Theorem nnexpcld 14207

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnexpcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnexpcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnexpcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnexpcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14036	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  bitsp1  16400  bitsfzolem  16403  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  bitsfi  16406  bitscmp  16407  bitsinv1lem  16410  bitsinv1  16411  2ebits  16416  bitsinvp1  16418  sadcaddlem  16426  sadadd3  16430  sadaddlem  16435  sadasslem  16439  bitsres  16442  bitsuz  16443  bitsshft  16444  smumullem  16461  smumul  16462  rplpwr  16527  rprpwr  16528  rppwr  16529  expgcd  16532  nn0expgcd  16533  numdenexp  16730  pclem  16809  pcprendvds2  16812  pcpre1  16813  pcpremul  16814  pcdvdsb  16840  pcidlem  16843  pcid  16844  pcdvdstr  16847  pcgcd1  16848  pcprmpw2  16853  pcaddlem  16859  pcadd  16860  pcfaclem  16869  pcfac  16870  pcbc  16871  oddprmdvds  16874  prmpwdvds  16875  pockthlem  16876  2expltfac  17063  pgpfi1  19570  sylow1lem1  19573  sylow1lem3  19575  sylow1lem4  19576  sylow1lem5  19577  pgpfi  19580  gexexlem  19827  ablfac1lem  20045  ablfac1b  20047  ablfac1eu  20050  aalioulem2  26299  aalioulem5  26302  aaliou3lem9  26316  isppw2  27078  sgmppw  27160  fsumvma2  27177  pclogsum  27178  chpchtsum  27182  logfacubnd  27184  bposlem1  27247  bposlem5  27251  gausslemma2d  27337  lgseisen  27342  chebbnd1lem1  27432  rpvmasumlem  27450  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  2exple2exp  32918  fldext2rspun  33826  oddpwdc  34498  eulerpartlemgh  34522  aks4d1p3  42517  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p8d2  42524  aks6d1c1  42555  aks6d1c2p1  42557  aks6d1c2p2  42558  aks6d1c7  42623  aks5  42643  dvdsexpnn  42765  fltdvdsabdvdsc  43071  fltaccoprm  43073  fltbccoprm  43074  fltne  43077  flt4lem6  43091  flt4lem7  43092  nna4b4nsq  43093  3cubeslem3r  43119  3cubes  43122  jm3.1lem3  43447  inductionexd  44582  stoweidlem25  46453  stoweidlem45  46473  wallispi2lem1  46499  ovnsubaddlem1  46998  ovolval5lem2  47081  fmtnoodd  47996  fmtnof1  47998  fmtnosqrt  48002  fmtnorec4  48012  odz2prm2pw  48026  fmtnoprmfac1lem  48027  fmtnoprmfac1  48028  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtnoprmfac2  48030  2pwp1prm  48052  lighneallem1  48068  proththdlem  48076  proththd  48077  pw2m1lepw2m1  48996  nnpw2even  49005  logbpw2m1  49043  nnpw2pmod  49059  nnpw2p  49062  nnolog2flm1  49066  dignn0flhalflem1  49091  itcovalt2lem2  49152