Theorem nnsqcld 14388

Description: The naturals are closed under squaring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnsqcl 14271	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℕcn 12335  2c2 12397  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  sqrt2irrlem  16416  sqgcd  16736  numdensq  16930  pythagtriplem4  16997  pythagtriplem19  17011  prmreclem1  17094  prmreclem3  17096  prmreclem6  17099  mul4sqlem  17131  4sqlem12  17134  4sqlem16  17138  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem6  27361  basellem8  27415  chpub  27547  2sqlem3  27747  2sqlem8  27753  2sqcoprm  27762  2sqmod  27763  dchrisum0fno1  27838  fltabcoprm  27974  flt4lem3  27978  flt4lem5  27980  flt4lem5elem  27981  flt4lem5a  27982  flt4lem5b  27983  flt4lem5c  27984  flt4lem5d  27985  flt4lem5e  27986  flt4lem6  27988  flt4lem7  27989  nna4b4nsq  27990  flt4  27991  flt4ALT  27992  pellexlem2  43880  rmspecsqrtnq  43956  jm2.27a  44055  jm2.27c  44057  fmtnorec3  48676