Theorem nnexpcld 14166

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by:  bitsp1  16356  bitsfzolem  16359  bitsfzo  16360  bitsmod  16361  bitsfi  16362  bitscmp  16363  bitsinv1lem  16366  bitsinv1  16367  2ebits  16372  bitsinvp1  16374  sadcaddlem  16382  sadadd3  16386  sadaddlem  16391  sadasslem  16395  bitsres  16398  bitsuz  16399  bitsshft  16400  smumullem  16417  smumul  16418  rplpwr  16483  rprpwr  16484  rppwr  16485  expgcd  16488  nn0expgcd  16489  numdenexp  16685  pclem  16764  pcprendvds2  16767  pcpre1  16768  pcpremul  16769  pcdvdsb  16795  pcidlem  16798  pcid  16799  pcdvdstr  16802  pcgcd1  16803  pcprmpw2  16808  pcaddlem  16814  pcadd  16815  pcfaclem  16824  pcfac  16825  pcbc  16826  oddprmdvds  16829  prmpwdvds  16830  pockthlem  16831  2expltfac  17018  pgpfi1  19522  sylow1lem1  19525  sylow1lem3  19527  sylow1lem4  19528  sylow1lem5  19529  pgpfi  19532  gexexlem  19779  ablfac1lem  19997  ablfac1b  19999  ablfac1eu  20002  aalioulem2  26295  aalioulem5  26298  aaliou3lem9  26312  isppw2  27079  sgmppw  27162  fsumvma2  27179  pclogsum  27180  chpchtsum  27184  logfacubnd  27186  bposlem1  27249  bposlem5  27253  gausslemma2d  27339  lgseisen  27344  chebbnd1lem1  27434  rpvmasumlem  27452  dchrisum0flblem1  27473  dchrisum0flblem2  27474  ostth2lem2  27599  ostth2lem3  27600  2exple2exp  32875  fldext2rspun  33788  oddpwdc  34460  eulerpartlemgh  34484  aks4d1p3  42271  aks4d1p7d1  42275  aks4d1p8d2  42278  aks6d1c1  42309  aks6d1c2p1  42311  aks6d1c2p2  42312  aks6d1c7  42377  aks5  42397  dvdsexpnn  42530  fltdvdsabdvdsc  42823  fltaccoprm  42825  fltbccoprm  42826  fltne  42829  flt4lem6  42843  flt4lem7  42844  nna4b4nsq  42845  3cubeslem3r  42871  3cubes  42874  jm3.1lem3  43203  inductionexd  44338  stoweidlem25  46211  stoweidlem45  46231  wallispi2lem1  46257  ovnsubaddlem1  46756  ovolval5lem2  46839  fmtnoodd  47721  fmtnof1  47723  fmtnosqrt  47727  fmtnorec4  47737  odz2prm2pw  47751  fmtnoprmfac1lem  47752  fmtnoprmfac1  47753  fmtnoprmfac2lem1  47754  fmtnoprmfac2  47755  2pwp1prm  47777  lighneallem1  47793  proththdlem  47801  proththd  47802  pw2m1lepw2m1  48708  nnpw2even  48717  logbpw2m1  48755  nnpw2pmod  48771  nnpw2p  48774  nnolog2flm1  48778  dignn0flhalflem1  48803  itcovalt2lem2  48864