Theorem flcld 13163

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  ℝcr 10525  ℤcz 11969  ⌊cfl 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fl 13157

This theorem is referenced by:  flge  13170  flwordi  13177  flword2  13178  fladdz  13190  flhalf  13195  fldiv4p1lem1div2  13200  fldiv4lem1div2uz2  13201  fldiv4lem1div2  13202  ceicl  13206  quoremz  13218  intfracq  13222  fldiv  13223  moddiffl  13245  moddifz  13246  zmodcl  13254  modadd1  13271  modmuladd  13276  modmul1  13287  modsubdir  13303  iexpcyc  13565  absrdbnd  14693  limsupgre  14830  climrlim2  14896  dvdsmod  15670  divalgmod  15747  flodddiv4t2lthalf  15757  bitsp1  15770  bitsmod  15775  bitscmp  15777  bitsuz  15813  modgcd  15870  bezoutlem3  15879  isprm7  16042  hashdvds  16102  prmdiv  16112  odzdvds  16122  fldivp1  16223  pcfac  16225  pcbc  16226  prmreclem4  16245  vdwnnlem3  16323  mulgmodid  18258  odmod  18666  gexdvds  18701  zringlpirlem3  20179  zcld  23418  ovolunlem1a  24100  opnmbllem  24205  mbfi1fseqlem5  24323  dvfsumlem1  24629  dvfsumlem3  24631  sineq0  25116  efif1olem2  25135  ppiltx  25762  dvdsflf1o  25772  ppiub  25788  fsumvma2  25798  logfac2  25801  chpchtsum  25803  pcbcctr  25860  bposlem1  25868  bposlem3  25870  bposlem4  25871  bposlem5  25872  bposlem6  25873  gausslemma2dlem3  25952  gausslemma2dlem4  25953  gausslemma2dlem5  25955  lgseisenlem4  25962  lgseisen  25963  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  2lgslem1  25978  2lgslem2  25979  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisumlema  26072  dchrisumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lem1  26100  rplogsum  26111  mulog2sumlem2  26119  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemg  26182  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemf  26189  ostth2lem2  26218  dya2ub  31638  dya2icoseg  31645  dnibndlem13  33942  knoppndvlem19  33982  ltflcei  35045  opnmbllem0  35093  itg2addnclem2  35109  cntotbnd  35234  irrapxlem1  39763  irrapxlem2  39764  irrapxlem3  39765  irrapxlem4  39766  pellexlem5  39774  pellfund14  39839  hashnzfz2  41025  hashnzfzclim  41026  sineq0ALT  41643  lefldiveq  41924  ltmod  42280  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dirkertrigeqlem3  42742  dirkertrigeq  42743  dirkercncflem4  42748  fourierdlem4  42753  fourierdlem7  42756  fourierdlem19  42768  fourierdlem26  42775  fourierdlem41  42790  fourierdlem47  42795  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem51  42799  fourierdlem63  42811  fourierdlem65  42813  fourierdlem71  42819  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  lighneallem2  44124  fldivmod  44932  modn0mul  44934  fllogbd  44974  fldivexpfllog2  44979  logbpw2m1  44981  fllog2  44982  nnpw2blen  44994  blen1b  45002  nnolog2flm1  45004  blennngt2o2  45006  blennn0e2  45008  digvalnn0  45013  dig2nn1st  45019  dig2nn0  45025  dig2bits  45028  dignn0flhalflem2  45030