Theorem fltoprmlem1 27975

Description: Lemma 1 for fltoprm 27977: Every positive integer is either a power of 2 or has an odd prime factor. (Contributed by AV, 15-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fltoprmlem1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝

Proof of Theorem fltoprmlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 17061	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁)
2		rexdifsn 4757	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
4	3	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2))
5		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2))
6	4, 5	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		oddprmgt2 16855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑝)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 2 < 𝑝)
9	8	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 2 → 2 < 𝑝))
10	9	anim1d 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
11	10	reximdva 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≠ 2 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
12	2, 11	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝑁 → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁)))
14	1, 13	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
15	14	orcd 887	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛))))
17		olc 882	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛) → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))
18	16, 17	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ (2 < 𝑝 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ∨ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑁 = (2↑𝑛)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   < clt 11324  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-pc 16995

This theorem is used by:  fltoprm  27977