Theorem nnexpcld 14299

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ↑cexp 14115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-seq 14056  df-exp 14116

This theorem is used by:  bitsp1  16511  bitsfzolem  16514  bitsfzo  16515  bitsmod  16516  bitsfi  16517  bitscmp  16518  bitsinv1lem  16521  bitsinv1  16522  2ebits  16527  bitsinvp1  16529  sadcaddlem  16537  sadadd3  16541  sadaddlem  16546  sadasslem  16550  bitsres  16553  bitsuz  16554  bitsshft  16555  smumullem  16572  smumul  16573  rplpwr  16638  rprpwr  16639  rppwr  16640  expgcd  16643  nn0expgcd  16644  numdenexp  16841  pclem  16920  pcprendvds2  16923  pcpre1  16924  pcpremul  16925  pcdvdsb  16951  pcidlem  16954  pcid  16955  pcdvdstr  16958  pcgcd1  16959  pcprmpw2  16964  pcaddlem  16970  pcadd  16971  pcfaclem  16980  pcfac  16981  pcbc  16982  oddprmdvds  16985  prmpwdvds  16986  pockthlem  16987  2expltfac  17174  pgpfi1  19709  sylow1lem1  19712  sylow1lem3  19714  sylow1lem4  19715  sylow1lem5  19716  pgpfi  19719  gexexlem  19966  ablfac1lem  20184  ablfac1b  20186  ablfac1eu  20189  aalioulem2  26547  aalioulem5  26550  aaliou3lem9  26564  isppw2  27330  sgmppw  27412  fsumvma2  27429  pclogsum  27430  chpchtsum  27434  logfacubnd  27436  bposlem1  27499  bposlem5  27503  gausslemma2d  27589  lgseisen  27594  chebbnd1lem1  27684  rpvmasumlem  27702  dchrisum0flblem1  27723  dchrisum0flblem2  27724  ostth2lem2  27849  ostth2lem3  27850  2exple2exp  33248  fldext2rspun  34136  oddpwdc  34809  eulerpartlemgh  34833  aks4d1p3  42903  aks4d1p7d1  42907  aks4d1p8d2  42910  aks6d1c1  42941  aks6d1c2p1  42943  aks6d1c2p2  42944  aks6d1c7  43009  aks5  43029  dvdsexpnn  43152  fltdvdsabdvdsc  43428  fltaccoprm  43430  fltbccoprm  43431  fltne  43434  flt4lem6  43448  flt4lem7  43449  nna4b4nsq  43450  3cubeslem3r  43476  3cubes  43479  jm3.1lem3  43804  inductionexd  44939  stoweidlem25  46797  stoweidlem45  46817  wallispi2lem1  46843  ovnsubaddlem1  47342  ovolval5lem2  47425  fmtnoodd  48343  fmtnof1  48345  fmtnosqrt  48349  fmtnorec4  48359  odz2prm2pw  48373  fmtnoprmfac1lem  48374  fmtnoprmfac1  48375  fmtnoprmfac2lem1  48376  fmtnoprmfac2  48377  2pwp1prm  48399  lighneallem1  48415  proththdlem  48423  proththd  48424  pw2m1lepw2m1  49357  nnpw2even  49366  logbpw2m1  49404  nnpw2pmod  49420  nnpw2p  49423  nnolog2flm1  49427  dignn0flhalflem1  49452  itcovalt2lem2  49513