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Theorem nn0seqcvgd 16541
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3 0nn0 12518 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
4 ffvelcdm 7091 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
52, 3, 4sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
61, 5eqeltrd 2829 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
76nn0red 12564 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87leidd 11811 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑁)
9 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘0))
10 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 0))
119, 10breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
1211imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
14 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑘))
1513, 14breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘))))
17 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
1917, 18breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
2019imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
22 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
2321, 22breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))))
251, 8eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
267recnd 11273 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726subid1d 11591 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2825, 27breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30 nn0re 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
31 posdif 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3230, 7, 31syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
34 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
36 peano2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
382, 36, 37syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
406nn0zd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
41 nn0z 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
42 zsubcl 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4340, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
44 zltlem1 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
4539, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
46 nn0cn 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
47 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
48 subsub4 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
4947, 48mp3an3 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5026, 46, 49syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5150breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5245, 51bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5433, 35, 533bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5554biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5655an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5756a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
5938nn0red 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
602ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ0)
6160nn0red 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6243zred 12697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
63 ltletr 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6564, 52sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6658, 65syland 602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6867expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6957, 68pm2.61dane 3026 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7069anasss 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7170expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
7271a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
73723adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
7412, 16, 20, 24, 29, 73fnn0ind 12692 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
756, 6, 8, 74syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
7675pm2.43i 52 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
7726subidd 11590 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
7876, 77breqtrd 5174 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 0)
792, 6ffvelcdmd 7095 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ0)
8079nn0ge0d 12566 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑁))
8179nn0red 12564 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
82 0re 11247 . . 3 0 ∈ ℝ
83 letri3 11330 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
8481, 82, 83sylancl 585 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
8578, 80, 84mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937   class class class wbr 5148  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475  0cn0 12503  cz 12589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590
This theorem is referenced by:  algcvg  16547  nn0seqcvg  35280
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