Theorem nnexpcld 14201

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14030	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ↑cexp 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-exp 14018

This theorem is referenced by:  bitsp1  16394  bitsfzolem  16397  bitsfzo  16398  bitsmod  16399  bitsfi  16400  bitscmp  16401  bitsinv1lem  16404  bitsinv1  16405  2ebits  16410  bitsinvp1  16412  sadcaddlem  16420  sadadd3  16424  sadaddlem  16429  sadasslem  16433  bitsres  16436  bitsuz  16437  bitsshft  16438  smumullem  16455  smumul  16456  rplpwr  16521  rprpwr  16522  rppwr  16523  expgcd  16526  nn0expgcd  16527  numdenexp  16724  pclem  16803  pcprendvds2  16806  pcpre1  16807  pcpremul  16808  pcdvdsb  16834  pcidlem  16837  pcid  16838  pcdvdstr  16841  pcgcd1  16842  pcprmpw2  16847  pcaddlem  16853  pcadd  16854  pcfaclem  16863  pcfac  16864  pcbc  16865  oddprmdvds  16868  prmpwdvds  16869  pockthlem  16870  2expltfac  17057  pgpfi1  19564  sylow1lem1  19567  sylow1lem3  19569  sylow1lem4  19570  sylow1lem5  19571  pgpfi  19574  gexexlem  19821  ablfac1lem  20039  ablfac1b  20041  ablfac1eu  20044  aalioulem2  26313  aalioulem5  26316  aaliou3lem9  26330  isppw2  27095  sgmppw  27177  fsumvma2  27194  pclogsum  27195  chpchtsum  27199  logfacubnd  27201  bposlem1  27264  bposlem5  27268  gausslemma2d  27354  lgseisen  27359  chebbnd1lem1  27449  rpvmasumlem  27467  dchrisum0flblem1  27488  dchrisum0flblem2  27489  ostth2lem2  27614  ostth2lem3  27615  2exple2exp  32936  fldext2rspun  33845  oddpwdc  34517  eulerpartlemgh  34541  aks4d1p3  42534  aks4d1p7d1  42538  aks4d1p8d2  42541  aks6d1c1  42572  aks6d1c2p1  42574  aks6d1c2p2  42575  aks6d1c7  42640  aks5  42660  dvdsexpnn  42782  fltdvdsabdvdsc  43088  fltaccoprm  43090  fltbccoprm  43091  fltne  43094  flt4lem6  43108  flt4lem7  43109  nna4b4nsq  43110  3cubeslem3r  43136  3cubes  43139  jm3.1lem3  43468  inductionexd  44603  stoweidlem25  46474  stoweidlem45  46494  wallispi2lem1  46520  ovnsubaddlem1  47019  ovolval5lem2  47102  fmtnoodd  48011  fmtnof1  48013  fmtnosqrt  48017  fmtnorec4  48027  odz2prm2pw  48041  fmtnoprmfac1lem  48042  fmtnoprmfac1  48043  fmtnoprmfac2lem1  48044  fmtnoprmfac2  48045  2pwp1prm  48067  lighneallem1  48083  proththdlem  48091  proththd  48092  pw2m1lepw2m1  49011  nnpw2even  49020  logbpw2m1  49058  nnpw2pmod  49074  nnpw2p  49077  nnolog2flm1  49081  dignn0flhalflem1  49106  itcovalt2lem2  49167