Theorem nnexpcld 14152

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  bitsp1  16342  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitsfi  16348  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  bitsinv1  16353  2ebits  16358  bitsinvp1  16360  sadcaddlem  16368  sadadd3  16372  sadaddlem  16377  sadasslem  16381  bitsres  16384  bitsuz  16385  bitsshft  16386  smumullem  16403  smumul  16404  rplpwr  16469  rprpwr  16470  rppwr  16471  expgcd  16474  nn0expgcd  16475  numdenexp  16671  pclem  16750  pcprendvds2  16753  pcpre1  16754  pcpremul  16755  pcdvdsb  16781  pcidlem  16784  pcid  16785  pcdvdstr  16788  pcgcd1  16789  pcprmpw2  16794  pcaddlem  16800  pcadd  16801  pcfaclem  16810  pcfac  16811  pcbc  16812  oddprmdvds  16815  prmpwdvds  16816  pockthlem  16817  2expltfac  17004  pgpfi1  19507  sylow1lem1  19510  sylow1lem3  19512  sylow1lem4  19513  sylow1lem5  19514  pgpfi  19517  gexexlem  19764  ablfac1lem  19982  ablfac1b  19984  ablfac1eu  19987  aalioulem2  26268  aalioulem5  26271  aaliou3lem9  26285  isppw2  27052  sgmppw  27135  fsumvma2  27152  pclogsum  27153  chpchtsum  27157  logfacubnd  27159  bposlem1  27222  bposlem5  27226  gausslemma2d  27312  lgseisen  27317  chebbnd1lem1  27407  rpvmasumlem  27425  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0flblem2  27447  ostth2lem2  27572  ostth2lem3  27573  2exple2exp  32828  fldext2rspun  33695  oddpwdc  34367  eulerpartlemgh  34391  aks4d1p3  42119  aks4d1p7d1  42123  aks4d1p8d2  42126  aks6d1c1  42157  aks6d1c2p1  42159  aks6d1c2p2  42160  aks6d1c7  42225  aks5  42245  dvdsexpnn  42374  fltdvdsabdvdsc  42679  fltaccoprm  42681  fltbccoprm  42682  fltne  42685  flt4lem6  42699  flt4lem7  42700  nna4b4nsq  42701  3cubeslem3r  42728  3cubes  42731  jm3.1lem3  43060  inductionexd  44196  stoweidlem25  46071  stoweidlem45  46091  wallispi2lem1  46117  ovnsubaddlem1  46616  ovolval5lem2  46699  fmtnoodd  47572  fmtnof1  47574  fmtnosqrt  47578  fmtnorec4  47588  odz2prm2pw  47602  fmtnoprmfac1lem  47603  fmtnoprmfac1  47604  fmtnoprmfac2lem1  47605  fmtnoprmfac2  47606  2pwp1prm  47628  lighneallem1  47644  proththdlem  47652  proththd  47653  pw2m1lepw2m1  48560  nnpw2even  48569  logbpw2m1  48607  nnpw2pmod  48623  nnpw2p  48626  nnolog2flm1  48630  dignn0flhalflem1  48655  itcovalt2lem2  48716