sineq0  26024  efif1olem2  26043  ppiltx  26670  dvdsflf1o  26680  ppiub  26696  fsumvma2  26706  logfac2  26709  chpchtsum  26711  pcbcctr  26768  bposlem1  26776  bposlem3  26778  bposlem4  26779  bposlem5  26780  bposlem6  26781  gausslemma2dlem3  26860  gausslemma2dlem4  26861  gausslemma2dlem5  26863  lgseisenlem4  26870  lgseisen  26871  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem2  26873  2lgslem1  26886  2lgslem2  26887  chebbnd1lem2  26962  chebbnd1lem3  26963  rplogsumlem2  26977  rpvmasumlem  26979  dchrisumlema  26980  dchrisumlem3  26983  dchrvmasumiflem1  26993  dchrisum0lem1  27008  rplogsum  27019  mulog2sumlem2  27027  pntrsumo1  27057  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem4  27072  pntpbnd1  27078  pntpbnd2  27079  pntlemg  27090  pntlemq  27093  pntlemr  27094  pntlemf  27097  ostth2lem2  27126  dya2ub  33257  dya2icoseg  33264  dnibndlem13  35354  knoppndvlem19  35394  ltflcei  36464  opnmbllem0  36512  itg2addnclem2  36528  cntotbnd  36652  aks4d1p1p3  40922  aks4d1p1p2  40923  aks4d1p1p4  40924  aks4d1p3  40931  aks4d1p7d1  40935  aks4d1p7  40936  aks4d1p8  40940  aks4d1p9  40941  irrapxlem1  41545  irrapxlem2  41546  irrapxlem3  41547  irrapxlem4  41548  pellexlem5  41556  pellfund14  41621  hashnzfz2  43065  hashnzfzclim  43066  sineq0ALT  43683  lefldiveq  43988  ltmod  44340  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  dirkertrigeqlem3  44802  dirkertrigeq  44803  dirkercncflem4  44808  fourierdlem4  44813  fourierdlem7  44816  fourierdlem19  44828  fourierdlem26  44835  fourierdlem41  44850  fourierdlem47  44855  fourierdlem48  44856  fourierdlem49  44857  fourierdlem51  44859  fourierdlem63  44871  fourierdlem65  44873  fourierdlem71  44879  fourierdlem89  44897  fourierdlem90  44898  fourierdlem91  44899  lighneallem2  46260  fldivmod  47157  modn0mul  47159  fllogbd  47199  fldivexpfllog2  47204  logbpw2m1  47206  fllog2  47207  nnpw2blen  47219  blen1b  47227  nnolog2flm1  47229  blennngt2o2  47231  blennn0e2  47233  digvalnn0  47238  dig2nn1st  47244  dig2nn0  47250  dig2bits  47253  dignn0flhalflem2  47255