Theorem nn0seqcvgd 16738

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3		0nn0 12614	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ffvelcdm 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
6	1, 5	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	leidd 11875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
9		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘0))
10		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 0))
11	9, 10	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑘))
15	13, 14	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
16	15	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))))
17		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
19	17, 18	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
20	19	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
22		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑁))
23	21, 22	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
24	23	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))))
25	1, 8	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
26	7	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	subid1d 11651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
28	25, 27	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30		nn0re 12608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
31		posdif 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
32	30, 7, 31	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
34		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
36		peano2nn0 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
38	2, 36, 37	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
40	6	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
42		zsubcl 12731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
44		zltlem1 12742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
45	39, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
46		nn0cn 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		subsub4 11584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
49	47, 48	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
50	26, 46, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
51	50	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
52	45, 51	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
54	33, 35, 53	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
55	54	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
56	55	an32s 665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
57	56	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))
59	38	nn0red 12661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	2	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	43	zred 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
63		ltletr 11395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
65	64, 52	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
66	58, 65	syland 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
68	67	expdimp 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
69	57, 68	pm2.61dane 3043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
70	69	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
71	70	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
72	71	a2d 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
73	72	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
74	12, 16, 20, 24, 29, 73	fnn0ind 12791	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
75	6, 6, 8, 74	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
76	75	pm2.43i 53	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))
77	26	subidd 11650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
78	76, 77	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 0)
79	2, 6	ffvelcdmd 7083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ0)
80	79	nn0ge0d 12663	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑁))
81	79	nn0red 12661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
82		0re 11303	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		letri3 11388	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
84	81, 82, 83	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
85	78, 80, 84	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687

This theorem is used by:  algcvg  16744  nn0seqcvg  36420