Theorem flcld 13716

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13713	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  ℝcr 11023  ℤcz 12486  ⌊cfl 13708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fl 13710

This theorem is referenced by:  flge  13723  flwordi  13730  flword2  13731  fladdz  13743  flhalf  13748  fldiv4p1lem1div2  13753  fldiv4lem1div2uz2  13754  fldiv4lem1div2  13755  ceicl  13759  quoremz  13773  intfracq  13777  fldiv  13778  moddiffl  13800  moddifz  13801  zmodcl  13809  modadd1  13826  modmuladd  13834  modmul1  13845  modsubdir  13861  iexpcyc  14128  absrdbnd  15263  limsupgre  15402  climrlim2  15468  dvdsmod  16254  divalgmod  16331  flodddiv4t2lthalf  16343  bitsp1  16356  bitsmod  16361  bitscmp  16363  bitsuz  16399  modgcd  16457  bezoutlem3  16466  isprm7  16633  hashdvds  16700  prmdiv  16710  odzdvds  16721  fldivp1  16823  pcfac  16825  pcbc  16826  prmreclem4  16845  vdwnnlem3  16923  mulgmodid  19041  odmod  19473  gexdvds  19511  zringlpirlem3  21417  zcld  24756  ovolunlem1a  25451  opnmbllem  25556  mbfi1fseqlem5  25674  dvfsumlem1  25986  dvfsumlem3  25989  sineq0  26487  efif1olem2  26506  ppiltx  27141  dvdsflf1o  27151  ppiub  27169  fsumvma2  27179  logfac2  27182  chpchtsum  27184  pcbcctr  27241  bposlem1  27249  bposlem3  27251  bposlem4  27252  bposlem5  27253  bposlem6  27254  gausslemma2dlem3  27333  gausslemma2dlem4  27334  gausslemma2dlem5  27336  lgseisenlem4  27343  lgseisen  27344  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346  2lgslem1  27359  2lgslem2  27360  chebbnd1lem2  27435  chebbnd1lem3  27436  rplogsumlem2  27450  rpvmasumlem  27452  dchrisumlema  27453  dchrisumlem3  27456  dchrvmasumiflem1  27466  dchrisum0lem1  27481  rplogsum  27492  mulog2sumlem2  27500  pntrsumo1  27530  pntrlog2bndlem2  27543  pntrlog2bndlem4  27545  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  pntlemg  27563  pntlemq  27566  pntlemr  27567  pntlemf  27570  ostth2lem2  27599  dya2ub  34376  dya2icoseg  34383  dnibndlem13  36633  knoppndvlem19  36673  ltflcei  37748  opnmbllem0  37796  itg2addnclem2  37812  cntotbnd  37936  aks4d1p1p3  42262  aks4d1p1p2  42263  aks4d1p1p4  42264  aks4d1p3  42271  aks4d1p7d1  42275  aks4d1p7  42276  aks4d1p8  42280  aks4d1p9  42281  aks6d1c2lem4  42320  aks6d1c2  42323  aks6d1c6lem4  42366  aks6d1c7lem1  42373  aks6d1c7lem2  42374  irrapxlem1  43006  irrapxlem2  43007  irrapxlem3  43008  irrapxlem4  43009  pellexlem5  43017  pellfund14  43082  hashnzfz2  44504  hashnzfzclim  44505  sineq0ALT  45119  lefldiveq  45482  ltmod  45824  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  dirkertrigeqlem3  46286  dirkertrigeq  46287  dirkercncflem4  46292  fourierdlem4  46297  fourierdlem7  46300  fourierdlem19  46312  fourierdlem26  46319  fourierdlem41  46334  fourierdlem47  46339  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem51  46343  fourierdlem63  46355  fourierdlem65  46357  fourierdlem71  46363  fourierdlem89  46381  fourierdlem90  46382  fourierdlem91  46383  ceilbi  47521  fldivmod  47526  modn0mul  47545  lighneallem2  47794  fllogbd  48748  fldivexpfllog2  48753  logbpw2m1  48755  fllog2  48756  nnpw2blen  48768  blen1b  48776  nnolog2flm1  48778  blennngt2o2  48780  blennn0e2  48782  digvalnn0  48787  dig2nn1st  48793  dig2nn0  48799  dig2bits  48802  dignn0flhalflem2  48804