MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0seqcvgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0seqcvgd 16514
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
nn0seqcvgd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (πΉβ€˜0))
nn0seqcvgd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (πΉβ€˜0))
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
3 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
4 ffvelcdm 7077 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„•0)
52, 3, 4sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„•0)
61, 5eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
76nn0red 12537 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
87leidd 11784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
9 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜0))
10 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ 0))
119, 10breq12d 5154 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0)))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0))))
13 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
14 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
1513, 14breq12d 5154 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜))))
17 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
18 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 5154 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
2019imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
21 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘))
22 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ 𝑁))
2321, 22breq12d 5154 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁))))
251, 8eqbrtrrd 5165 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ 𝑁)
267recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2726subid1d 11564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 0) = 𝑁)
2825, 27breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0)))
30 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
31 posdif 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3230, 7, 31syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
34 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
36 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
37 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
382, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3938nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€)
406nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
42 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
4340, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
44 zltlem1 12619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1)))
4539, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1)))
46 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
47 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ β„‚
48 subsub4 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
4947, 48mp3an3 1446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5026, 46, 49syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5150breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5245, 51bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5433, 35, 533bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5554biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5655an32s 649 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5756a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜)))
5938nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
602ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
6160nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6243zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
63 ltletr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
6564, 52sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6658, 65syland 602 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6867expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6957, 68pm2.61dane 3023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
7069anasss 466 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
7170expcom 413 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
7271a2d 29 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
73723adant1 1127 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
7412, 16, 20, 24, 29, 73fnn0ind 12665 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ 𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
756, 6, 8, 74syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
7675pm2.43i 52 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁))
7726subidd 11563 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑁) = 0)
7876, 77breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 0)
792, 6ffvelcdmd 7081 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
8079nn0ge0d 12539 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))
8179nn0red 12537 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
82 0re 11220 . . 3 0 ∈ ℝ
83 letri3 11303 . . 3 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))))
8481, 82, 83sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))))
8578, 80, 84mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563
This theorem is referenced by:  algcvg  16520  nn0seqcvg  35189
  Copyright terms: Public domain W3C validator