MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcld 13247
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nnexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 13090 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 575 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  (class class class)co 6868  cn 11299  0cn0 11553  cexp 13077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-seq 13019  df-exp 13078
This theorem is referenced by:  bitsp1  15366  bitsfzolem  15369  bitsfzo  15370  bitsmod  15371  bitsfi  15372  bitscmp  15373  bitsinv1lem  15376  bitsinv1  15377  2ebits  15382  bitsinvp1  15384  sadcaddlem  15392  sadadd3  15396  sadaddlem  15401  sadasslem  15405  bitsres  15408  bitsuz  15409  bitsshft  15410  smumullem  15427  smumul  15428  rplpwr  15489  rppwr  15490  pclem  15754  pcprendvds2  15757  pcpre1  15758  pcpremul  15759  pcdvdsb  15784  pcidlem  15787  pcid  15788  pcdvdstr  15791  pcgcd1  15792  pcprmpw2  15797  pcaddlem  15803  pcadd  15804  pcfaclem  15813  pcfac  15814  pcbc  15815  oddprmdvds  15818  prmpwdvds  15819  pockthlem  15820  2expltfac  16005  pgpfi1  18205  sylow1lem1  18208  sylow1lem3  18210  sylow1lem4  18211  sylow1lem5  18212  pgpfi  18215  gexexlem  18450  ablfac1lem  18663  ablfac1b  18665  ablfac1eu  18668  aalioulem2  24296  aalioulem5  24299  aaliou3lem9  24313  isppw2  25049  sgmppw  25130  fsumvma2  25147  pclogsum  25148  chpchtsum  25152  logfacubnd  25154  bposlem1  25217  bposlem5  25221  gausslemma2d  25307  lgseisen  25312  chebbnd1lem1  25366  rpvmasumlem  25384  dchrisum0flblem1  25405  dchrisum0flblem2  25406  ostth2lem2  25531  ostth2lem3  25532  oddpwdc  30735  eulerpartlemgh  30759  jm3.1lem3  38081  inductionexd  38947  stoweidlem25  40715  stoweidlem45  40735  wallispi2lem1  40761  ovnsubaddlem1  41260  ovolval5lem2  41343  fmtnoodd  42014  fmtnof1  42016  fmtnosqrt  42020  fmtnorec4  42030  odz2prm2pw  42044  fmtnoprmfac1lem  42045  fmtnoprmfac1  42046  fmtnoprmfac2lem1  42047  fmtnoprmfac2  42048  2pwp1prm  42072  lighneallem1  42091  proththdlem  42099  proththd  42100  pw2m1lepw2m1  42872  nnpw2even  42885  logbpw2m1  42923  nnpw2pmod  42939  nnpw2p  42942  nnolog2flm1  42946  dignn0flhalflem1  42971
  Copyright terms: Public domain W3C validator