Theorem nn0seqcvgd 16608

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3		0nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ffvelcdm 7100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
6	1, 5	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	leidd 11830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
9		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘0))
10		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 0))
11	9, 10	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
12	11	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑘))
15	13, 14	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
16	15	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))))
17		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
19	17, 18	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
20	19	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
22		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑁))
23	21, 22	breq12d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
24	23	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))))
25	1, 8	eqbrtrrd 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
26	7	recnd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	subid1d 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
28	25, 27	breqtrrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
31		posdif 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
32	30, 7, 31	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
34		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
36		peano2nn0 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
38	2, 36, 37	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
40	6	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
42		zsubcl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
44		zltlem1 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
45	39, 43, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
46		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		subsub4 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
49	47, 48	mp3an3 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
50	26, 46, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
51	50	breq2d 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
52	45, 51	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
54	33, 35, 53	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
55	54	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
56	55	an32s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))
59	38	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	2	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	43	zred 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
63		ltletr 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
65	64, 52	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
66	58, 65	syland 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
68	67	expdimp 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
69	57, 68	pm2.61dane 3028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
70	69	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
71	70	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
72	71	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
73	72	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
74	12, 16, 20, 24, 29, 73	fnn0ind 12719	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
75	6, 6, 8, 74	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
76	75	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))
77	26	subidd 11609	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
78	76, 77	breqtrd 5168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 0)
79	2, 6	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ0)
80	79	nn0ge0d 12592	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑁))
81	79	nn0red 12590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
82		0re 11264	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		letri3 11347	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
84	81, 82, 83	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
85	78, 80, 84	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is referenced by:  algcvg  16614  nn0seqcvg  35682