MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnn0ind 12603
Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
fnn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fnn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fnn0ind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fnn0ind.5 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
fnn0ind.6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fnn0ind ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 12513 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2 nn0z 12525 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 0z 12511 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
8 elnn0z 12513 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
108, 9sylbir 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11103adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12 0re 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
13 zre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
14 zre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
15 lelttr 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16 ltle 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
1815, 17syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1912, 13, 14, 18mp3an3an 1468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2019ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
22213impib 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
2322impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
24 elnn0z 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
2524anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
26 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
27263expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
288, 25, 27syl2anbr 600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
2928expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
30293impa 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3130expd 417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
3231impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃)))
3323, 32mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3433adantll 713 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
354, 5, 6, 7, 11, 34fzind 12602 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
363, 35mpanl1 699 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
3736expcom 415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
382, 37syl5 34 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
39383expa 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
401, 39sylanb 582 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
4140impcom 409 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝜏)
42413impb 1116 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cle 11191  0cn0 12414  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  16447  poimirlem28  36109
  Copyright terms: Public domain W3C validator