Theorem flcld 13978

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  ℤcz 12733  ⌊cfl 13970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fl 13972

This theorem is used by:  flge  13985  flwordi  13992  flword2  13993  fladdz  14005  flhalf  14010  fldiv4p1lem1div2  14015  fldiv4lem1div2uz2  14016  fldiv4lem1div2  14017  ceicl  14021  quoremz  14035  intfracq  14039  fldiv  14040  moddiffl  14062  moddifz  14063  zmodcl  14071  modadd1  14088  modmuladd  14096  modmul1  14107  modsubdir  14123  iexpcyc  14391  absrdbnd  15553  limsupgre  15692  climrlim2  15758  dvdsmod  16543  divalgmod  16620  flodddiv4t2lthalf  16632  bitsp1  16645  bitsmod  16650  bitscmp  16652  bitsuz  16688  modgcd  16749  bezoutlem3  16758  isprm7  16928  hashdvds  16996  prmdiv  17006  odzdvds  17017  fldivp1  17119  pcfac  17121  pcbc  17122  prmreclem4  17141  vdwnnlem3  17219  mulgmodid  19373  odmod  19811  gexdvds  19849  zringlpirlem3  21825  zcld  25188  ovolunlem1a  25872  opnmbllem  25977  mbfi1fseqlem5  26095  dvfsumlem1  26401  dvfsumlem3  26403  sineq0  26909  efif1olem2  26928  ppiltx  27561  dvdsflf1o  27571  ppiub  27588  fsumvma2  27598  logfac2  27601  chpchtsum  27603  pcbcctr  27660  bposlem1  27668  bposlem3  27670  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  gausslemma2dlem3  27752  gausslemma2dlem4  27753  gausslemma2dlem5  27755  lgseisenlem4  27762  lgseisen  27763  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  2lgslem1  27778  2lgslem2  27779  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  rplogsumlem2  27869  rpvmasumlem  27871  dchrisumlema  27872  dchrisumlem3  27875  dchrvmasumiflem1  27885  dchrisum0lem1  27900  rplogsum  27911  mulog2sumlem2  27919  pntrsumo1  27949  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem4  27964  pntpbnd1  27970  pntpbnd2  27971  pntlemg  27982  pntlemq  27985  pntlemr  27986  pntlemf  27989  ostth2lem2  28018  dya2ub  35013  dya2icoseg  35020  dnibndlem13  37571  knoppndvlem19  37611  ltflcei  38799  opnmbllem0  38842  itg2addnclem2  38858  cntotbnd  38996  aks4d1p1p3  43385  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p3  43394  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p7  43399  aks4d1p8  43403  aks4d1p9  43404  aks6d1c2lem4  43443  aks6d1c2  43446  aks6d1c6lem4  43489  aks6d1c7lem1  43496  aks6d1c7lem2  43497  irrapxlem1  44095  irrapxlem2  44096  irrapxlem3  44097  irrapxlem4  44098  pellexlem5  44106  pellfund14  44171  hashnzfz2  45566  hashnzfzclim  45567  sineq0ALT  46179  lefldiveq  46581  ltmod  46921  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkercncflem4  47389  fourierdlem4  47394  fourierdlem7  47397  fourierdlem19  47409  fourierdlem26  47416  fourierdlem41  47431  fourierdlem47  47436  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem51  47440  fourierdlem63  47452  fourierdlem65  47454  fourierdlem71  47460  fourierdlem89  47478  fourierdlem90  47479  fourierdlem91  47480  ceilbi  48680  fldivmod  48687  modn0mul  48706  lighneallem2  48964  fllogbd  50003  fldivexpfllog2  50008  logbpw2m1  50010  fllog2  50011  nnpw2blen  50023  blen1b  50031  nnolog2flm1  50033  blennngt2o2  50035  blennn0e2  50037  digvalnn0  50042  dig2nn1st  50048  dig2nn0  50054  dig2bits  50057  dignn0flhalflem2  50059