Theorem fltoprmlem1 28023

Description: Lemma 1 for fltoprm 28025: Every positive integer is either a power of 2 or has an odd prime factor. (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fltoprmlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝

Proof of Theorem fltoprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 17110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁)
2		rexdifsn 4757	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
4	3	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2))
5		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2))
6	4, 5	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		oddprmgt2 16904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑝)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 2 < 𝑝)
9	8	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 2 → 2 < 𝑝))
10	9	anim1d 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
11	10	reximdva 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
12	2, 11	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
14	1, 13	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
15	14	orcd 887	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛))))
17		olc 882	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))
18	16, 17	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443   < clt 11370  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-pc 17044

This theorem is used by:  fltoprm  28025