Theorem nnexpcld 13427

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13263	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6982  ℕcn 11445  ℕ₀cn0 11713  ↑cexp 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-seq 13191  df-exp 13251

This theorem is referenced by:  bitsp1  15646  bitsfzolem  15649  bitsfzo  15650  bitsmod  15651  bitsfi  15652  bitscmp  15653  bitsinv1lem  15656  bitsinv1  15657  2ebits  15662  bitsinvp1  15664  sadcaddlem  15672  sadadd3  15676  sadaddlem  15681  sadasslem  15685  bitsres  15688  bitsuz  15689  bitsshft  15690  smumullem  15707  smumul  15708  rplpwr  15769  rppwr  15770  pclem  16037  pcprendvds2  16040  pcpre1  16041  pcpremul  16042  pcdvdsb  16067  pcidlem  16070  pcid  16071  pcdvdstr  16074  pcgcd1  16075  pcprmpw2  16080  pcaddlem  16086  pcadd  16087  pcfaclem  16096  pcfac  16097  pcbc  16098  oddprmdvds  16101  prmpwdvds  16102  pockthlem  16103  2expltfac  16288  pgpfi1  18493  sylow1lem1  18496  sylow1lem3  18498  sylow1lem4  18499  sylow1lem5  18500  pgpfi  18503  gexexlem  18740  ablfac1lem  18952  ablfac1b  18954  ablfac1eu  18957  aalioulem2  24640  aalioulem5  24643  aaliou3lem9  24657  isppw2  25409  sgmppw  25490  fsumvma2  25507  pclogsum  25508  chpchtsum  25512  logfacubnd  25514  bposlem1  25577  bposlem5  25581  gausslemma2d  25667  lgseisen  25672  chebbnd1lem1  25762  rpvmasumlem  25780  dchrisum0flblem1  25801  dchrisum0flblem2  25802  ostth2lem2  25927  ostth2lem3  25928  oddpwdc  31289  eulerpartlemgh  31313  expgcd  38656  nn0expgcd  38657  numdenexp  38659  jm3.1lem3  39053  inductionexd  39909  stoweidlem25  41776  stoweidlem45  41796  wallispi2lem1  41822  ovnsubaddlem1  42318  ovolval5lem2  42401  fmtnoodd  43098  fmtnof1  43100  fmtnosqrt  43104  fmtnorec4  43114  odz2prm2pw  43128  fmtnoprmfac1lem  43129  fmtnoprmfac1  43130  fmtnoprmfac2lem1  43131  fmtnoprmfac2  43132  2pwp1prm  43154  lighneallem1  43173  proththdlem  43181  proththd  43182  pw2m1lepw2m1  43978  nnpw2even  43992  logbpw2m1  44030  nnpw2pmod  44046  nnpw2p  44049  nnolog2flm1  44053  dignn0flhalflem1  44078