Theorem nnexpcld 14212

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  bitsp1  16376  bitsfzolem  16379  bitsfzo  16380  bitsmod  16381  bitsfi  16382  bitscmp  16383  bitsinv1lem  16386  bitsinv1  16387  2ebits  16392  bitsinvp1  16394  sadcaddlem  16402  sadadd3  16406  sadaddlem  16411  sadasslem  16415  bitsres  16418  bitsuz  16419  bitsshft  16420  smumullem  16437  smumul  16438  rplpwr  16503  rprpwr  16504  rppwr  16505  pclem  16775  pcprendvds2  16778  pcpre1  16779  pcpremul  16780  pcdvdsb  16806  pcidlem  16809  pcid  16810  pcdvdstr  16813  pcgcd1  16814  pcprmpw2  16819  pcaddlem  16825  pcadd  16826  pcfaclem  16835  pcfac  16836  pcbc  16837  oddprmdvds  16840  prmpwdvds  16841  pockthlem  16842  2expltfac  17030  pgpfi1  19504  sylow1lem1  19507  sylow1lem3  19509  sylow1lem4  19510  sylow1lem5  19511  pgpfi  19514  gexexlem  19761  ablfac1lem  19979  ablfac1b  19981  ablfac1eu  19984  aalioulem2  26082  aalioulem5  26085  aaliou3lem9  26099  isppw2  26855  sgmppw  26936  fsumvma2  26953  pclogsum  26954  chpchtsum  26958  logfacubnd  26960  bposlem1  27023  bposlem5  27027  gausslemma2d  27113  lgseisen  27118  chebbnd1lem1  27208  rpvmasumlem  27226  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0flblem2  27248  ostth2lem2  27373  ostth2lem3  27374  oddpwdc  33651  eulerpartlemgh  33675  aks4d1p3  41249  aks4d1p7d1  41253  aks4d1p8d2  41256  aks6d1c2p1  41262  aks6d1c2p2  41263  expgcd  41527  nn0expgcd  41528  numdenexp  41530  dvdsexpnn  41533  fltdvdsabdvdsc  41682  fltaccoprm  41684  fltbccoprm  41685  fltne  41688  flt4lem6  41702  flt4lem7  41703  nna4b4nsq  41704  3cubeslem3r  41727  3cubes  41730  jm3.1lem3  42060  inductionexd  43208  stoweidlem25  45039  stoweidlem45  45059  wallispi2lem1  45085  ovnsubaddlem1  45584  ovolval5lem2  45667  fmtnoodd  46499  fmtnof1  46501  fmtnosqrt  46505  fmtnorec4  46515  odz2prm2pw  46529  fmtnoprmfac1lem  46530  fmtnoprmfac1  46531  fmtnoprmfac2lem1  46532  fmtnoprmfac2  46533  2pwp1prm  46555  lighneallem1  46571  proththdlem  46579  proththd  46580  pw2m1lepw2m1  47288  nnpw2even  47302  logbpw2m1  47340  nnpw2pmod  47356  nnpw2p  47359  nnolog2flm1  47363  dignn0flhalflem1  47388  itcovalt2lem2  47449