Theorem nnexpcld 14152

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  bitsp1  16342  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitsfi  16348  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  bitsinv1  16353  2ebits  16358  bitsinvp1  16360  sadcaddlem  16368  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  bitsres  16384  bitsuz  16385  bitsshft  16386  smumullem  16403  smumul  16404  rplpwr  16469  rprpwr  16470  rppwr  16471  expgcd  16474  nn0expgcd  16475  numdenexp  16671  pclem  16750  pcprendvds2  16753  pcpre1  16754  pcpremul  16755  pcdvdsb  16781  pcidlem  16784  pcid  16785  pcdvdstr  16788  pcgcd1  16789  pcprmpw2  16794  pcaddlem  16800  pcadd  16801  pcfaclem  16810  pcfac  16811  pcbc  16812  oddprmdvds  16815  prmpwdvds  16816  pockthlem  16817  2expltfac  17004  pgpfi1  19474  sylow1lem1  19477  sylow1lem3  19479  sylow1lem4  19480  sylow1lem5  19481  pgpfi  19484  gexexlem  19731  ablfac1lem  19949  ablfac1b  19951  ablfac1eu  19954  aalioulem2  26239  aalioulem5  26242  aaliou3lem9  26256  isppw2  27023  sgmppw  27106  fsumvma2  27123  pclogsum  27124  chpchtsum  27128  logfacubnd  27130  bposlem1  27193  bposlem5  27197  gausslemma2d  27283  lgseisen  27288  chebbnd1lem1  27378  rpvmasumlem  27396  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0flblem2  27418  ostth2lem2  27543  ostth2lem3  27544  2exple2exp  32790  fldext2rspun  33649  oddpwdc  34322  eulerpartlemgh  34346  aks4d1p3  42051  aks4d1p7d1  42055  aks4d1p8d2  42058  aks6d1c1  42089  aks6d1c2p1  42091  aks6d1c2p2  42092  aks6d1c7  42157  aks5  42177  dvdsexpnn  42306  fltdvdsabdvdsc  42611  fltaccoprm  42613  fltbccoprm  42614  fltne  42617  flt4lem6  42631  flt4lem7  42632  nna4b4nsq  42633  3cubeslem3r  42660  3cubes  42663  jm3.1lem3  42992  inductionexd  44128  stoweidlem25  46006  stoweidlem45  46026  wallispi2lem1  46052  ovnsubaddlem1  46551  ovolval5lem2  46634  fmtnoodd  47517  fmtnof1  47519  fmtnosqrt  47523  fmtnorec4  47533  odz2prm2pw  47547  fmtnoprmfac1lem  47548  fmtnoprmfac1  47549  fmtnoprmfac2lem1  47550  fmtnoprmfac2  47551  2pwp1prm  47573  lighneallem1  47589  proththdlem  47597  proththd  47598  pw2m1lepw2m1  48505  nnpw2even  48514  logbpw2m1  48552  nnpw2pmod  48568  nnpw2p  48571  nnolog2flm1  48575  dignn0flhalflem1  48600  itcovalt2lem2  48661