Theorem fzind2 13555

Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Version of fzind 12468 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzind2.1	⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
fzind2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
fzind2.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fzind2.4	⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
fzind2.5	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
fzind2.6	⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fzind2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fzind2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13296	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		anass 470	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
3		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	3	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	5	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
7	2, 4, 6	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	1, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9		fzind2.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
10		fzind2.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
11		fzind2.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
12		fzind2.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝜑 ↔ 𝜏))
13		eluz2 12638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
14		fzind2.5	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜓)
15	13, 14	sylbir 234	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜓)
16		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
17		elfzo 13439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
18		fzind2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜒 → 𝜃))
19	17, 18	syl6bir 254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
20	19	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
21	20	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝜒 → 𝜃)))
22	21	impr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))) → (𝜒 → 𝜃))
23	16, 22	sylan2b 595	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒 → 𝜃))
24	9, 10, 11, 12, 15, 23	fzind 12468	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → 𝜏)
25	8, 24	sylbi 216	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  1c1 10922   + caddc 10924   < clt 11059   ≤ cle 11060  ℤcz 12369  ℤ_≥cuz 12632  ...cfz 13289  ..^cfzo 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433

This theorem is referenced by:  seqcaopr3  13808  seqf1olem2a  13811  prodfn0  15655  prodfrec  15656  smupval  16244  smueqlem  16246  dvntaylp  25579  taylthlem1  25581  pntpbnd1  26783  pntlemf  26802  fmul01  43350  dvnmptdivc  43708  dvnmul  43713  iblspltprt  43743  itgspltprt  43749  stoweidlem3  43773  carageniuncllem1  44289  caratheodorylem1  44294