Theorem fzind2 13702

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 12588 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind2.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind2.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind2.5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
fzind2.6	⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13428	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		anass 468	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
3		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
7	2, 4, 6	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	1, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9		fzind2.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
10		fzind2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
11		fzind2.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12		fzind2.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
13		eluz2 12755	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		fzind2.5	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
15	13, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
16		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
17		elfzo 13575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
19	17, 18	biimtrrdi 254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
22	21	impr 454	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))) → (𝜒 → 𝜃))
23	16, 22	sylan2b 594	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 12588	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
25	8, 24	sylbi 217	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  seqcaopr3  13958  seqf1olem2a  13961  prodfn0  15815  prodfrec  15816  smupval  16413  smueqlem  16415  dvntaylp  26333  taylthlem1  26335  pntpbnd1  27551  pntlemf  27570  fmul01  45768  dvnmptdivc  46124  dvnmul  46129  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  stoweidlem3  46189  carageniuncllem1  46707  caratheodorylem1  46712