Theorem nnexpcld 14182

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14011	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ↑cexp 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-exp 13999

This theorem is referenced by:  bitsp1  16372  bitsfzolem  16375  bitsfzo  16376  bitsmod  16377  bitsfi  16378  bitscmp  16379  bitsinv1lem  16382  bitsinv1  16383  2ebits  16388  bitsinvp1  16390  sadcaddlem  16398  sadadd3  16402  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  bitsres  16414  bitsuz  16415  bitsshft  16416  smumullem  16433  smumul  16434  rplpwr  16499  rprpwr  16500  rppwr  16501  expgcd  16504  nn0expgcd  16505  numdenexp  16701  pclem  16780  pcprendvds2  16783  pcpre1  16784  pcpremul  16785  pcdvdsb  16811  pcidlem  16814  pcid  16815  pcdvdstr  16818  pcgcd1  16819  pcprmpw2  16824  pcaddlem  16830  pcadd  16831  pcfaclem  16840  pcfac  16841  pcbc  16842  oddprmdvds  16845  prmpwdvds  16846  pockthlem  16847  2expltfac  17034  pgpfi1  19541  sylow1lem1  19544  sylow1lem3  19546  sylow1lem4  19547  sylow1lem5  19548  pgpfi  19551  gexexlem  19798  ablfac1lem  20016  ablfac1b  20018  ablfac1eu  20021  aalioulem2  26314  aalioulem5  26317  aaliou3lem9  26331  isppw2  27098  sgmppw  27181  fsumvma2  27198  pclogsum  27199  chpchtsum  27203  logfacubnd  27205  bposlem1  27268  bposlem5  27272  gausslemma2d  27358  lgseisen  27363  chebbnd1lem1  27453  rpvmasumlem  27471  dchrisum0flblem1  27492  dchrisum0flblem2  27493  ostth2lem2  27618  ostth2lem3  27619  2exple2exp  32943  fldext2rspun  33866  oddpwdc  34538  eulerpartlemgh  34562  aks4d1p3  42477  aks4d1p7d1  42481  aks4d1p8d2  42484  aks6d1c1  42515  aks6d1c2p1  42517  aks6d1c2p2  42518  aks6d1c7  42583  aks5  42603  dvdsexpnn  42732  fltdvdsabdvdsc  43025  fltaccoprm  43027  fltbccoprm  43028  fltne  43031  flt4lem6  43045  flt4lem7  43046  nna4b4nsq  43047  3cubeslem3r  43073  3cubes  43076  jm3.1lem3  43405  inductionexd  44540  stoweidlem25  46412  stoweidlem45  46432  wallispi2lem1  46458  ovnsubaddlem1  46957  ovolval5lem2  47040  fmtnoodd  47922  fmtnof1  47924  fmtnosqrt  47928  fmtnorec4  47938  odz2prm2pw  47952  fmtnoprmfac1lem  47953  fmtnoprmfac1  47954  fmtnoprmfac2lem1  47955  fmtnoprmfac2  47956  2pwp1prm  47978  lighneallem1  47994  proththdlem  48002  proththd  48003  pw2m1lepw2m1  48909  nnpw2even  48918  logbpw2m1  48956  nnpw2pmod  48972  nnpw2p  48975  nnolog2flm1  48979  dignn0flhalflem1  49004  itcovalt2lem2  49065