Theorem flcld 13938

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13935	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  ℝcr 11199  ℤcz 12693  ⌊cfl 13930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fl 13932

This theorem is used by:  flge  13945  flwordi  13952  flword2  13953  fladdz  13965  flhalf  13970  fldiv4p1lem1div2  13975  fldiv4lem1div2uz2  13976  fldiv4lem1div2  13977  ceicl  13981  quoremz  13995  intfracq  13999  fldiv  14000  moddiffl  14022  moddifz  14023  zmodcl  14031  modadd1  14048  modmuladd  14056  modmul1  14067  modsubdir  14083  iexpcyc  14351  absrdbnd  15509  limsupgre  15648  climrlim2  15714  dvdsmod  16499  divalgmod  16576  flodddiv4t2lthalf  16588  bitsp1  16601  bitsmod  16606  bitscmp  16608  bitsuz  16644  modgcd  16705  bezoutlem3  16714  isprm7  16884  hashdvds  16952  prmdiv  16962  odzdvds  16973  fldivp1  17075  pcfac  17077  pcbc  17078  prmreclem4  17097  vdwnnlem3  17175  mulgmodid  19323  odmod  19760  gexdvds  19798  zringlpirlem3  21770  zcld  25133  ovolunlem1a  25817  opnmbllem  25922  mbfi1fseqlem5  26040  dvfsumlem1  26346  dvfsumlem3  26348  sineq0  26852  efif1olem2  26871  ppiltx  27504  dvdsflf1o  27514  ppiub  27531  fsumvma2  27541  logfac2  27544  chpchtsum  27546  pcbcctr  27603  bposlem1  27611  bposlem3  27613  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  gausslemma2dlem3  27695  gausslemma2dlem4  27696  gausslemma2dlem5  27698  lgseisenlem4  27705  lgseisen  27706  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  2lgslem1  27721  2lgslem2  27722  chebbnd1lem2  27797  chebbnd1lem3  27798  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrisumlema  27815  dchrisumlem3  27818  dchrvmasumiflem1  27828  dchrisum0lem1  27843  rplogsum  27854  mulog2sumlem2  27862  pntrsumo1  27892  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem4  27907  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntlemg  27925  pntlemq  27928  pntlemr  27929  pntlemf  27932  ostth2lem2  27961  dya2ub  34902  dya2icoseg  34909  dnibndlem13  37356  knoppndvlem19  37396  ltflcei  38531  opnmbllem0  38574  itg2addnclem2  38590  cntotbnd  38730  aks4d1p1p3  43119  aks4d1p1p2  43120  aks4d1p1p4  43121  aks4d1p3  43128  aks4d1p7d1  43132  aks4d1p7  43133  aks4d1p8  43137  aks4d1p9  43138  aks6d1c2lem4  43177  aks6d1c2  43180  aks6d1c6lem4  43223  aks6d1c7lem1  43230  aks6d1c7lem2  43231  irrapxlem1  43828  irrapxlem2  43829  irrapxlem3  43830  irrapxlem4  43831  pellexlem5  43839  pellfund14  43904  hashnzfz2  45304  hashnzfzclim  45305  sineq0ALT  45918  lefldiveq  46307  ltmod  46647  ioodvbdlimc1lem2  46941  ioodvbdlimc2lem  46943  dirkertrigeqlem3  47109  dirkertrigeq  47110  dirkercncflem4  47115  fourierdlem4  47120  fourierdlem7  47123  fourierdlem19  47135  fourierdlem26  47142  fourierdlem41  47157  fourierdlem47  47162  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem51  47166  fourierdlem63  47178  fourierdlem65  47180  fourierdlem71  47186  fourierdlem89  47204  fourierdlem90  47205  fourierdlem91  47206  ceilbi  48406  fldivmod  48413  modn0mul  48432  lighneallem2  48690  fllogbd  49671  fldivexpfllog2  49676  logbpw2m1  49678  fllog2  49679  nnpw2blen  49691  blen1b  49699  nnolog2flm1  49701  blennngt2o2  49703  blennn0e2  49705  digvalnn0  49710  dig2nn1st  49716  dig2nn0  49722  dig2bits  49725  dignn0flhalflem2  49727