Theorem nnexpcld 14382

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  bitsp1  16594  bitsfzolem  16597  bitsfzo  16598  bitsmod  16599  bitsfi  16600  bitscmp  16601  bitsinv1lem  16604  bitsinv1  16605  2ebits  16610  bitsinvp1  16612  sadcaddlem  16620  sadadd3  16624  sadaddlem  16629  sadasslem  16633  bitsres  16636  bitsuz  16637  bitsshft  16638  smumullem  16655  smumul  16656  rplpwr  16725  rprpwr  16726  rppwr  16727  expgcd  16730  nn0expgcd  16731  dvdsexpnn  16733  numdenexp  16930  pclem  17009  pcprendvds2  17012  pcpre1  17013  pcpremul  17014  pcdvdsb  17040  pcidlem  17043  pcid  17044  pcdvdstr  17047  pcgcd1  17048  pcprmpw2  17053  pcaddlem  17059  pcadd  17060  pcfaclem  17069  pcfac  17070  pcbc  17071  oddprmdvds  17074  prmpwdvds  17075  pockthlem  17076  2expltfac  17263  pgpfi1  19802  sylow1lem1  19805  sylow1lem3  19807  sylow1lem4  19808  sylow1lem5  19809  pgpfi  19812  gexexlem  20059  ablfac1lem  20277  ablfac1b  20279  ablfac1eu  20282  aalioulem2  26653  aalioulem5  26656  aaliou3lem9  26670  isppw2  27435  sgmppw  27517  fsumvma2  27534  pclogsum  27535  chpchtsum  27539  logfacubnd  27541  bposlem1  27604  bposlem5  27608  gausslemma2d  27694  lgseisen  27699  chebbnd1lem1  27789  rpvmasumlem  27807  dchrisum0flblem1  27828  dchrisum0flblem2  27829  ostth2lem2  27954  ostth2lem3  27955  fltdvdsabdvdsc  27963  fltaccoprm  27965  fltbccoprm  27966  fltne  27968  flt4lem6  27981  flt4lem7  27982  nna4b4nsq  27983  flt4ALT  27985  fltoprm  27988  2exple2exp  33418  fldext2rspun  34307  oddpwdc  34979  eulerpartlemgh  35003  aks4d1p3  43108  aks4d1p7d1  43112  aks4d1p8d2  43115  aks6d1c1  43146  aks6d1c2p1  43148  aks6d1c2p2  43149  aks6d1c7  43214  aks5  43234  3cubeslem3r  43677  3cubes  43680  jm3.1lem3  44005  inductionexd  45140  stoweidlem25  47004  stoweidlem45  47024  wallispi2lem1  47050  ovnsubaddlem1  47549  ovolval5lem2  47632  fmtnoodd  48587  fmtnof1  48589  fmtnosqrt  48593  fmtnorec4  48603  odz2prm2pw  48617  fmtnoprmfac1lem  48618  fmtnoprmfac1  48619  fmtnoprmfac2lem1  48620  fmtnoprmfac2  48621  2pwp1prm  48643  lighneallem1  48659  proththdlem  48667  proththd  48668  pw2m1lepw2m1  49601  nnpw2even  49610  logbpw2m1  49648  nnpw2pmod  49664  nnpw2p  49667  nnolog2flm1  49671  dignn0flhalflem1  49696  itcovalt2lem2  49757