Theorem fleqceilz 13997

Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fleqceilz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 13951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2		ceilid 13994	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4		eqeq1 2764	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6		ceilidz 13995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7		eqcom 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌈‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴))
8	6, 7	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
9	8	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
11	5, 10	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13		flle 13942	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15		necom 3008	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16		reflcl 13939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
18	16, 17	ltlend 11458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21		ceilge 13988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22		ceilcl 13985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
24	17, 23	lenltd 11459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
26	24, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
27	21, 26	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
29	20, 28	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
30	29	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
31	30	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
32	18, 31	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
33	32	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
34	33	com3r 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
36	14, 35	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
37	13, 36	mpdi 46	. . 3 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
38	12, 37	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
39	3, 38	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ℝcr 11202   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℤcz 12696  ⌊cfl 13933  ⌈cceil 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fl 13935  df-ceil 13936

This theorem is used by: (None)