Theorem flcld 13860

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℝcr 11124  ℤcz 12616  ⌊cfl 13852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fl 13854

This theorem is used by:  flge  13867  flwordi  13874  flword2  13875  fladdz  13887  flhalf  13892  fldiv4p1lem1div2  13897  fldiv4lem1div2uz2  13898  fldiv4lem1div2  13899  ceicl  13903  quoremz  13917  intfracq  13921  fldiv  13922  moddiffl  13944  moddifz  13945  zmodcl  13953  modadd1  13970  modmuladd  13978  modmul1  13989  modsubdir  14005  iexpcyc  14272  absrdbnd  15430  limsupgre  15569  climrlim2  15635  dvdsmod  16420  divalgmod  16497  flodddiv4t2lthalf  16509  bitsp1  16522  bitsmod  16527  bitscmp  16529  bitsuz  16565  modgcd  16623  bezoutlem3  16632  isprm7  16800  hashdvds  16867  prmdiv  16877  odzdvds  16888  fldivp1  16990  pcfac  16992  pcbc  16993  prmreclem4  17012  vdwnnlem3  17090  mulgmodid  19237  odmod  19674  gexdvds  19712  zringlpirlem3  21678  zcld  25041  ovolunlem1a  25725  opnmbllem  25830  mbfi1fseqlem5  25948  dvfsumlem1  26254  dvfsumlem3  26256  sineq0  26762  efif1olem2  26781  ppiltx  27414  dvdsflf1o  27424  ppiub  27441  fsumvma2  27451  logfac2  27454  chpchtsum  27456  pcbcctr  27513  bposlem1  27521  bposlem3  27523  bposlem4  27524  bposlem5  27525  bposlem6  27526  gausslemma2dlem3  27605  gausslemma2dlem4  27606  gausslemma2dlem5  27608  lgseisenlem4  27615  lgseisen  27616  lgsquadlem1  27617  lgsquadlem2  27618  2lgslem1  27631  2lgslem2  27632  chebbnd1lem2  27707  chebbnd1lem3  27708  rplogsumlem2  27722  rpvmasumlem  27724  dchrisumlema  27725  dchrisumlem3  27728  dchrvmasumiflem1  27738  dchrisum0lem1  27753  rplogsum  27764  mulog2sumlem2  27772  pntrsumo1  27802  pntrlog2bndlem2  27815  pntrlog2bndlem4  27817  pntpbnd1  27823  pntpbnd2  27824  pntlemg  27835  pntlemq  27838  pntlemr  27839  pntlemf  27842  ostth2lem2  27871  dya2ub  34782  dya2icoseg  34789  dnibndlem13  37188  knoppndvlem19  37228  ltflcei  38363  opnmbllem0  38406  itg2addnclem2  38422  cntotbnd  38547  aks4d1p1p3  42936  aks4d1p1p2  42937  aks4d1p1p4  42938  aks4d1p3  42945  aks4d1p7d1  42949  aks4d1p7  42950  aks4d1p8  42954  aks4d1p9  42955  aks6d1c2lem4  42994  aks6d1c2  42997  aks6d1c6lem4  43040  aks6d1c7lem1  43047  aks6d1c7lem2  43048  irrapxlem1  43664  irrapxlem2  43665  irrapxlem3  43666  irrapxlem4  43667  pellexlem5  43675  pellfund14  43740  hashnzfz2  45146  hashnzfzclim  45147  sineq0ALT  45760  lefldiveq  46126  ltmod  46467  ioodvbdlimc1lem2  46761  ioodvbdlimc2lem  46763  dirkertrigeqlem3  46929  dirkertrigeq  46930  dirkercncflem4  46935  fourierdlem4  46940  fourierdlem7  46943  fourierdlem19  46955  fourierdlem26  46962  fourierdlem41  46977  fourierdlem47  46982  fourierdlem48  46983  fourierdlem49  46984  fourierdlem51  46986  fourierdlem63  46998  fourierdlem65  47000  fourierdlem71  47006  fourierdlem89  47024  fourierdlem90  47025  fourierdlem91  47026  ceilbi  48226  fldivmod  48233  modn0mul  48252  lighneallem2  48510  fllogbd  49491  fldivexpfllog2  49496  logbpw2m1  49498  fllog2  49499  nnpw2blen  49511  blen1b  49519  nnolog2flm1  49521  blennngt2o2  49523  blennn0e2  49525  digvalnn0  49530  dig2nn1st  49536  dig2nn0  49542  dig2bits  49545  dignn0flhalflem2  49547