Theorem flt4ALT 27997

Description: Fermat's last theorem for the exponent four, derived from Fermat's right triangle theorem (which is not proved yet, see fermrtt: after a proof is available, the hypothesis flt4ALT.r can be removed - TODO-AV). (Contributed by AV, 15-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4ALT.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4ALT	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem flt4ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2		flt4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
5	1, 2, 4	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ))
6		flt4ALT.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))
7		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎↑4) = (𝐶↑4))
8	7	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)))
9	8	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
10		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑4) = (𝐵↑4))
11	10	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)))
12	11	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
13		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (𝑐↑2) = ((𝐴↑2)↑2))
14	13	neeq2d 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
15	9, 12, 14	rspc3v 3591	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
16	5, 6, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2))
17	16	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2))
18		4nn0 12628	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
20	1, 19	nnexpcld 14392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℂ)
22	2, 19	nnexpcld 14392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
24	3, 19	nnexpcld 14392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
26	21, 23, 25	subadd2d 11691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4)))
27	3	nncnd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	exp4sqsq 14347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
29	28	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
30	26, 29	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
31	17, 30	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4))
32	31	neqned 2962	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  (class class class)co 7420   + caddc 11206   − cmin 11544  ℕcn 12338  2c2 12400  4c4 12402  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by: (None)