Theorem nnsqcld 14265

Description: The naturals are closed under squaring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnsqcl 14150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℕcn 12248  2c2 12303  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  16266  sqgcd  16581  numdensq  16773  pythagtriplem4  16839  pythagtriplem19  16853  prmreclem1  16936  prmreclem3  16938  prmreclem6  16941  mul4sqlem  16973  4sqlem12  16976  4sqlem16  16980  lgamgulmlem3  27010  lgamgulmlem4  27011  lgamgulmlem6  27013  basellem8  27067  chpub  27200  2sqlem3  27400  2sqlem8  27406  2sqcoprm  27415  2sqmod  27416  dchrisum0fno1  27491  fltabcoprm  42615  flt4lem3  42621  flt4lem5  42623  flt4lem5elem  42624  flt4lem5a  42625  flt4lem5b  42626  flt4lem5c  42627  flt4lem5d  42628  flt4lem5e  42629  flt4lem6  42631  flt4lem7  42632  nna4b4nsq  42633  pellexlem2  42804  rmspecsqrtnq  42880  jm2.27a  42980  jm2.27c  42982  fmtnorec3  47493