Theorem fleqceilz 13889

Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fleqceilz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 13843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2		ceilid 13886	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6		ceilidz 13887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌈‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴))
8	6, 7	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
9	8	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
11	5, 10	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
12	11	ex 417	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13		flle 13834	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15		necom 3011	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16		reflcl 13831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
18	16, 17	ltlend 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
20	19	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21		ceilge 13880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22		ceilcl 13877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
24	17, 23	lenltd 11357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
26	24, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
27	21, 26	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
29	20, 28	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
30	29	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
31	30	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
32	18, 31	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
33	32	expd 420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
34	33	com3r 88	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
35	15, 34	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
36	14, 35	sylbir 238	. . . 4 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
37	13, 36	mpdi 46	. . 3 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
38	12, 37	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
39	3, 38	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ℝcr 11100   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℤcz 12592  ⌊cfl 13825  ⌈cceil 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827  df-ceil 13828

This theorem is referenced by: (None)