Theorem flcld 13834

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  ℤcz 12610  ⌊cfl 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fl 13828

This theorem is referenced by:  flge  13841  flwordi  13848  flword2  13849  fladdz  13861  flhalf  13866  fldiv4p1lem1div2  13871  fldiv4lem1div2uz2  13872  fldiv4lem1div2  13873  ceicl  13877  quoremz  13891  intfracq  13895  fldiv  13896  moddiffl  13918  moddifz  13919  zmodcl  13927  modadd1  13944  modmuladd  13950  modmul1  13961  modsubdir  13977  iexpcyc  14242  absrdbnd  15376  limsupgre  15513  climrlim2  15579  dvdsmod  16362  divalgmod  16439  flodddiv4t2lthalf  16451  bitsp1  16464  bitsmod  16469  bitscmp  16471  bitsuz  16507  modgcd  16565  bezoutlem3  16574  isprm7  16741  hashdvds  16808  prmdiv  16818  odzdvds  16828  fldivp1  16930  pcfac  16932  pcbc  16933  prmreclem4  16952  vdwnnlem3  17030  mulgmodid  19143  odmod  19578  gexdvds  19616  zringlpirlem3  21492  zcld  24848  ovolunlem1a  25544  opnmbllem  25649  mbfi1fseqlem5  25768  dvfsumlem1  26080  dvfsumlem3  26083  sineq0  26580  efif1olem2  26599  ppiltx  27234  dvdsflf1o  27244  ppiub  27262  fsumvma2  27272  logfac2  27275  chpchtsum  27277  pcbcctr  27334  bposlem1  27342  bposlem3  27344  bposlem4  27345  bposlem5  27346  bposlem6  27347  gausslemma2dlem3  27426  gausslemma2dlem4  27427  gausslemma2dlem5  27429  lgseisenlem4  27436  lgseisen  27437  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  2lgslem1  27452  2lgslem2  27453  chebbnd1lem2  27528  chebbnd1lem3  27529  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisumlema  27546  dchrisumlem3  27549  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0lem1  27574  rplogsum  27585  mulog2sumlem2  27593  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntlemg  27656  pntlemq  27659  pntlemr  27660  pntlemf  27663  ostth2lem2  27692  dya2ub  34251  dya2icoseg  34258  dnibndlem13  36472  knoppndvlem19  36512  ltflcei  37594  opnmbllem0  37642  itg2addnclem2  37658  cntotbnd  37782  aks4d1p1p3  42050  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p3  42059  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c2lem4  42108  aks6d1c2  42111  aks6d1c6lem4  42154  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  irrapxlem1  42809  irrapxlem2  42810  irrapxlem3  42811  irrapxlem4  42812  pellexlem5  42820  pellfund14  42885  hashnzfz2  44316  hashnzfzclim  44317  sineq0ALT  44934  lefldiveq  45242  ltmod  45593  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkercncflem4  46061  fourierdlem4  46066  fourierdlem7  46069  fourierdlem19  46081  fourierdlem26  46088  fourierdlem41  46103  fourierdlem47  46108  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem51  46112  fourierdlem63  46124  fourierdlem65  46126  fourierdlem71  46132  fourierdlem89  46150  fourierdlem90  46151  fourierdlem91  46152  fldivmod  47277  lighneallem2  47530  modn0mul  48369  fllogbd  48409  fldivexpfllog2  48414  logbpw2m1  48416  fllog2  48417  nnpw2blen  48429  blen1b  48437  nnolog2flm1  48439  blennngt2o2  48441  blennn0e2  48443  digvalnn0  48448  dig2nn1st  48454  dig2nn0  48460  dig2bits  48463  dignn0flhalflem2  48465