MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcld 14061
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nnexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld
StepHypRef Expression
1 nnexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 13896 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7337  cn 12074  0cn0 12334  cexp 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884
This theorem is referenced by:  bitsp1  16237  bitsfzolem  16240  bitsfzo  16241  bitsmod  16242  bitsfi  16243  bitscmp  16244  bitsinv1lem  16247  bitsinv1  16248  2ebits  16253  bitsinvp1  16255  sadcaddlem  16263  sadadd3  16267  sadaddlem  16272  sadasslem  16276  bitsres  16279  bitsuz  16280  bitsshft  16281  smumullem  16298  smumul  16299  rplpwr  16364  rprpwr  16365  rppwr  16366  pclem  16636  pcprendvds2  16639  pcpre1  16640  pcpremul  16641  pcdvdsb  16667  pcidlem  16670  pcid  16671  pcdvdstr  16674  pcgcd1  16675  pcprmpw2  16680  pcaddlem  16686  pcadd  16687  pcfaclem  16696  pcfac  16697  pcbc  16698  oddprmdvds  16701  prmpwdvds  16702  pockthlem  16703  2expltfac  16891  pgpfi1  19296  sylow1lem1  19299  sylow1lem3  19301  sylow1lem4  19302  sylow1lem5  19303  pgpfi  19306  gexexlem  19548  ablfac1lem  19766  ablfac1b  19768  ablfac1eu  19771  aalioulem2  25599  aalioulem5  25602  aaliou3lem9  25616  isppw2  26370  sgmppw  26451  fsumvma2  26468  pclogsum  26469  chpchtsum  26473  logfacubnd  26475  bposlem1  26538  bposlem5  26542  gausslemma2d  26628  lgseisen  26633  chebbnd1lem1  26723  rpvmasumlem  26741  dchrisum0flblem1  26762  dchrisum0flblem2  26763  ostth2lem2  26888  ostth2lem3  26889  oddpwdc  32621  eulerpartlemgh  32645  aks4d1p3  40340  aks4d1p7d1  40344  aks4d1p8d2  40347  aks6d1c2p1  40353  aks6d1c2p2  40354  expgcd  40594  nn0expgcd  40595  numdenexp  40597  dvdsexpnn  40600  fltdvdsabdvdsc  40737  fltaccoprm  40739  fltbccoprm  40740  fltne  40743  flt4lem6  40757  flt4lem7  40758  nna4b4nsq  40759  3cubeslem3r  40771  3cubes  40774  jm3.1lem3  41104  inductionexd  42086  stoweidlem25  43902  stoweidlem45  43922  wallispi2lem1  43948  ovnsubaddlem1  44445  ovolval5lem2  44528  fmtnoodd  45336  fmtnof1  45338  fmtnosqrt  45342  fmtnorec4  45352  odz2prm2pw  45366  fmtnoprmfac1lem  45367  fmtnoprmfac1  45368  fmtnoprmfac2lem1  45369  fmtnoprmfac2  45370  2pwp1prm  45392  lighneallem1  45408  proththdlem  45416  proththd  45417  pw2m1lepw2m1  46212  nnpw2even  46226  logbpw2m1  46264  nnpw2pmod  46280  nnpw2p  46283  nnolog2flm1  46287  dignn0flhalflem1  46312  itcovalt2lem2  46373
  Copyright terms: Public domain W3C validator