MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzind2 12841
Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 11765 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
fzind2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fzind2.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fzind2.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fzind2.5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜓)
fzind2.6 (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fzind2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 12587 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 anass 461 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
3 df-3an 1110 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
43anbi1i 618 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
5 3anass 1117 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
65anbi2i 617 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
72, 4, 63bitr4i 295 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
81, 7bitri 267 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
9 fzind2.1 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → (𝜑𝜓))
10 fzind2.2 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
11 fzind2.3 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
12 fzind2.4 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
13 eluz2 11936 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
14 fzind2.5 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝜓)
1513, 14sylbir 227 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝜓)
16 3anass 1117 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)))
17 elfzo 12727 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)))
18 fzind2.6 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒𝜃))
1917, 18syl6bir 246 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
20193coml 1158 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
21203expa 1148 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃)))
2221impr 447 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑦𝑦 < 𝑁))) → (𝜒𝜃))
2316, 22sylan2b 588 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 11765 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
258, 24sylbi 209 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227   < clt 10363  cle 10364  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721
This theorem is referenced by:  seqcaopr3  13090  seqf1olem2a  13093  prodfn0  14963  prodfrec  14964  smupval  15545  smueqlem  15547  dvntaylp  24466  taylthlem1  24468  pntpbnd1  25627  pntlemf  25646  fmul01  40556  dvnmptdivc  40897  dvnmul  40902  iblspltprt  40932  itgspltprt  40938  stoweidlem3  40963  carageniuncllem1  41481  caratheodorylem1  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator