Theorem flcld 13702

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  ℤcz 12468  ⌊cfl 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fl 13696

This theorem is referenced by:  flge  13709  flwordi  13716  flword2  13717  fladdz  13729  flhalf  13734  fldiv4p1lem1div2  13739  fldiv4lem1div2uz2  13740  fldiv4lem1div2  13741  ceicl  13745  quoremz  13759  intfracq  13763  fldiv  13764  moddiffl  13786  moddifz  13787  zmodcl  13795  modadd1  13812  modmuladd  13820  modmul1  13831  modsubdir  13847  iexpcyc  14114  absrdbnd  15249  limsupgre  15388  climrlim2  15454  dvdsmod  16240  divalgmod  16317  flodddiv4t2lthalf  16329  bitsp1  16342  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsuz  16385  modgcd  16443  bezoutlem3  16452  isprm7  16619  hashdvds  16686  prmdiv  16696  odzdvds  16707  fldivp1  16809  pcfac  16811  pcbc  16812  prmreclem4  16831  vdwnnlem3  16909  mulgmodid  19026  odmod  19458  gexdvds  19496  zringlpirlem3  21401  zcld  24729  ovolunlem1a  25424  opnmbllem  25529  mbfi1fseqlem5  25647  dvfsumlem1  25959  dvfsumlem3  25962  sineq0  26460  efif1olem2  26479  ppiltx  27114  dvdsflf1o  27124  ppiub  27142  fsumvma2  27152  logfac2  27155  chpchtsum  27157  pcbcctr  27214  bposlem1  27222  bposlem3  27224  bposlem4  27225  bposlem5  27226  bposlem6  27227  gausslemma2dlem3  27306  gausslemma2dlem4  27307  gausslemma2dlem5  27309  lgseisenlem4  27316  lgseisen  27317  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  2lgslem1  27332  2lgslem2  27333  chebbnd1lem2  27408  chebbnd1lem3  27409  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlema  27426  dchrisumlem3  27429  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0lem1  27454  rplogsum  27465  mulog2sumlem2  27473  pntrsumo1  27503  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem4  27518  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemg  27536  pntlemq  27539  pntlemr  27540  pntlemf  27543  ostth2lem2  27572  dya2ub  34283  dya2icoseg  34290  dnibndlem13  36534  knoppndvlem19  36574  ltflcei  37658  opnmbllem0  37706  itg2addnclem2  37722  cntotbnd  37846  aks4d1p1p3  42172  aks4d1p1p2  42173  aks4d1p1p4  42174  aks4d1p3  42181  aks4d1p7d1  42185  aks4d1p7  42186  aks4d1p8  42190  aks4d1p9  42191  aks6d1c2lem4  42230  aks6d1c2  42233  aks6d1c6lem4  42276  aks6d1c7lem1  42283  aks6d1c7lem2  42284  irrapxlem1  42925  irrapxlem2  42926  irrapxlem3  42927  irrapxlem4  42928  pellexlem5  42936  pellfund14  43001  hashnzfz2  44424  hashnzfzclim  44425  sineq0ALT  45039  lefldiveq  45403  ltmod  45746  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  dirkertrigeqlem3  46208  dirkertrigeq  46209  dirkercncflem4  46214  fourierdlem4  46219  fourierdlem7  46222  fourierdlem19  46234  fourierdlem26  46241  fourierdlem41  46256  fourierdlem47  46261  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem51  46265  fourierdlem63  46277  fourierdlem65  46279  fourierdlem71  46285  fourierdlem89  46303  fourierdlem90  46304  fourierdlem91  46305  ceilbi  47443  fldivmod  47448  modn0mul  47467  lighneallem2  47716  fllogbd  48671  fldivexpfllog2  48676  logbpw2m1  48678  fllog2  48679  nnpw2blen  48691  blen1b  48699  nnolog2flm1  48701  blennngt2o2  48703  blennn0e2  48705  digvalnn0  48710  dig2nn1st  48716  dig2nn0  48722  dig2bits  48725  dignn0flhalflem2  48727