Theorem nnexpcld 14268

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14097	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  bitsp1  16455  bitsfzolem  16458  bitsfzo  16459  bitsmod  16460  bitsfi  16461  bitscmp  16462  bitsinv1lem  16465  bitsinv1  16466  2ebits  16471  bitsinvp1  16473  sadcaddlem  16481  sadadd3  16485  sadaddlem  16490  sadasslem  16494  bitsres  16497  bitsuz  16498  bitsshft  16499  smumullem  16516  smumul  16517  rplpwr  16582  rprpwr  16583  rppwr  16584  expgcd  16587  nn0expgcd  16588  numdenexp  16784  pclem  16863  pcprendvds2  16866  pcpre1  16867  pcpremul  16868  pcdvdsb  16894  pcidlem  16897  pcid  16898  pcdvdstr  16901  pcgcd1  16902  pcprmpw2  16907  pcaddlem  16913  pcadd  16914  pcfaclem  16923  pcfac  16924  pcbc  16925  oddprmdvds  16928  prmpwdvds  16929  pockthlem  16930  2expltfac  17117  pgpfi1  19581  sylow1lem1  19584  sylow1lem3  19586  sylow1lem4  19587  sylow1lem5  19588  pgpfi  19591  gexexlem  19838  ablfac1lem  20056  ablfac1b  20058  ablfac1eu  20061  aalioulem2  26298  aalioulem5  26301  aaliou3lem9  26315  isppw2  27082  sgmppw  27165  fsumvma2  27182  pclogsum  27183  chpchtsum  27187  logfacubnd  27189  bposlem1  27252  bposlem5  27256  gausslemma2d  27342  lgseisen  27347  chebbnd1lem1  27437  rpvmasumlem  27455  dchrisum0flblem1  27476  dchrisum0flblem2  27477  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  2exple2exp  32829  fldext2rspun  33728  oddpwdc  34391  eulerpartlemgh  34415  aks4d1p3  42096  aks4d1p7d1  42100  aks4d1p8d2  42103  aks6d1c1  42134  aks6d1c2p1  42136  aks6d1c2p2  42137  aks6d1c7  42202  aks5  42222  dvdsexpnn  42351  fltdvdsabdvdsc  42636  fltaccoprm  42638  fltbccoprm  42639  fltne  42642  flt4lem6  42656  flt4lem7  42657  nna4b4nsq  42658  3cubeslem3r  42685  3cubes  42688  jm3.1lem3  43018  inductionexd  44154  stoweidlem25  46034  stoweidlem45  46054  wallispi2lem1  46080  ovnsubaddlem1  46579  ovolval5lem2  46662  fmtnoodd  47527  fmtnof1  47529  fmtnosqrt  47533  fmtnorec4  47543  odz2prm2pw  47557  fmtnoprmfac1lem  47558  fmtnoprmfac1  47559  fmtnoprmfac2lem1  47560  fmtnoprmfac2  47561  2pwp1prm  47583  lighneallem1  47599  proththdlem  47607  proththd  47608  pw2m1lepw2m1  48476  nnpw2even  48489  logbpw2m1  48527  nnpw2pmod  48543  nnpw2p  48546  nnolog2flm1  48550  dignn0flhalflem1  48575  itcovalt2lem2  48636