Theorem hashdifpr 13868

Description: The size of the difference of a finite set and a proper pair of its elements is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashdifpr	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difpr 4691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
3	2	fveq2d 6678	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4		diffi 8827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
5		necom 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
6	5	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → 𝐶 ≠ 𝐵)
7	6	anim2i 620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
8	7	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
9	8	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
10		eldifsn 4675	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12		hashdifsn 13867	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
13	4, 11, 12	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
14		hashdifsn 13867	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
15	14	3ad2antr1 1189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
16	15	oveq1d 7185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
17		hashcl 13809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12038	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
19		sub1m1 11968	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
21	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
22	16, 21	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
23	3, 13, 22	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3840  {csn 4516  {cpr 4518  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  ℂcc 10613  1c1 10616   − cmin 10948  2c2 11771  ♯chash 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-oadd 8135  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-hash 13783

This theorem is referenced by:  nbfusgrlevtxm2  27320