Theorem flcld 13767

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  ℤcz 12536  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  flge  13774  flwordi  13781  flword2  13782  fladdz  13794  flhalf  13799  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2uz2  13805  fldiv4lem1div2  13806  ceicl  13810  quoremz  13824  intfracq  13828  fldiv  13829  moddiffl  13851  moddifz  13852  zmodcl  13860  modadd1  13877  modmuladd  13885  modmul1  13896  modsubdir  13912  iexpcyc  14179  absrdbnd  15315  limsupgre  15454  climrlim2  15520  dvdsmod  16306  divalgmod  16383  flodddiv4t2lthalf  16395  bitsp1  16408  bitsmod  16413  bitscmp  16415  bitsuz  16451  modgcd  16509  bezoutlem3  16518  isprm7  16685  hashdvds  16752  prmdiv  16762  odzdvds  16773  fldivp1  16875  pcfac  16877  pcbc  16878  prmreclem4  16897  vdwnnlem3  16975  mulgmodid  19052  odmod  19483  gexdvds  19521  zringlpirlem3  21381  zcld  24709  ovolunlem1a  25404  opnmbllem  25509  mbfi1fseqlem5  25627  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem3  25942  sineq0  26440  efif1olem2  26459  ppiltx  27094  dvdsflf1o  27104  ppiub  27122  fsumvma2  27132  logfac2  27135  chpchtsum  27137  pcbcctr  27194  bposlem1  27202  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  bposlem6  27207  gausslemma2dlem3  27286  gausslemma2dlem4  27287  gausslemma2dlem5  27289  lgseisenlem4  27296  lgseisen  27297  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  2lgslem1  27312  2lgslem2  27313  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrisumlema  27406  dchrisumlem3  27409  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0lem1  27434  rplogsum  27445  mulog2sumlem2  27453  pntrsumo1  27483  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntlemg  27516  pntlemq  27519  pntlemr  27520  pntlemf  27523  ostth2lem2  27552  dya2ub  34268  dya2icoseg  34275  dnibndlem13  36485  knoppndvlem19  36525  ltflcei  37609  opnmbllem0  37657  itg2addnclem2  37673  cntotbnd  37797  aks4d1p1p3  42064  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p3  42073  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8  42082  aks4d1p9  42083  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c2  42125  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  irrapxlem1  42817  irrapxlem2  42818  irrapxlem3  42819  irrapxlem4  42820  pellexlem5  42828  pellfund14  42893  hashnzfz2  44317  hashnzfzclim  44318  sineq0ALT  44933  lefldiveq  45297  ltmod  45643  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  dirkertrigeqlem3  46105  dirkertrigeq  46106  dirkercncflem4  46111  fourierdlem4  46116  fourierdlem7  46119  fourierdlem19  46131  fourierdlem26  46138  fourierdlem41  46153  fourierdlem47  46158  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem51  46162  fourierdlem63  46174  fourierdlem65  46176  fourierdlem71  46182  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  ceilbi  47338  fldivmod  47343  modn0mul  47362  lighneallem2  47611  fllogbd  48553  fldivexpfllog2  48558  logbpw2m1  48560  fllog2  48561  nnpw2blen  48573  blen1b  48581  nnolog2flm1  48583  blennngt2o2  48585  blennn0e2  48587  digvalnn0  48592  dig2nn1st  48598  dig2nn0  48604  dig2bits  48607  dignn0flhalflem2  48609