Theorem nnexpcld 13602

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13438	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  bitsp1  15770  bitsfzolem  15773  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  bitsfi  15776  bitscmp  15777  bitsinv1lem  15780  bitsinv1  15781  2ebits  15786  bitsinvp1  15788  sadcaddlem  15796  sadadd3  15800  sadaddlem  15805  sadasslem  15809  bitsres  15812  bitsuz  15813  bitsshft  15814  smumullem  15831  smumul  15832  rplpwr  15897  rppwr  15898  pclem  16165  pcprendvds2  16168  pcpre1  16169  pcpremul  16170  pcdvdsb  16195  pcidlem  16198  pcid  16199  pcdvdstr  16202  pcgcd1  16203  pcprmpw2  16208  pcaddlem  16214  pcadd  16215  pcfaclem  16224  pcfac  16225  pcbc  16226  oddprmdvds  16229  prmpwdvds  16230  pockthlem  16231  2expltfac  16418  pgpfi1  18712  sylow1lem1  18715  sylow1lem3  18717  sylow1lem4  18718  sylow1lem5  18719  pgpfi  18722  gexexlem  18965  ablfac1lem  19183  ablfac1b  19185  ablfac1eu  19188  aalioulem2  24929  aalioulem5  24932  aaliou3lem9  24946  isppw2  25700  sgmppw  25781  fsumvma2  25798  pclogsum  25799  chpchtsum  25803  logfacubnd  25805  bposlem1  25868  bposlem5  25872  gausslemma2d  25958  lgseisen  25963  chebbnd1lem1  26053  rpvmasumlem  26071  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0flblem2  26093  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  oddpwdc  31722  eulerpartlemgh  31746  expgcd  39491  nn0expgcd  39492  numdenexp  39494  3cubeslem3r  39628  3cubes  39631  jm3.1lem3  39960  inductionexd  40858  stoweidlem25  42667  stoweidlem45  42687  wallispi2lem1  42713  ovnsubaddlem1  43209  ovolval5lem2  43292  fmtnoodd  44050  fmtnof1  44052  fmtnosqrt  44056  fmtnorec4  44066  odz2prm2pw  44080  fmtnoprmfac1lem  44081  fmtnoprmfac1  44082  fmtnoprmfac2lem1  44083  fmtnoprmfac2  44084  2pwp1prm  44106  lighneallem1  44123  proththdlem  44131  proththd  44132  pw2m1lepw2m1  44929  nnpw2even  44943  logbpw2m1  44981  nnpw2pmod  44997  nnpw2p  45000  nnolog2flm1  45004  dignn0flhalflem1  45029  itcovalt2lem2  45090