MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnn0ind 12717
Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
fnn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fnn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fnn0ind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fnn0ind.5 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
fnn0ind.6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fnn0ind ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 12626 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2 nn0z 12638 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 0z 12624 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
8 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
108, 9sylbir 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11103adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
13 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
14 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
15 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16 ltle 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
1815, 17syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1912, 13, 14, 18mp3an3an 1469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2019ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
2120com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
22213impib 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
2322impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
24 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
2524anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
26 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
27263expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
288, 25, 27syl2anbr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
2928expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
30293impa 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3130expd 415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
3231impcom 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃)))
3323, 32mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3433adantll 714 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
354, 5, 6, 7, 11, 34fzind 12716 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
363, 35mpanl1 700 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
3736expcom 413 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
382, 37syl5 34 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
39383expa 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
401, 39sylanb 581 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
4140impcom 407 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝜏)
42413impb 1115 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  16607  poimirlem28  37655
  Copyright terms: Public domain W3C validator