Theorem fnn0ind 12706

Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fnn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fnn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fnn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fnn0ind.5	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
fnn0ind.6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 12615	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12626	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0z 12613	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
8		elnn0z 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
10	8, 9	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11	10	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12		0re 11221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		zre 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
14		zre 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		lelttr 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16		ltle 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17	16	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
18	15, 17	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
19	12, 13, 14, 18	mp3an3an 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
20	19	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
21	20	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
22	21	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
23	22	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
24		elnn0z 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
25	24	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
26		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
27	26	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
28	8, 25, 27	syl2anbr 611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
29	28	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
30	29	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
31	30	expd 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))))
32	31	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃)))
33	23, 32	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
34	33	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
35	4, 5, 6, 7, 11, 34	fzind 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
36	3, 35	mpanl1 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
37	36	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
38	2, 37	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
39	38	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
40	1, 39	sylanb 593	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
41	40	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
42	41	3impb 1132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603

This theorem is used by:  nn0seqcvgd  16645  poimirlem28  38332