Theorem nnexpcld 14430

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  bitsp1  16645  bitsfzolem  16648  bitsfzo  16649  bitsmod  16650  bitsfi  16651  bitscmp  16652  bitsinv1lem  16655  bitsinv1  16656  2ebits  16661  bitsinvp1  16663  sadcaddlem  16671  sadadd3  16675  sadaddlem  16680  sadasslem  16684  bitsres  16687  bitsuz  16688  bitsshft  16689  smumullem  16706  smumul  16707  rplpwr  16776  rprpwr  16777  rppwr  16778  expgcd  16781  nn0expgcd  16782  dvdsexpnn  16784  numdenexp  16981  pclem  17060  pcprendvds2  17063  pcpre1  17064  pcpremul  17065  pcdvdsb  17091  pcidlem  17094  pcid  17095  pcdvdstr  17098  pcgcd1  17099  pcprmpw2  17104  pcaddlem  17110  pcadd  17111  pcfaclem  17120  pcfac  17121  pcbc  17122  oddprmdvds  17125  prmpwdvds  17126  pockthlem  17127  2expltfac  17314  pgpfi1  19860  sylow1lem1  19863  sylow1lem3  19865  sylow1lem4  19866  sylow1lem5  19867  pgpfi  19870  gexexlem  20117  ablfac1lem  20335  ablfac1b  20337  ablfac1eu  20340  aalioulem2  26717  aalioulem5  26720  aaliou3lem9  26734  isppw2  27499  sgmppw  27581  fsumvma2  27598  pclogsum  27599  chpchtsum  27603  logfacubnd  27605  bposlem1  27668  bposlem5  27672  gausslemma2d  27758  lgseisen  27763  chebbnd1lem1  27853  rpvmasumlem  27871  dchrisum0flblem1  27892  dchrisum0flblem2  27893  ostth2lem2  28018  ostth2lem3  28019  fltdvdsabdvdsc  28027  fltaccoprm  28029  fltbccoprm  28030  fltne  28032  flt4lem6  28045  flt4lem7  28046  nna4b4nsq  28047  flt4ALT  28049  fltoprm  28052  2exple2exp  33521  fldext2rspun  34425  oddpwdc  35097  eulerpartlemgh  35121  aks4d1p3  43394  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p8d2  43401  aks6d1c1  43432  aks6d1c2p1  43434  aks6d1c2p2  43435  aks6d1c7  43500  aks5  43520  3cubeslem3r  43963  3cubes  43966  jm3.1lem3  44292  inductionexd  45416  stoweidlem25  47308  stoweidlem45  47328  wallispi2lem1  47354  ovnsubaddlem1  47853  ovolval5lem2  47936  fmtnoodd  48891  fmtnof1  48893  fmtnosqrt  48897  fmtnorec4  48907  odz2prm2pw  48921  fmtnoprmfac1lem  48922  fmtnoprmfac1  48923  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtnoprmfac2  48925  2pwp1prm  48947  lighneallem1  48963  proththdlem  48971  proththd  48972  pw2m1lepw2m1  49963  nnpw2even  49972  logbpw2m1  50010  nnpw2pmod  50026  nnpw2p  50029  nnolog2flm1  50033  dignn0flhalflem1  50058  itcovalt2lem2  50119