Theorem flt4ALT 28022

Description: Fermat's last theorem for the exponent four, derived from Fermat's right triangle theorem (which is not proved yet, see fermrtt: after a proof is available, the hypothesis flt4ALT.r can be removed - TODO-AV). (Contributed by AV, 15-Sep-2026.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
flt4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
flt4.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
flt4.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
flt4ALT.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))

Assertion

Ref	Expression
flt4ALT	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎)

Proof of Theorem flt4ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flt4.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
2		flt4.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		flt4.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
4	3	nnsqcld 14415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
5	1, 2, 4	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ))
6		flt4ALT.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2))
7		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (𝑎↑4) = (𝐶↑4))
8	7	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)))
9	8	neeq1d 3018	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐶 → (((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
10		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑4) = (𝐵↑4))
11	10	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) = ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)))
12	11	neeq1d 3018	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐶↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2)))
13		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (𝑐↑2) = ((𝐴↑2)↑2))
14	13	neeq2d 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴↑2) → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ (𝑐↑2) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
15	9, 12, 14	rspc3v 3595	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℕ) → (∀𝑎 ∈ ℕ ∀𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ ℕ ((𝑎↑4) − (𝑏↑4)) ≠ (𝑐↑2) → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2)))
16	5, 6, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) ≠ ((𝐴↑2)↑2))
17	16	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2))
18		4nn0 12652	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
20	1, 19	nnexpcld 14416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑4) ∈ ℂ)
22	2, 19	nnexpcld 14416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℕ)
23	22	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑4) ∈ ℂ)
24	3, 19	nnexpcld 14416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℕ)
25	24	nncnd 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
26	21, 23, 25	subadd2d 11715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4)))
27	3	nncnd 12378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27	exp4sqsq 14371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) = ((𝐴↑2)↑2))
29	28	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = (𝐴↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
30	26, 29	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4) ↔ ((𝐶↑4) − (𝐵↑4)) = ((𝐴↑2)↑2)))
31	17, 30	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) = (𝐶↑4))
32	31	neqned 2966	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑4) + (𝐵↑4)) ≠ (𝐶↑4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  (class class class)co 7443   + caddc 11230   − cmin 11568  ℕcn 12362  2c2 12424  4c4 12426  ℕ₀cn0 12633  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by: (None)