Theorem flcld 13948

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  ℝcr 11209  ℤcz 12703  ⌊cfl 13940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fl 13942

This theorem is used by:  flge  13955  flwordi  13962  flword2  13963  fladdz  13975  flhalf  13980  fldiv4p1lem1div2  13985  fldiv4lem1div2uz2  13986  fldiv4lem1div2  13987  ceicl  13991  quoremz  14005  intfracq  14009  fldiv  14010  moddiffl  14032  moddifz  14033  zmodcl  14041  modadd1  14058  modmuladd  14066  modmul1  14077  modsubdir  14093  iexpcyc  14361  absrdbnd  15521  limsupgre  15660  climrlim2  15726  dvdsmod  16511  divalgmod  16588  flodddiv4t2lthalf  16600  bitsp1  16613  bitsmod  16618  bitscmp  16620  bitsuz  16656  modgcd  16717  bezoutlem3  16726  isprm7  16896  hashdvds  16964  prmdiv  16974  odzdvds  16985  fldivp1  17087  pcfac  17089  pcbc  17090  prmreclem4  17109  vdwnnlem3  17187  mulgmodid  19335  odmod  19772  gexdvds  19810  zringlpirlem3  21782  zcld  25145  ovolunlem1a  25829  opnmbllem  25934  mbfi1fseqlem5  26052  dvfsumlem1  26358  dvfsumlem3  26360  sineq0  26864  efif1olem2  26883  ppiltx  27516  dvdsflf1o  27526  ppiub  27543  fsumvma2  27553  logfac2  27556  chpchtsum  27558  pcbcctr  27615  bposlem1  27623  bposlem3  27625  bposlem4  27626  bposlem5  27627  bposlem6  27628  gausslemma2dlem3  27707  gausslemma2dlem4  27708  gausslemma2dlem5  27710  lgseisenlem4  27717  lgseisen  27718  lgsquadlem1  27719  lgsquadlem2  27720  2lgslem1  27733  2lgslem2  27734  chebbnd1lem2  27809  chebbnd1lem3  27810  rplogsumlem2  27824  rpvmasumlem  27826  dchrisumlema  27827  dchrisumlem3  27830  dchrvmasumiflem1  27840  dchrisum0lem1  27855  rplogsum  27866  mulog2sumlem2  27874  pntrsumo1  27904  pntrlog2bndlem2  27917  pntrlog2bndlem4  27919  pntpbnd1  27925  pntpbnd2  27926  pntlemg  27937  pntlemq  27940  pntlemr  27941  pntlemf  27944  ostth2lem2  27973  dya2ub  34955  dya2icoseg  34962  dnibndlem13  37483  knoppndvlem19  37523  ltflcei  38671  opnmbllem0  38714  itg2addnclem2  38730  cntotbnd  38870  aks4d1p1p3  43259  aks4d1p1p2  43260  aks4d1p1p4  43261  aks4d1p3  43268  aks4d1p7d1  43272  aks4d1p7  43273  aks4d1p8  43277  aks4d1p9  43278  aks6d1c2lem4  43317  aks6d1c2  43320  aks6d1c6lem4  43363  aks6d1c7lem1  43370  aks6d1c7lem2  43371  irrapxlem1  43969  irrapxlem2  43970  irrapxlem3  43971  irrapxlem4  43972  pellexlem5  43980  pellfund14  44045  hashnzfz2  45445  hashnzfzclim  45446  sineq0ALT  46058  lefldiveq  46447  ltmod  46787  ioodvbdlimc1lem2  47081  ioodvbdlimc2lem  47083  dirkertrigeqlem3  47249  dirkertrigeq  47250  dirkercncflem4  47255  fourierdlem4  47260  fourierdlem7  47263  fourierdlem19  47275  fourierdlem26  47282  fourierdlem41  47297  fourierdlem47  47302  fourierdlem48  47303  fourierdlem49  47304  fourierdlem51  47306  fourierdlem63  47318  fourierdlem65  47320  fourierdlem71  47326  fourierdlem89  47344  fourierdlem90  47345  fourierdlem91  47346  ceilbi  48546  fldivmod  48553  modn0mul  48572  lighneallem2  48830  fllogbd  49811  fldivexpfllog2  49816  logbpw2m1  49818  fllog2  49819  nnpw2blen  49831  blen1b  49839  nnolog2flm1  49841  blennngt2o2  49843  blennn0e2  49845  digvalnn0  49850  dig2nn1st  49856  dig2nn0  49862  dig2bits  49865  dignn0flhalflem2  49867