Theorem nn0seqcvgd 16624

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3		0nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ffvelcdm 7074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
6	1, 5	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	leidd 11776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
9		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘0))
10		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 0))
11	9, 10	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
12	11	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑘))
15	13, 14	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
16	15	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))))
17		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
19	17, 18	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
20	19	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
22		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑁))
23	21, 22	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
24	23	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))))
25	1, 8	eqbrtrrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
26	7	recnd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	subid1d 11554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
28	25, 27	breqtrrd 5140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30		nn0re 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
31		posdif 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
32	30, 7, 31	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
34		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
36		peano2nn0 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
38	2, 36, 37	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
40	6	nn0zd 12612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 12611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
42		zsubcl 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
44		zltlem1 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
45	39, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
46		nn0cn 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		subsub4 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
49	47, 48	mp3an3 1476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
50	26, 46, 49	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
51	50	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
52	45, 51	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
54	33, 35, 53	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
55	54	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
56	55	an32s 664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
57	56	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))
59	38	nn0red 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	2	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	43	zred 12696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
63		ltletr 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
65	64, 52	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
66	58, 65	syland 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
67	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
68	67	expdimp 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
69	57, 68	pm2.61dane 3051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
70	69	anasss 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
71	70	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
72	71	a2d 30	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
73	72	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
74	12, 16, 20, 24, 29, 73	fnn0ind 12691	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
75	6, 6, 8, 74	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
76	75	pm2.43i 53	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))
77	26	subidd 11553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
78	76, 77	breqtrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 0)
79	2, 6	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ0)
80	79	nn0ge0d 12564	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑁))
81	79	nn0red 12562	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
82		0re 11206	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
83		letri3 11291	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
84	81, 82, 83	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
85	78, 80, 84	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588

This theorem is referenced by:  algcvg  16630  nn0seqcvg  36063