Theorem nnexpcld 14396

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212

This theorem is used by:  bitsp1  16610  bitsfzolem  16613  bitsfzo  16614  bitsmod  16615  bitsfi  16616  bitscmp  16617  bitsinv1lem  16620  bitsinv1  16621  2ebits  16626  bitsinvp1  16628  sadcaddlem  16636  sadadd3  16640  sadaddlem  16645  sadasslem  16649  bitsres  16652  bitsuz  16653  bitsshft  16654  smumullem  16671  smumul  16672  rplpwr  16741  rprpwr  16742  rppwr  16743  expgcd  16746  nn0expgcd  16747  dvdsexpnn  16749  numdenexp  16946  pclem  17025  pcprendvds2  17028  pcpre1  17029  pcpremul  17030  pcdvdsb  17056  pcidlem  17059  pcid  17060  pcdvdstr  17063  pcgcd1  17064  pcprmpw2  17069  pcaddlem  17075  pcadd  17076  pcfaclem  17085  pcfac  17086  pcbc  17087  oddprmdvds  17090  prmpwdvds  17091  pockthlem  17092  2expltfac  17279  pgpfi1  19818  sylow1lem1  19821  sylow1lem3  19823  sylow1lem4  19824  sylow1lem5  19825  pgpfi  19828  gexexlem  20075  ablfac1lem  20293  ablfac1b  20295  ablfac1eu  20298  aalioulem2  26669  aalioulem5  26672  aaliou3lem9  26686  isppw2  27451  sgmppw  27533  fsumvma2  27550  pclogsum  27551  chpchtsum  27555  logfacubnd  27557  bposlem1  27620  bposlem5  27624  gausslemma2d  27710  lgseisen  27715  chebbnd1lem1  27805  rpvmasumlem  27823  dchrisum0flblem1  27844  dchrisum0flblem2  27845  ostth2lem2  27970  ostth2lem3  27971  fltdvdsabdvdsc  27979  fltaccoprm  27981  fltbccoprm  27982  fltne  27984  flt4lem6  27997  flt4lem7  27998  nna4b4nsq  27999  flt4ALT  28001  fltoprm  28004  2exple2exp  33475  fldext2rspun  34364  oddpwdc  35036  eulerpartlemgh  35060  aks4d1p3  43237  aks4d1p7d1  43241  aks4d1p8d2  43244  aks6d1c1  43275  aks6d1c2p1  43277  aks6d1c2p2  43278  aks6d1c7  43343  aks5  43363  3cubeslem3r  43806  3cubes  43809  jm3.1lem3  44135  inductionexd  45264  stoweidlem25  47143  stoweidlem45  47163  wallispi2lem1  47189  ovnsubaddlem1  47688  ovolval5lem2  47771  fmtnoodd  48726  fmtnof1  48728  fmtnosqrt  48732  fmtnorec4  48742  odz2prm2pw  48756  fmtnoprmfac1lem  48757  fmtnoprmfac1  48758  fmtnoprmfac2lem1  48759  fmtnoprmfac2  48760  2pwp1prm  48782  lighneallem1  48798  proththdlem  48806  proththd  48807  pw2m1lepw2m1  49740  nnpw2even  49749  logbpw2m1  49787  nnpw2pmod  49803  nnpw2p  49806  nnolog2flm1  49810  dignn0flhalflem1  49835  itcovalt2lem2  49896