Theorem flcld 13527

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13524	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  ℝcr 10879  ℤcz 12328  ⌊cfl 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fl 13521

This theorem is referenced by:  flge  13534  flwordi  13541  flword2  13542  fladdz  13554  flhalf  13559  fldiv4p1lem1div2  13564  fldiv4lem1div2uz2  13565  fldiv4lem1div2  13566  ceicl  13570  quoremz  13584  intfracq  13588  fldiv  13589  moddiffl  13611  moddifz  13612  zmodcl  13620  modadd1  13637  modmuladd  13642  modmul1  13653  modsubdir  13669  iexpcyc  13932  absrdbnd  15062  limsupgre  15199  climrlim2  15265  dvdsmod  16047  divalgmod  16124  flodddiv4t2lthalf  16134  bitsp1  16147  bitsmod  16152  bitscmp  16154  bitsuz  16190  modgcd  16249  bezoutlem3  16258  isprm7  16422  hashdvds  16485  prmdiv  16495  odzdvds  16505  fldivp1  16607  pcfac  16609  pcbc  16610  prmreclem4  16629  vdwnnlem3  16707  mulgmodid  18751  odmod  19163  gexdvds  19198  zringlpirlem3  20695  zcld  23985  ovolunlem1a  24669  opnmbllem  24774  mbfi1fseqlem5  24893  dvfsumlem1  25199  dvfsumlem3  25201  sineq0  25689  efif1olem2  25708  ppiltx  26335  dvdsflf1o  26345  ppiub  26361  fsumvma2  26371  logfac2  26374  chpchtsum  26376  pcbcctr  26433  bposlem1  26441  bposlem3  26443  bposlem4  26444  bposlem5  26445  bposlem6  26446  gausslemma2dlem3  26525  gausslemma2dlem4  26526  gausslemma2dlem5  26528  lgseisenlem4  26535  lgseisen  26536  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  2lgslem1  26551  2lgslem2  26552  chebbnd1lem2  26627  chebbnd1lem3  26628  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlema  26645  dchrisumlem3  26648  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0lem1  26673  rplogsum  26684  mulog2sumlem2  26692  pntrsumo1  26722  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntlemg  26755  pntlemq  26758  pntlemr  26759  pntlemf  26762  ostth2lem2  26791  dya2ub  32246  dya2icoseg  32253  dnibndlem13  34679  knoppndvlem19  34719  ltflcei  35774  opnmbllem0  35822  itg2addnclem2  35838  cntotbnd  35963  aks4d1p1p3  40084  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p3  40093  aks4d1p7d1  40097  aks4d1p7  40098  aks4d1p8  40102  aks4d1p9  40103  irrapxlem1  40651  irrapxlem2  40652  irrapxlem3  40653  irrapxlem4  40654  pellexlem5  40662  pellfund14  40727  hashnzfz2  41946  hashnzfzclim  41947  sineq0ALT  42564  lefldiveq  42838  ltmod  43186  ioodvbdlimc1lem2  43480  ioodvbdlimc2lem  43482  dirkertrigeqlem3  43648  dirkertrigeq  43649  dirkercncflem4  43654  fourierdlem4  43659  fourierdlem7  43662  fourierdlem19  43674  fourierdlem26  43681  fourierdlem41  43696  fourierdlem47  43701  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem51  43705  fourierdlem63  43717  fourierdlem65  43719  fourierdlem71  43725  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  lighneallem2  45069  fldivmod  45875  modn0mul  45877  fllogbd  45917  fldivexpfllog2  45922  logbpw2m1  45924  fllog2  45925  nnpw2blen  45937  blen1b  45945  nnolog2flm1  45947  blennngt2o2  45949  blennn0e2  45951  digvalnn0  45956  dig2nn1st  45962  dig2nn0  45968  dig2bits  45971  dignn0flhalflem2  45973