Theorem nnsqcld 14243

Description: The naturals are closed under squaring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnsqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnsqcl 14127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℕcn 12196  2c2 12258  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  16252  sqgcd  16568  numdensq  16761  pythagtriplem4  16827  pythagtriplem19  16841  prmreclem1  16924  prmreclem3  16926  prmreclem6  16929  mul4sqlem  16961  4sqlem12  16964  4sqlem16  16968  lgamgulmlem3  27061  lgamgulmlem4  27062  lgamgulmlem6  27064  basellem8  27118  chpub  27250  2sqlem3  27450  2sqlem8  27456  2sqcoprm  27465  2sqmod  27466  dchrisum0fno1  27541  fltabcoprm  43162  flt4lem3  43168  flt4lem5  43170  flt4lem5elem  43171  flt4lem5a  43172  flt4lem5b  43173  flt4lem5c  43174  flt4lem5d  43175  flt4lem5e  43176  flt4lem6  43178  flt4lem7  43179  nna4b4nsq  43180  pellexlem2  43345  rmspecsqrtnq  43421  jm2.27a  43520  jm2.27c  43522  fmtnorec3  48095