Theorem nnsqcld 14279

Description: The naturals are closed under squaring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnsqcl 14163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℕcn 12232  2c2 12294  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  16303  sqgcd  16619  numdensq  16812  pythagtriplem4  16878  pythagtriplem19  16892  prmreclem1  16975  prmreclem3  16977  prmreclem6  16980  mul4sqlem  17012  4sqlem12  17015  4sqlem16  17019  lgamgulmlem3  27171  lgamgulmlem4  27172  lgamgulmlem6  27174  basellem8  27228  chpub  27360  2sqlem3  27560  2sqlem8  27566  2sqcoprm  27575  2sqmod  27576  dchrisum0fno1  27651  fltabcoprm  43322  flt4lem3  43328  flt4lem5  43330  flt4lem5elem  43331  flt4lem5a  43332  flt4lem5b  43333  flt4lem5c  43334  flt4lem5d  43335  flt4lem5e  43336  flt4lem6  43338  flt4lem7  43339  nna4b4nsq  43340  pellexlem2  43505  rmspecsqrtnq  43581  jm2.27a  43680  jm2.27c  43682  fmtnorec3  48245