Theorem fleqceilz 13894

Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fleqceilz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flid 13848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2		ceilid 13891	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6		ceilidz 13892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌈‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴))
8	6, 7	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
9	8	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
11	5, 10	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) = 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13		flle 13839	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15		necom 2994	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16		reflcl 13836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
18	16, 17	ltlend 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21		ceilge 13885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22		ceilcl 13882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
24	17, 23	lenltd 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
26	24, 25	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
27	21, 26	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
29	20, 28	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ))
30	29	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)))
31	30	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
32	18, 31	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
33	32	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
34	33	com3r 87	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
35	15, 34	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
36	14, 35	sylbir 235	. . . 4 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
37	13, 36	mpdi 45	. . 3 ⊢ (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
38	12, 37	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
39	3, 38	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ⌊cfl 13830  ⌈cceil 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832  df-ceil 13833

This theorem is referenced by: (None)