MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fleqceilz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fleqceilz 13819
Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
fleqceilz (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 13773 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 13816 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2776 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 eqeq1 2737 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
54adantr 482 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6 ceilidz 13817 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
86, 7bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
98biimprd 247 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
109adantl 483 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
115, 10sylbid 239 . . . 4 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1211ex 414 . . 3 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13 flle 13764 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14 df-ne 2942 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15 necom 2995 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16 reflcl 13761 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 17ltlend 11359 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21 ceilge 13810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22 ceilcl 13807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
2417, 23lenltd 11360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2624, 25syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2920, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3029ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3130com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3218, 31sylbird 260 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3332expd 417 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3433com3r 87 . . . . . 6 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3515, 34sylbi 216 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3614, 35sylbir 234 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3713, 36mpdi 45 . . 3 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3812, 37pm2.61i 182 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
393, 38impbid2 225 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5149  cfv 6544  cr 11109   < clt 11248  cle 11249  cz 12558  cfl 13755  cceil 13756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fl 13757  df-ceil 13758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator