Theorem nnexpcld 14168

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  bitsp1  16358  bitsfzolem  16361  bitsfzo  16362  bitsmod  16363  bitsfi  16364  bitscmp  16365  bitsinv1lem  16368  bitsinv1  16369  2ebits  16374  bitsinvp1  16376  sadcaddlem  16384  sadadd3  16388  sadaddlem  16393  sadasslem  16397  bitsres  16400  bitsuz  16401  bitsshft  16402  smumullem  16419  smumul  16420  rplpwr  16485  rprpwr  16486  rppwr  16487  expgcd  16490  nn0expgcd  16491  numdenexp  16687  pclem  16766  pcprendvds2  16769  pcpre1  16770  pcpremul  16771  pcdvdsb  16797  pcidlem  16800  pcid  16801  pcdvdstr  16804  pcgcd1  16805  pcprmpw2  16810  pcaddlem  16816  pcadd  16817  pcfaclem  16826  pcfac  16827  pcbc  16828  oddprmdvds  16831  prmpwdvds  16832  pockthlem  16833  2expltfac  17020  pgpfi1  19524  sylow1lem1  19527  sylow1lem3  19529  sylow1lem4  19530  sylow1lem5  19531  pgpfi  19534  gexexlem  19781  ablfac1lem  19999  ablfac1b  20001  ablfac1eu  20004  aalioulem2  26297  aalioulem5  26300  aaliou3lem9  26314  isppw2  27081  sgmppw  27164  fsumvma2  27181  pclogsum  27182  chpchtsum  27186  logfacubnd  27188  bposlem1  27251  bposlem5  27255  gausslemma2d  27341  lgseisen  27346  chebbnd1lem1  27436  rpvmasumlem  27454  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0flblem2  27476  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  2exple2exp  32926  fldext2rspun  33839  oddpwdc  34511  eulerpartlemgh  34535  aks4d1p3  42332  aks4d1p7d1  42336  aks4d1p8d2  42339  aks6d1c1  42370  aks6d1c2p1  42372  aks6d1c2p2  42373  aks6d1c7  42438  aks5  42458  dvdsexpnn  42588  fltdvdsabdvdsc  42881  fltaccoprm  42883  fltbccoprm  42884  fltne  42887  flt4lem6  42901  flt4lem7  42902  nna4b4nsq  42903  3cubeslem3r  42929  3cubes  42932  jm3.1lem3  43261  inductionexd  44396  stoweidlem25  46269  stoweidlem45  46289  wallispi2lem1  46315  ovnsubaddlem1  46814  ovolval5lem2  46897  fmtnoodd  47779  fmtnof1  47781  fmtnosqrt  47785  fmtnorec4  47795  odz2prm2pw  47809  fmtnoprmfac1lem  47810  fmtnoprmfac1  47811  fmtnoprmfac2lem1  47812  fmtnoprmfac2  47813  2pwp1prm  47835  lighneallem1  47851  proththdlem  47859  proththd  47860  pw2m1lepw2m1  48766  nnpw2even  48775  logbpw2m1  48813  nnpw2pmod  48829  nnpw2p  48832  nnolog2flm1  48836  dignn0flhalflem1  48861  itcovalt2lem2  48922