Theorem nnexpcld 14294

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  bitsp1  16477  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  bitsfi  16483  bitscmp  16484  bitsinv1lem  16487  bitsinv1  16488  2ebits  16493  bitsinvp1  16495  sadcaddlem  16503  sadadd3  16507  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  bitsres  16519  bitsuz  16520  bitsshft  16521  smumullem  16538  smumul  16539  rplpwr  16605  rprpwr  16606  rppwr  16607  expgcd  16610  nn0expgcd  16611  numdenexp  16807  pclem  16885  pcprendvds2  16888  pcpre1  16889  pcpremul  16890  pcdvdsb  16916  pcidlem  16919  pcid  16920  pcdvdstr  16923  pcgcd1  16924  pcprmpw2  16929  pcaddlem  16935  pcadd  16936  pcfaclem  16945  pcfac  16946  pcbc  16947  oddprmdvds  16950  prmpwdvds  16951  pockthlem  16952  2expltfac  17140  pgpfi1  19637  sylow1lem1  19640  sylow1lem3  19642  sylow1lem4  19643  sylow1lem5  19644  pgpfi  19647  gexexlem  19894  ablfac1lem  20112  ablfac1b  20114  ablfac1eu  20117  aalioulem2  26393  aalioulem5  26396  aaliou3lem9  26410  isppw2  27176  sgmppw  27259  fsumvma2  27276  pclogsum  27277  chpchtsum  27281  logfacubnd  27283  bposlem1  27346  bposlem5  27350  gausslemma2d  27436  lgseisen  27441  chebbnd1lem1  27531  rpvmasumlem  27549  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0flblem2  27571  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  oddpwdc  34319  eulerpartlemgh  34343  aks4d1p3  42035  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p8d2  42042  aks6d1c1  42073  aks6d1c2p1  42075  aks6d1c2p2  42076  aks6d1c7  42141  aks5  42161  dvdsexpnn  42320  fltdvdsabdvdsc  42593  fltaccoprm  42595  fltbccoprm  42596  fltne  42599  flt4lem6  42613  flt4lem7  42614  nna4b4nsq  42615  3cubeslem3r  42643  3cubes  42646  jm3.1lem3  42976  inductionexd  44117  stoweidlem25  45946  stoweidlem45  45966  wallispi2lem1  45992  ovnsubaddlem1  46491  ovolval5lem2  46574  fmtnoodd  47407  fmtnof1  47409  fmtnosqrt  47413  fmtnorec4  47423  odz2prm2pw  47437  fmtnoprmfac1lem  47438  fmtnoprmfac1  47439  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtnoprmfac2  47441  2pwp1prm  47463  lighneallem1  47479  proththdlem  47487  proththd  47488  pw2m1lepw2m1  48249  nnpw2even  48263  logbpw2m1  48301  nnpw2pmod  48317  nnpw2p  48320  nnolog2flm1  48324  dignn0flhalflem1  48349  itcovalt2lem2  48410