MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcld 13611
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nnexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 13447 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  (class class class)co 7149  cn 11634  0cn0 11894  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-exp 13435
This theorem is referenced by:  bitsp1  15778  bitsfzolem  15781  bitsfzo  15782  bitsmod  15783  bitsfi  15784  bitscmp  15785  bitsinv1lem  15788  bitsinv1  15789  2ebits  15794  bitsinvp1  15796  sadcaddlem  15804  sadadd3  15808  sadaddlem  15813  sadasslem  15817  bitsres  15820  bitsuz  15821  bitsshft  15822  smumullem  15839  smumul  15840  rplpwr  15905  rppwr  15906  pclem  16173  pcprendvds2  16176  pcpre1  16177  pcpremul  16178  pcdvdsb  16203  pcidlem  16206  pcid  16207  pcdvdstr  16210  pcgcd1  16211  pcprmpw2  16216  pcaddlem  16222  pcadd  16223  pcfaclem  16232  pcfac  16233  pcbc  16234  oddprmdvds  16237  prmpwdvds  16238  pockthlem  16239  2expltfac  16426  pgpfi1  18720  sylow1lem1  18723  sylow1lem3  18725  sylow1lem4  18726  sylow1lem5  18727  pgpfi  18730  gexexlem  18972  ablfac1lem  19190  ablfac1b  19192  ablfac1eu  19195  aalioulem2  24932  aalioulem5  24935  aaliou3lem9  24949  isppw2  25703  sgmppw  25784  fsumvma2  25801  pclogsum  25802  chpchtsum  25806  logfacubnd  25808  bposlem1  25871  bposlem5  25875  gausslemma2d  25961  lgseisen  25966  chebbnd1lem1  26056  rpvmasumlem  26074  dchrisum0flblem1  26095  dchrisum0flblem2  26096  ostth2lem2  26221  ostth2lem3  26222  oddpwdc  31669  eulerpartlemgh  31693  expgcd  39421  nn0expgcd  39422  numdenexp  39424  3cubeslem3r  39544  3cubes  39547  jm3.1lem3  39876  inductionexd  40777  stoweidlem25  42593  stoweidlem45  42613  wallispi2lem1  42639  ovnsubaddlem1  43135  ovolval5lem2  43218  fmtnoodd  43976  fmtnof1  43978  fmtnosqrt  43982  fmtnorec4  43992  odz2prm2pw  44006  fmtnoprmfac1lem  44007  fmtnoprmfac1  44008  fmtnoprmfac2lem1  44009  fmtnoprmfac2  44010  2pwp1prm  44032  lighneallem1  44049  proththdlem  44057  proththd  44058  pw2m1lepw2m1  44855  nnpw2even  44869  logbpw2m1  44907  nnpw2pmod  44923  nnpw2p  44926  nnolog2flm1  44930  dignn0flhalflem1  44955  itcovalt2lem2  45016
  Copyright terms: Public domain W3C validator