Theorem nnexpcld 14186

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  bitsp1  16377  bitsfzolem  16380  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  bitsfi  16383  bitscmp  16384  bitsinv1lem  16387  bitsinv1  16388  2ebits  16393  bitsinvp1  16395  sadcaddlem  16403  sadadd3  16407  sadaddlem  16412  sadasslem  16416  bitsres  16419  bitsuz  16420  bitsshft  16421  smumullem  16438  smumul  16439  rplpwr  16504  rprpwr  16505  rppwr  16506  expgcd  16509  nn0expgcd  16510  numdenexp  16706  pclem  16785  pcprendvds2  16788  pcpre1  16789  pcpremul  16790  pcdvdsb  16816  pcidlem  16819  pcid  16820  pcdvdstr  16823  pcgcd1  16824  pcprmpw2  16829  pcaddlem  16835  pcadd  16836  pcfaclem  16845  pcfac  16846  pcbc  16847  oddprmdvds  16850  prmpwdvds  16851  pockthlem  16852  2expltfac  17039  pgpfi1  19501  sylow1lem1  19504  sylow1lem3  19506  sylow1lem4  19507  sylow1lem5  19508  pgpfi  19511  gexexlem  19758  ablfac1lem  19976  ablfac1b  19978  ablfac1eu  19981  aalioulem2  26217  aalioulem5  26220  aaliou3lem9  26234  isppw2  27001  sgmppw  27084  fsumvma2  27101  pclogsum  27102  chpchtsum  27106  logfacubnd  27108  bposlem1  27171  bposlem5  27175  gausslemma2d  27261  lgseisen  27266  chebbnd1lem1  27356  rpvmasumlem  27374  dchrisum0flblem1  27395  dchrisum0flblem2  27396  ostth2lem2  27521  ostth2lem3  27522  2exple2exp  32743  fldext2rspun  33650  oddpwdc  34318  eulerpartlemgh  34342  aks4d1p3  42039  aks4d1p7d1  42043  aks4d1p8d2  42046  aks6d1c1  42077  aks6d1c2p1  42079  aks6d1c2p2  42080  aks6d1c7  42145  aks5  42165  dvdsexpnn  42294  fltdvdsabdvdsc  42599  fltaccoprm  42601  fltbccoprm  42602  fltne  42605  flt4lem6  42619  flt4lem7  42620  nna4b4nsq  42621  3cubeslem3r  42648  3cubes  42651  jm3.1lem3  42981  inductionexd  44117  stoweidlem25  45996  stoweidlem45  46016  wallispi2lem1  46042  ovnsubaddlem1  46541  ovolval5lem2  46624  fmtnoodd  47507  fmtnof1  47509  fmtnosqrt  47513  fmtnorec4  47523  odz2prm2pw  47537  fmtnoprmfac1lem  47538  fmtnoprmfac1  47539  fmtnoprmfac2lem1  47540  fmtnoprmfac2  47541  2pwp1prm  47563  lighneallem1  47579  proththdlem  47587  proththd  47588  pw2m1lepw2m1  48482  nnpw2even  48491  logbpw2m1  48529  nnpw2pmod  48545  nnpw2p  48548  nnolog2flm1  48552  dignn0flhalflem1  48577  itcovalt2lem2  48638