Theorem fnn0ind 12696

Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fnn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fnn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fnn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fnn0ind.5	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
fnn0ind.6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 12605	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0z 12603	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
8		elnn0z 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
10	8, 9	sylbir 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11	10	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12		0re 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		zre 12596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
14		zre 12596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		lelttr 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16		ltle 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17	16	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
18	15, 17	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
19	12, 13, 14, 18	mp3an3an 1496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
20	19	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
21	20	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
22	21	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
23	22	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
24		elnn0z 12605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
25	24	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
26		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
27	26	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
28	8, 25, 27	syl2anbr 610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
29	28	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
30	29	3impa 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
31	30	expd 420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))))
32	31	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃)))
33	23, 32	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
34	33	adantll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
35	4, 5, 6, 7, 11, 34	fzind 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
36	3, 35	mpanl1 712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
37	36	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
38	2, 37	syl5 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
39	38	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
40	1, 39	sylanb 592	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
41	40	impcom 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
42	41	3impb 1132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  16629  poimirlem28  38280