MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdifpr 14322
Description: The size of the difference of a finite set and a proper pair of its elements is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 4768 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
32fveq2d 6851 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4 diffi 9130 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
5 necom 2998 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
65biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
76anim2i 618 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
873adant1 1131 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
98adantl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
10 eldifsn 4752 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝐴𝐶𝐵))
119, 10sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12 hashdifsn 14321 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
134, 11, 12syl2an2r 684 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
14 hashdifsn 14321 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
15143ad2antr1 1189 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((♯‘𝐴) − 1))
1615oveq1d 7377 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
17 hashcl 14263 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 12482 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
19 sub1m1 12412 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2120adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
2216, 21eqtrd 2777 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((♯‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((♯‘𝐴) − 2))
233, 13, 223eqtrd 2781 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (♯‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((♯‘𝐴) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cc 11056  1c1 11059  cmin 11392  2c2 12215  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  nbfusgrlevtxm2  28368
  Copyright terms: Public domain W3C validator