Theorem flcld 13702

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  ℤcz 12471  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fl 13696

This theorem is referenced by:  flge  13709  flwordi  13716  flword2  13717  fladdz  13729  flhalf  13734  fldiv4p1lem1div2  13739  fldiv4lem1div2uz2  13740  fldiv4lem1div2  13741  ceicl  13745  quoremz  13759  intfracq  13763  fldiv  13764  moddiffl  13786  moddifz  13787  zmodcl  13795  modadd1  13812  modmuladd  13820  modmul1  13831  modsubdir  13847  iexpcyc  14114  absrdbnd  15249  limsupgre  15388  climrlim2  15454  dvdsmod  16240  divalgmod  16317  flodddiv4t2lthalf  16329  bitsp1  16342  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsuz  16385  modgcd  16443  bezoutlem3  16452  isprm7  16619  hashdvds  16686  prmdiv  16696  odzdvds  16707  fldivp1  16809  pcfac  16811  pcbc  16812  prmreclem4  16831  vdwnnlem3  16909  mulgmodid  18992  odmod  19425  gexdvds  19463  zringlpirlem3  21371  zcld  24700  ovolunlem1a  25395  opnmbllem  25500  mbfi1fseqlem5  25618  dvfsumlem1  25930  dvfsumlem3  25933  sineq0  26431  efif1olem2  26450  ppiltx  27085  dvdsflf1o  27095  ppiub  27113  fsumvma2  27123  logfac2  27126  chpchtsum  27128  pcbcctr  27185  bposlem1  27193  bposlem3  27195  bposlem4  27196  bposlem5  27197  bposlem6  27198  gausslemma2dlem3  27277  gausslemma2dlem4  27278  gausslemma2dlem5  27280  lgseisenlem4  27287  lgseisen  27288  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  2lgslem1  27303  2lgslem2  27304  chebbnd1lem2  27379  chebbnd1lem3  27380  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrisumlema  27397  dchrisumlem3  27400  dchrvmasumiflem1  27410  dchrisum0lem1  27425  rplogsum  27436  mulog2sumlem2  27444  pntrsumo1  27474  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemg  27507  pntlemq  27510  pntlemr  27511  pntlemf  27514  ostth2lem2  27543  dya2ub  34238  dya2icoseg  34245  dnibndlem13  36468  knoppndvlem19  36508  ltflcei  37592  opnmbllem0  37640  itg2addnclem2  37656  cntotbnd  37780  aks4d1p1p3  42046  aks4d1p1p2  42047  aks4d1p1p4  42048  aks4d1p3  42055  aks4d1p7d1  42059  aks4d1p7  42060  aks4d1p8  42064  aks4d1p9  42065  aks6d1c2lem4  42104  aks6d1c2  42107  aks6d1c6lem4  42150  aks6d1c7lem1  42157  aks6d1c7lem2  42158  irrapxlem1  42799  irrapxlem2  42800  irrapxlem3  42801  irrapxlem4  42802  pellexlem5  42810  pellfund14  42875  hashnzfz2  44298  hashnzfzclim  44299  sineq0ALT  44914  lefldiveq  45278  ltmod  45623  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  dirkertrigeqlem3  46085  dirkertrigeq  46086  dirkercncflem4  46091  fourierdlem4  46096  fourierdlem7  46099  fourierdlem19  46111  fourierdlem26  46118  fourierdlem41  46133  fourierdlem47  46138  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem51  46142  fourierdlem63  46154  fourierdlem65  46156  fourierdlem71  46162  fourierdlem89  46180  fourierdlem90  46181  fourierdlem91  46182  ceilbi  47321  fldivmod  47326  modn0mul  47345  lighneallem2  47594  fllogbd  48549  fldivexpfllog2  48554  logbpw2m1  48556  fllog2  48557  nnpw2blen  48569  blen1b  48577  nnolog2flm1  48579  blennngt2o2  48581  blennn0e2  48583  digvalnn0  48588  dig2nn1st  48594  dig2nn0  48600  dig2bits  48603  dignn0flhalflem2  48605