Theorem nnexpcld 14180

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14009	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  bitsp1  16370  bitsfzolem  16373  bitsfzo  16374  bitsmod  16375  bitsfi  16376  bitscmp  16377  bitsinv1lem  16380  bitsinv1  16381  2ebits  16386  bitsinvp1  16388  sadcaddlem  16396  sadadd3  16400  sadaddlem  16405  sadasslem  16409  bitsres  16412  bitsuz  16413  bitsshft  16414  smumullem  16431  smumul  16432  rplpwr  16497  rprpwr  16498  rppwr  16499  expgcd  16502  nn0expgcd  16503  numdenexp  16699  pclem  16778  pcprendvds2  16781  pcpre1  16782  pcpremul  16783  pcdvdsb  16809  pcidlem  16812  pcid  16813  pcdvdstr  16816  pcgcd1  16817  pcprmpw2  16822  pcaddlem  16828  pcadd  16829  pcfaclem  16838  pcfac  16839  pcbc  16840  oddprmdvds  16843  prmpwdvds  16844  pockthlem  16845  2expltfac  17032  pgpfi1  19536  sylow1lem1  19539  sylow1lem3  19541  sylow1lem4  19542  sylow1lem5  19543  pgpfi  19546  gexexlem  19793  ablfac1lem  20011  ablfac1b  20013  ablfac1eu  20016  aalioulem2  26309  aalioulem5  26312  aaliou3lem9  26326  isppw2  27093  sgmppw  27176  fsumvma2  27193  pclogsum  27194  chpchtsum  27198  logfacubnd  27200  bposlem1  27263  bposlem5  27267  gausslemma2d  27353  lgseisen  27358  chebbnd1lem1  27448  rpvmasumlem  27466  dchrisum0flblem1  27487  dchrisum0flblem2  27488  ostth2lem2  27613  ostth2lem3  27614  2exple2exp  32937  fldext2rspun  33860  oddpwdc  34532  eulerpartlemgh  34556  aks4d1p3  42448  aks4d1p7d1  42452  aks4d1p8d2  42455  aks6d1c1  42486  aks6d1c2p1  42488  aks6d1c2p2  42489  aks6d1c7  42554  aks5  42574  dvdsexpnn  42703  fltdvdsabdvdsc  42996  fltaccoprm  42998  fltbccoprm  42999  fltne  43002  flt4lem6  43016  flt4lem7  43017  nna4b4nsq  43018  3cubeslem3r  43044  3cubes  43047  jm3.1lem3  43376  inductionexd  44511  stoweidlem25  46383  stoweidlem45  46403  wallispi2lem1  46429  ovnsubaddlem1  46928  ovolval5lem2  47011  fmtnoodd  47893  fmtnof1  47895  fmtnosqrt  47899  fmtnorec4  47909  odz2prm2pw  47923  fmtnoprmfac1lem  47924  fmtnoprmfac1  47925  fmtnoprmfac2lem1  47926  fmtnoprmfac2  47927  2pwp1prm  47949  lighneallem1  47965  proththdlem  47973  proththd  47974  pw2m1lepw2m1  48880  nnpw2even  48889  logbpw2m1  48927  nnpw2pmod  48943  nnpw2p  48946  nnolog2flm1  48950  dignn0flhalflem1  48975  itcovalt2lem2  49036