Theorem fnn0ind 12665

Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnn0ind.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fnn0ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fnn0ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fnn0ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fnn0ind.5	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
fnn0ind.6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fnn0ind	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0z 12575	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2		nn0z 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		0z 12573	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		fnn0ind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		fnn0ind.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
6		fnn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
7		fnn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
8		elnn0z 12575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9		fnn0ind.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜓)
10	8, 9	sylbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11	10	3adant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12		0re 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
14		zre 12566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		lelttr 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16		ltle 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17	16	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
18	15, 17	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
19	12, 13, 14, 18	mp3an3an 1465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
20	19	ex 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
21	20	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
22	21	3impib 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
23	22	impcom 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
24		elnn0z 12575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
25	24	anbi1i 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
26		fnn0ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
27	26	3expb 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
28	8, 25, 27	syl2anbr 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
29	28	expcom 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
30	29	3impa 1108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
31	30	expd 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))))
32	31	impcom 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃)))
33	23, 32	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
34	33	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
35	4, 5, 6, 7, 11, 34	fzind 12664	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
36	3, 35	mpanl1 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
37	36	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
38	2, 37	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
39	38	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
40	1, 39	sylanb 579	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝜏))
41	40	impcom 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
42	41	3impb 1113	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  16511  poimirlem28  36819