Theorem nn0seqcvgd 16530

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3		0nn0 12443	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ffvelcdm 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
6	1, 5	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	leidd 11707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
9		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘0))
10		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 0))
11	9, 10	breq12d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
12	11	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑘))
15	13, 14	breq12d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
16	15	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))))
17		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
19	17, 18	breq12d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
20	19	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
22		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑁))
23	21, 22	breq12d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
24	23	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))))
25	1, 8	eqbrtrrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
26	7	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	subid1d 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
28	25, 27	breqtrrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
31		posdif 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
32	30, 7, 31	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
34		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
36		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
38	2, 36, 37	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
40	6	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
42		zsubcl 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
44		zltlem1 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
45	39, 43, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
46		nn0cn 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		subsub4 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
49	47, 48	mp3an3 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
50	26, 46, 49	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
51	50	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
52	45, 51	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
54	33, 35, 53	3bitr2d 308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
55	54	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
56	55	an32s 658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))
59	38	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	2	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	43	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
63		ltletr 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
65	64, 52	sylibd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
66	58, 65	syland 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
68	67	expdimp 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
69	57, 68	pm2.61dane 3021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
70	69	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
71	70	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
72	71	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
73	72	3adant1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
74	12, 16, 20, 24, 29, 73	fnn0ind 12619	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
75	6, 6, 8, 74	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
76	75	pm2.43i 52	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))
77	26	subidd 11484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
78	76, 77	breqtrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 0)
79	2, 6	ffvelcdmd 7026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ0)
80	79	nn0ge0d 12492	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑁))
81	79	nn0red 12490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
82		0re 11137	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		letri3 11222	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
84	81, 82, 83	sylancl 592	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
85	78, 80, 84	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  algcvg  16536  nn0seqcvg  35904