Theorem nnexpcld 14309

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  bitsp1  16521  bitsfzolem  16524  bitsfzo  16525  bitsmod  16526  bitsfi  16527  bitscmp  16528  bitsinv1lem  16531  bitsinv1  16532  2ebits  16537  bitsinvp1  16539  sadcaddlem  16547  sadadd3  16551  sadaddlem  16556  sadasslem  16560  bitsres  16563  bitsuz  16564  bitsshft  16565  smumullem  16582  smumul  16583  rplpwr  16648  rprpwr  16649  rppwr  16650  expgcd  16653  nn0expgcd  16654  numdenexp  16851  pclem  16930  pcprendvds2  16933  pcpre1  16934  pcpremul  16935  pcdvdsb  16961  pcidlem  16964  pcid  16965  pcdvdstr  16968  pcgcd1  16969  pcprmpw2  16974  pcaddlem  16980  pcadd  16981  pcfaclem  16990  pcfac  16991  pcbc  16992  oddprmdvds  16995  prmpwdvds  16996  pockthlem  16997  2expltfac  17184  pgpfi1  19722  sylow1lem1  19725  sylow1lem3  19727  sylow1lem4  19728  sylow1lem5  19729  pgpfi  19732  gexexlem  19979  ablfac1lem  20197  ablfac1b  20199  ablfac1eu  20202  aalioulem2  26569  aalioulem5  26572  aaliou3lem9  26586  isppw2  27351  sgmppw  27433  fsumvma2  27450  pclogsum  27451  chpchtsum  27455  logfacubnd  27457  bposlem1  27520  bposlem5  27524  gausslemma2d  27610  lgseisen  27615  chebbnd1lem1  27705  rpvmasumlem  27723  dchrisum0flblem1  27744  dchrisum0flblem2  27745  ostth2lem2  27870  ostth2lem3  27871  2exple2exp  33304  fldext2rspun  34192  oddpwdc  34865  eulerpartlemgh  34889  aks4d1p3  42944  aks4d1p7d1  42948  aks4d1p8d2  42951  aks6d1c1  42982  aks6d1c2p1  42984  aks6d1c2p2  42985  aks6d1c7  43050  aks5  43070  dvdsexpnn  43208  fltdvdsabdvdsc  43484  fltaccoprm  43486  fltbccoprm  43487  fltne  43490  flt4lem6  43504  flt4lem7  43505  nna4b4nsq  43506  3cubeslem3r  43532  3cubes  43535  jm3.1lem3  43860  inductionexd  44995  stoweidlem25  46853  stoweidlem45  46873  wallispi2lem1  46899  ovnsubaddlem1  47398  ovolval5lem2  47481  fmtnoodd  48436  fmtnof1  48438  fmtnosqrt  48442  fmtnorec4  48452  odz2prm2pw  48466  fmtnoprmfac1lem  48467  fmtnoprmfac1  48468  fmtnoprmfac2lem1  48469  fmtnoprmfac2  48470  2pwp1prm  48492  lighneallem1  48508  proththdlem  48516  proththd  48517  pw2m1lepw2m1  49450  nnpw2even  49459  logbpw2m1  49497  nnpw2pmod  49513  nnpw2p  49516  nnolog2flm1  49520  dignn0flhalflem1  49545  itcovalt2lem2  49606