Theorem nnexpcld 14208

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14040	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  bitsp1  16372  bitsfzolem  16375  bitsfzo  16376  bitsmod  16377  bitsfi  16378  bitscmp  16379  bitsinv1lem  16382  bitsinv1  16383  2ebits  16388  bitsinvp1  16390  sadcaddlem  16398  sadadd3  16402  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  bitsres  16414  bitsuz  16415  bitsshft  16416  smumullem  16433  smumul  16434  rplpwr  16499  rprpwr  16500  rppwr  16501  pclem  16771  pcprendvds2  16774  pcpre1  16775  pcpremul  16776  pcdvdsb  16802  pcidlem  16805  pcid  16806  pcdvdstr  16809  pcgcd1  16810  pcprmpw2  16815  pcaddlem  16821  pcadd  16822  pcfaclem  16831  pcfac  16832  pcbc  16833  oddprmdvds  16836  prmpwdvds  16837  pockthlem  16838  2expltfac  17026  pgpfi1  19463  sylow1lem1  19466  sylow1lem3  19468  sylow1lem4  19469  sylow1lem5  19470  pgpfi  19473  gexexlem  19720  ablfac1lem  19938  ablfac1b  19940  ablfac1eu  19943  aalioulem2  25846  aalioulem5  25849  aaliou3lem9  25863  isppw2  26619  sgmppw  26700  fsumvma2  26717  pclogsum  26718  chpchtsum  26722  logfacubnd  26724  bposlem1  26787  bposlem5  26791  gausslemma2d  26877  lgseisen  26882  chebbnd1lem1  26972  rpvmasumlem  26990  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0flblem2  27012  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  oddpwdc  33353  eulerpartlemgh  33377  aks4d1p3  40943  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p8d2  40950  aks6d1c2p1  40956  aks6d1c2p2  40957  expgcd  41225  nn0expgcd  41226  numdenexp  41228  dvdsexpnn  41231  fltdvdsabdvdsc  41380  fltaccoprm  41382  fltbccoprm  41383  fltne  41386  flt4lem6  41400  flt4lem7  41401  nna4b4nsq  41402  3cubeslem3r  41425  3cubes  41428  jm3.1lem3  41758  inductionexd  42906  stoweidlem25  44741  stoweidlem45  44761  wallispi2lem1  44787  ovnsubaddlem1  45286  ovolval5lem2  45369  fmtnoodd  46201  fmtnof1  46203  fmtnosqrt  46207  fmtnorec4  46217  odz2prm2pw  46231  fmtnoprmfac1lem  46232  fmtnoprmfac1  46233  fmtnoprmfac2lem1  46234  fmtnoprmfac2  46235  2pwp1prm  46257  lighneallem1  46273  proththdlem  46281  proththd  46282  pw2m1lepw2m1  47201  nnpw2even  47215  logbpw2m1  47253  nnpw2pmod  47269  nnpw2p  47272  nnolog2flm1  47276  dignn0flhalflem1  47301  itcovalt2lem2  47362