Theorem nnexpcld 14280

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  bitsp1  16488  bitsfzolem  16491  bitsfzo  16492  bitsmod  16493  bitsfi  16494  bitscmp  16495  bitsinv1lem  16498  bitsinv1  16499  2ebits  16504  bitsinvp1  16506  sadcaddlem  16514  sadadd3  16518  sadaddlem  16523  sadasslem  16527  bitsres  16530  bitsuz  16531  bitsshft  16532  smumullem  16549  smumul  16550  rplpwr  16615  rprpwr  16616  rppwr  16617  expgcd  16620  nn0expgcd  16621  numdenexp  16818  pclem  16897  pcprendvds2  16900  pcpre1  16901  pcpremul  16902  pcdvdsb  16928  pcidlem  16931  pcid  16932  pcdvdstr  16935  pcgcd1  16936  pcprmpw2  16941  pcaddlem  16947  pcadd  16948  pcfaclem  16957  pcfac  16958  pcbc  16959  oddprmdvds  16962  prmpwdvds  16963  pockthlem  16964  2expltfac  17151  pgpfi1  19664  sylow1lem1  19667  sylow1lem3  19669  sylow1lem4  19670  sylow1lem5  19671  pgpfi  19674  gexexlem  19921  ablfac1lem  20139  ablfac1b  20141  ablfac1eu  20144  aalioulem2  26462  aalioulem5  26465  aaliou3lem9  26479  isppw2  27244  sgmppw  27326  fsumvma2  27343  pclogsum  27344  chpchtsum  27348  logfacubnd  27350  bposlem1  27413  bposlem5  27417  gausslemma2d  27503  lgseisen  27508  chebbnd1lem1  27598  rpvmasumlem  27616  dchrisum0flblem1  27637  dchrisum0flblem2  27638  ostth2lem2  27763  ostth2lem3  27764  2exple2exp  33118  fldext2rspun  34016  oddpwdc  34688  eulerpartlemgh  34712  aks4d1p3  42734  aks4d1p7d1  42738  aks4d1p8d2  42741  aks6d1c1  42772  aks6d1c2p1  42774  aks6d1c2p2  42775  aks6d1c7  42840  aks5  42860  dvdsexpnn  42983  fltdvdsabdvdsc  43261  fltaccoprm  43263  fltbccoprm  43264  fltne  43267  flt4lem6  43281  flt4lem7  43282  nna4b4nsq  43283  3cubeslem3r  43309  3cubes  43312  jm3.1lem3  43637  inductionexd  44772  stoweidlem25  46630  stoweidlem45  46650  wallispi2lem1  46676  ovnsubaddlem1  47175  ovolval5lem2  47258  fmtnoodd  48173  fmtnof1  48175  fmtnosqrt  48179  fmtnorec4  48189  odz2prm2pw  48203  fmtnoprmfac1lem  48204  fmtnoprmfac1  48205  fmtnoprmfac2lem1  48206  fmtnoprmfac2  48207  2pwp1prm  48229  lighneallem1  48245  proththdlem  48253  proththd  48254  pw2m1lepw2m1  49184  nnpw2even  49193  logbpw2m1  49231  nnpw2pmod  49247  nnpw2p  49250  nnolog2flm1  49254  dignn0flhalflem1  49279  itcovalt2lem2  49340