Theorem nnexpcld 14198

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  bitsp1  16391  bitsfzolem  16394  bitsfzo  16395  bitsmod  16396  bitsfi  16397  bitscmp  16398  bitsinv1lem  16401  bitsinv1  16402  2ebits  16407  bitsinvp1  16409  sadcaddlem  16417  sadadd3  16421  sadaddlem  16426  sadasslem  16430  bitsres  16433  bitsuz  16434  bitsshft  16435  smumullem  16452  smumul  16453  rplpwr  16518  rprpwr  16519  rppwr  16520  expgcd  16523  nn0expgcd  16524  numdenexp  16721  pclem  16800  pcprendvds2  16803  pcpre1  16804  pcpremul  16805  pcdvdsb  16831  pcidlem  16834  pcid  16835  pcdvdstr  16838  pcgcd1  16839  pcprmpw2  16844  pcaddlem  16850  pcadd  16851  pcfaclem  16860  pcfac  16861  pcbc  16862  oddprmdvds  16865  prmpwdvds  16866  pockthlem  16867  2expltfac  17054  pgpfi1  19561  sylow1lem1  19564  sylow1lem3  19566  sylow1lem4  19567  sylow1lem5  19568  pgpfi  19571  gexexlem  19818  ablfac1lem  20036  ablfac1b  20038  ablfac1eu  20041  aalioulem2  26317  aalioulem5  26320  aaliou3lem9  26334  isppw2  27096  sgmppw  27178  fsumvma2  27195  pclogsum  27196  chpchtsum  27200  logfacubnd  27202  bposlem1  27265  bposlem5  27269  gausslemma2d  27355  lgseisen  27360  chebbnd1lem1  27450  rpvmasumlem  27468  dchrisum0flblem1  27489  dchrisum0flblem2  27490  ostth2lem2  27615  ostth2lem3  27616  2exple2exp  32937  fldext2rspun  33866  oddpwdc  34538  eulerpartlemgh  34562  aks4d1p3  42563  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p8d2  42570  aks6d1c1  42601  aks6d1c2p1  42603  aks6d1c2p2  42604  aks6d1c7  42669  aks5  42689  dvdsexpnn  42810  fltdvdsabdvdsc  43088  fltaccoprm  43090  fltbccoprm  43091  fltne  43094  flt4lem6  43108  flt4lem7  43109  nna4b4nsq  43110  3cubeslem3r  43136  3cubes  43139  jm3.1lem3  43464  inductionexd  44599  stoweidlem25  46468  stoweidlem45  46488  wallispi2lem1  46514  ovnsubaddlem1  47013  ovolval5lem2  47096  fmtnoodd  48011  fmtnof1  48013  fmtnosqrt  48017  fmtnorec4  48027  odz2prm2pw  48041  fmtnoprmfac1lem  48042  fmtnoprmfac1  48043  fmtnoprmfac2lem1  48044  fmtnoprmfac2  48045  2pwp1prm  48067  lighneallem1  48083  proththdlem  48091  proththd  48092  pw2m1lepw2m1  49011  nnpw2even  49020  logbpw2m1  49058  nnpw2pmod  49074  nnpw2p  49077  nnolog2flm1  49081  dignn0flhalflem1  49106  itcovalt2lem2  49167