Theorem nnexpcld 14210

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  bitsp1  16401  bitsfzolem  16404  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  bitsfi  16407  bitscmp  16408  bitsinv1lem  16411  bitsinv1  16412  2ebits  16417  bitsinvp1  16419  sadcaddlem  16427  sadadd3  16431  sadaddlem  16436  sadasslem  16440  bitsres  16443  bitsuz  16444  bitsshft  16445  smumullem  16462  smumul  16463  rplpwr  16528  rprpwr  16529  rppwr  16530  expgcd  16533  nn0expgcd  16534  numdenexp  16730  pclem  16809  pcprendvds2  16812  pcpre1  16813  pcpremul  16814  pcdvdsb  16840  pcidlem  16843  pcid  16844  pcdvdstr  16847  pcgcd1  16848  pcprmpw2  16853  pcaddlem  16859  pcadd  16860  pcfaclem  16869  pcfac  16870  pcbc  16871  oddprmdvds  16874  prmpwdvds  16875  pockthlem  16876  2expltfac  17063  pgpfi1  19525  sylow1lem1  19528  sylow1lem3  19530  sylow1lem4  19531  sylow1lem5  19532  pgpfi  19535  gexexlem  19782  ablfac1lem  20000  ablfac1b  20002  ablfac1eu  20005  aalioulem2  26241  aalioulem5  26244  aaliou3lem9  26258  isppw2  27025  sgmppw  27108  fsumvma2  27125  pclogsum  27126  chpchtsum  27130  logfacubnd  27132  bposlem1  27195  bposlem5  27199  gausslemma2d  27285  lgseisen  27290  chebbnd1lem1  27380  rpvmasumlem  27398  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0flblem2  27420  ostth2lem2  27545  ostth2lem3  27546  2exple2exp  32770  fldext2rspun  33677  oddpwdc  34345  eulerpartlemgh  34369  aks4d1p3  42066  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p8d2  42073  aks6d1c1  42104  aks6d1c2p1  42106  aks6d1c2p2  42107  aks6d1c7  42172  aks5  42192  dvdsexpnn  42321  fltdvdsabdvdsc  42626  fltaccoprm  42628  fltbccoprm  42629  fltne  42632  flt4lem6  42646  flt4lem7  42647  nna4b4nsq  42648  3cubeslem3r  42675  3cubes  42678  jm3.1lem3  43008  inductionexd  44144  stoweidlem25  46023  stoweidlem45  46043  wallispi2lem1  46069  ovnsubaddlem1  46568  ovolval5lem2  46651  fmtnoodd  47534  fmtnof1  47536  fmtnosqrt  47540  fmtnorec4  47550  odz2prm2pw  47564  fmtnoprmfac1lem  47565  fmtnoprmfac1  47566  fmtnoprmfac2lem1  47567  fmtnoprmfac2  47568  2pwp1prm  47590  lighneallem1  47606  proththdlem  47614  proththd  47615  pw2m1lepw2m1  48509  nnpw2even  48518  logbpw2m1  48556  nnpw2pmod  48572  nnpw2p  48575  nnolog2flm1  48579  dignn0flhalflem1  48604  itcovalt2lem2  48665