Theorem flt4ALT 27974

Description: Fermat's last theorem for the exponent four, derived from Fermat's right triangle theorem (which is not proved yet, see fermrtt: after a proof is available, the hypothesis flt4ALT.r can be removed - TODO-AV). (Contributed by AV, 15-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4ALT.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4ALT	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem flt4ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2		flt4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
5	1, 2, 4	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ))
6		flt4ALT.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))
7		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎↑4) = (𝐶↑4))
8	7	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)))
9	8	neeq1d 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
10		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑4) = (𝐵↑4))
11	10	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)))
12	11	neeq1d 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
13		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (𝑐↑2) = ((𝐴↑2)↑2))
14	13	neeq2d 3016	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
15	9, 12, 14	rspc3v 3592	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
16	5, 6, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2))
17	16	neneqd 2961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2))
18		4nn0 12606	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
20	1, 19	nnexpcld 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℂ)
22	2, 19	nnexpcld 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
24	3, 19	nnexpcld 14369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
26	21, 23, 25	subadd2d 11669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4)))
27	3	nncnd 12332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	exp4sqsq 14324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
29	28	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
30	26, 29	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
31	17, 30	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4))
32	31	neqned 2963	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  (class class class)co 7412   + caddc 11184   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  4c4 12380  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by: (None)