Theorem nnexpcld 13941

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ↑cexp 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-seq 13703  df-exp 13764

This theorem is referenced by:  bitsp1  16119  bitsfzolem  16122  bitsfzo  16123  bitsmod  16124  bitsfi  16125  bitscmp  16126  bitsinv1lem  16129  bitsinv1  16130  2ebits  16135  bitsinvp1  16137  sadcaddlem  16145  sadadd3  16149  sadaddlem  16154  sadasslem  16158  bitsres  16161  bitsuz  16162  bitsshft  16163  smumullem  16180  smumul  16181  rplpwr  16248  rprpwr  16249  rppwr  16250  pclem  16520  pcprendvds2  16523  pcpre1  16524  pcpremul  16525  pcdvdsb  16551  pcidlem  16554  pcid  16555  pcdvdstr  16558  pcgcd1  16559  pcprmpw2  16564  pcaddlem  16570  pcadd  16571  pcfaclem  16580  pcfac  16581  pcbc  16582  oddprmdvds  16585  prmpwdvds  16586  pockthlem  16587  2expltfac  16775  pgpfi1  19181  sylow1lem1  19184  sylow1lem3  19186  sylow1lem4  19187  sylow1lem5  19188  pgpfi  19191  gexexlem  19434  ablfac1lem  19652  ablfac1b  19654  ablfac1eu  19657  aalioulem2  25474  aalioulem5  25477  aaliou3lem9  25491  isppw2  26245  sgmppw  26326  fsumvma2  26343  pclogsum  26344  chpchtsum  26348  logfacubnd  26350  bposlem1  26413  bposlem5  26417  gausslemma2d  26503  lgseisen  26508  chebbnd1lem1  26598  rpvmasumlem  26616  dchrisum0flblem1  26637  dchrisum0flblem2  26638  ostth2lem2  26763  ostth2lem3  26764  oddpwdc  32300  eulerpartlemgh  32324  aks4d1p3  40066  aks4d1p7d1  40070  aks4d1p8d2  40073  expgcd  40314  nn0expgcd  40315  numdenexp  40317  dvdsexpnn  40320  fltdvdsabdvdsc  40455  fltaccoprm  40457  fltbccoprm  40458  fltne  40461  flt4lem6  40475  flt4lem7  40476  nna4b4nsq  40477  3cubeslem3r  40489  3cubes  40492  jm3.1lem3  40821  inductionexd  41718  stoweidlem25  43520  stoweidlem45  43540  wallispi2lem1  43566  ovnsubaddlem1  44062  ovolval5lem2  44145  fmtnoodd  44937  fmtnof1  44939  fmtnosqrt  44943  fmtnorec4  44953  odz2prm2pw  44967  fmtnoprmfac1lem  44968  fmtnoprmfac1  44969  fmtnoprmfac2lem1  44970  fmtnoprmfac2  44971  2pwp1prm  44993  lighneallem1  45009  proththdlem  45017  proththd  45018  pw2m1lepw2m1  45813  nnpw2even  45827  logbpw2m1  45865  nnpw2pmod  45881  nnpw2p  45884  nnolog2flm1  45888  dignn0flhalflem1  45913  itcovalt2lem2  45974