Theorem flcld 13851

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ℝcr 11116  ℤcz 12608  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fl 13845

This theorem is used by:  flge  13858  flwordi  13865  flword2  13866  fladdz  13878  flhalf  13883  fldiv4p1lem1div2  13888  fldiv4lem1div2uz2  13889  fldiv4lem1div2  13890  ceicl  13894  quoremz  13908  intfracq  13912  fldiv  13913  moddiffl  13935  moddifz  13936  zmodcl  13944  modadd1  13961  modmuladd  13969  modmul1  13980  modsubdir  13996  iexpcyc  14263  absrdbnd  15419  limsupgre  15558  climrlim2  15624  dvdsmod  16411  divalgmod  16488  flodddiv4t2lthalf  16500  bitsp1  16513  bitsmod  16518  bitscmp  16520  bitsuz  16556  modgcd  16614  bezoutlem3  16623  isprm7  16791  hashdvds  16858  prmdiv  16868  odzdvds  16879  fldivp1  16981  pcfac  16983  pcbc  16984  prmreclem4  17003  vdwnnlem3  17081  mulgmodid  19225  odmod  19662  gexdvds  19700  zringlpirlem3  21666  zcld  25024  ovolunlem1a  25708  opnmbllem  25813  mbfi1fseqlem5  25931  dvfsumlem1  26238  dvfsumlem3  26240  sineq0  26742  efif1olem2  26761  ppiltx  27394  dvdsflf1o  27404  ppiub  27421  fsumvma2  27431  logfac2  27434  chpchtsum  27436  pcbcctr  27493  bposlem1  27501  bposlem3  27503  bposlem4  27504  bposlem5  27505  bposlem6  27506  gausslemma2dlem3  27585  gausslemma2dlem4  27586  gausslemma2dlem5  27588  lgseisenlem4  27595  lgseisen  27596  lgsquadlem1  27597  lgsquadlem2  27598  2lgslem1  27611  2lgslem2  27612  chebbnd1lem2  27687  chebbnd1lem3  27688  rplogsumlem2  27702  rpvmasumlem  27704  dchrisumlema  27705  dchrisumlem3  27708  dchrvmasumiflem1  27718  dchrisum0lem1  27733  rplogsum  27744  mulog2sumlem2  27752  pntrsumo1  27782  pntrlog2bndlem2  27795  pntrlog2bndlem4  27797  pntpbnd1  27803  pntpbnd2  27804  pntlemg  27815  pntlemq  27818  pntlemr  27819  pntlemf  27822  ostth2lem2  27851  dya2ub  34727  dya2icoseg  34734  dnibndlem13  37138  knoppndvlem19  37178  ltflcei  38318  opnmbllem0  38366  itg2addnclem2  38382  cntotbnd  38507  aks4d1p1p3  42896  aks4d1p1p2  42897  aks4d1p1p4  42898  aks4d1p3  42905  aks4d1p7d1  42909  aks4d1p7  42910  aks4d1p8  42914  aks4d1p9  42915  aks6d1c2lem4  42954  aks6d1c2  42957  aks6d1c6lem4  43000  aks6d1c7lem1  43007  aks6d1c7lem2  43008  irrapxlem1  43609  irrapxlem2  43610  irrapxlem3  43611  irrapxlem4  43612  pellexlem5  43620  pellfund14  43685  hashnzfz2  45091  hashnzfzclim  45092  sineq0ALT  45705  lefldiveq  46071  ltmod  46412  ioodvbdlimc1lem2  46706  ioodvbdlimc2lem  46708  dirkertrigeqlem3  46874  dirkertrigeq  46875  dirkercncflem4  46880  fourierdlem4  46885  fourierdlem7  46888  fourierdlem19  46900  fourierdlem26  46907  fourierdlem41  46922  fourierdlem47  46927  fourierdlem48  46928  fourierdlem49  46929  fourierdlem51  46931  fourierdlem63  46943  fourierdlem65  46945  fourierdlem71  46951  fourierdlem89  46969  fourierdlem90  46970  fourierdlem91  46971  ceilbi  48134  fldivmod  48141  modn0mul  48160  lighneallem2  48418  fllogbd  49399  fldivexpfllog2  49404  logbpw2m1  49406  fllog2  49407  nnpw2blen  49419  blen1b  49427  nnolog2flm1  49429  blennngt2o2  49431  blennn0e2  49433  digvalnn0  49438  dig2nn1st  49444  dig2nn0  49450  dig2bits  49453  dignn0flhalflem2  49455