MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdifpr 13770
Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 4729 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
32fveq2d 6668 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4 diffi 8744 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
5 necom 3069 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
65biimpi 218 . . . . . . 7 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
76anim2i 618 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
873adant1 1126 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
98adantl 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
10 eldifsn 4712 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝐴𝐶𝐵))
119, 10sylibr 236 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12 hashdifsn 13769 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
134, 11, 12syl2an2r 683 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
14 hashdifsn 13769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
15143ad2antr1 1184 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
1615oveq1d 7165 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
17 hashcl 13711 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11951 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
19 sub1m1 11883 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2120adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2216, 21eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
233, 13, 223eqtrd 2860 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cdif 3932  {csn 4560  {cpr 4562  cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cc 10529  1c1 10532  cmin 10864  2c2 11686  chash 13684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685
This theorem is referenced by:  nbfusgrlevtxm2  27154
  Copyright terms: Public domain W3C validator