Theorem flcld 13718

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13715	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  ℤcz 12488  ⌊cfl 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fl 13712

This theorem is referenced by:  flge  13725  flwordi  13732  flword2  13733  fladdz  13745  flhalf  13750  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2uz2  13756  fldiv4lem1div2  13757  ceicl  13761  quoremz  13775  intfracq  13779  fldiv  13780  moddiffl  13802  moddifz  13803  zmodcl  13811  modadd1  13828  modmuladd  13836  modmul1  13847  modsubdir  13863  iexpcyc  14130  absrdbnd  15265  limsupgre  15404  climrlim2  15470  dvdsmod  16256  divalgmod  16333  flodddiv4t2lthalf  16345  bitsp1  16358  bitsmod  16363  bitscmp  16365  bitsuz  16401  modgcd  16459  bezoutlem3  16468  isprm7  16635  hashdvds  16702  prmdiv  16712  odzdvds  16723  fldivp1  16825  pcfac  16827  pcbc  16828  prmreclem4  16847  vdwnnlem3  16925  mulgmodid  19043  odmod  19475  gexdvds  19513  zringlpirlem3  21419  zcld  24758  ovolunlem1a  25453  opnmbllem  25558  mbfi1fseqlem5  25676  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem3  25991  sineq0  26489  efif1olem2  26508  ppiltx  27143  dvdsflf1o  27153  ppiub  27171  fsumvma2  27181  logfac2  27184  chpchtsum  27186  pcbcctr  27243  bposlem1  27251  bposlem3  27253  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  gausslemma2dlem3  27335  gausslemma2dlem4  27336  gausslemma2dlem5  27338  lgseisenlem4  27345  lgseisen  27346  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  2lgslem1  27361  2lgslem2  27362  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  dchrisumlem3  27458  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0lem1  27483  rplogsum  27494  mulog2sumlem2  27502  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemg  27565  pntlemq  27568  pntlemr  27569  pntlemf  27572  ostth2lem2  27601  dya2ub  34427  dya2icoseg  34434  dnibndlem13  36690  knoppndvlem19  36730  ltflcei  37809  opnmbllem0  37857  itg2addnclem2  37873  cntotbnd  37997  aks4d1p1p3  42333  aks4d1p1p2  42334  aks4d1p1p4  42335  aks4d1p3  42342  aks4d1p7d1  42346  aks4d1p7  42347  aks4d1p8  42351  aks4d1p9  42352  aks6d1c2lem4  42391  aks6d1c2  42394  aks6d1c6lem4  42437  aks6d1c7lem1  42444  aks6d1c7lem2  42445  irrapxlem1  43074  irrapxlem2  43075  irrapxlem3  43076  irrapxlem4  43077  pellexlem5  43085  pellfund14  43150  hashnzfz2  44572  hashnzfzclim  44573  sineq0ALT  45187  lefldiveq  45550  ltmod  45892  ioodvbdlimc1lem2  46186  ioodvbdlimc2lem  46188  dirkertrigeqlem3  46354  dirkertrigeq  46355  dirkercncflem4  46360  fourierdlem4  46365  fourierdlem7  46368  fourierdlem19  46380  fourierdlem26  46387  fourierdlem41  46402  fourierdlem47  46407  fourierdlem48  46408  fourierdlem49  46409  fourierdlem51  46411  fourierdlem63  46423  fourierdlem65  46425  fourierdlem71  46431  fourierdlem89  46449  fourierdlem90  46450  fourierdlem91  46451  ceilbi  47589  fldivmod  47594  modn0mul  47613  lighneallem2  47862  fllogbd  48816  fldivexpfllog2  48821  logbpw2m1  48823  fllog2  48824  nnpw2blen  48836  blen1b  48844  nnolog2flm1  48846  blennngt2o2  48848  blennn0e2  48850  digvalnn0  48855  dig2nn1st  48861  dig2nn0  48867  dig2bits  48870  dignn0flhalflem2  48872