Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzind2 13149
 Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 12074 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
fzind2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fzind2.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fzind2.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fzind2.5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜓)
fzind2.6 (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fzind2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 12893 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 anass 471 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
3 df-3an 1085 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
43anbi1i 625 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
5 3anass 1091 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65anbi2i 624 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
72, 4, 63bitr4i 305 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
81, 7bitri 277 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
9 fzind2.1 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
10 fzind2.2 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
11 fzind2.3 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
12 fzind2.4 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
13 eluz2 12243 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
14 fzind2.5 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜓)
1513, 14sylbir 237 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
16 3anass 1091 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)))
17 elfzo 13034 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)))
18 fzind2.6 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒𝜃))
1917, 18syl6bir 256 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
20193coml 1123 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
21203expa 1114 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
2221impr 457 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁))) → (𝜒𝜃))
2316, 22sylan2b 595 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 12074 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
258, 24sylbi 219 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  ...cfz 12886  ..^cfzo 13027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028 This theorem is referenced by:  seqcaopr3  13399  seqf1olem2a  13402  prodfn0  15244  prodfrec  15245  smupval  15831  smueqlem  15833  dvntaylp  24953  taylthlem1  24955  pntpbnd1  26156  pntlemf  26175  fmul01  41853  dvnmptdivc  42215  dvnmul  42220  iblspltprt  42250  itgspltprt  42256  stoweidlem3  42281  carageniuncllem1  42796  caratheodorylem1  42801
 Copyright terms: Public domain W3C validator