MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbfusgrlevtxm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbfusgrlevtxm2 26848
Description: If there is a vertex which is not a neighbor of another vertex, the number of neighbors of the other vertex is at most the number of vertices of the graph minus 2 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbfusgrlevtxm2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm2
StepHypRef Expression
1 hashnbusgrnn0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6557 . . . 4 𝑉 ∈ V
3 difexg 5127 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
5 simpr3 1189 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
61nbgrssvwo2 26832 . . . 4 (𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
8 hashss 13623 . . 3 (((𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
94, 7, 8syl2anc 584 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (♯‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
101fusgrvtxfi 26789 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
1110ad2antrr 722 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑉 ∈ Fin)
12 simpr1 1187 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑉)
13 simplr 765 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑈𝑉)
14 simpr2 1188 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑈)
15 hashdifpr 13629 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑀𝑉𝑈𝑉𝑀𝑈)) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((♯‘𝑉) − 2))
1611, 12, 13, 14, 15syl13anc 1365 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (♯‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((♯‘𝑉) − 2))
179, 16breqtrd 4992 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((♯‘𝑉) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wnel 3090  Vcvv 3437  cdif 3860  wss 3863  {cpr 4478   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021  Fincfn 8362  cle 10527  cmin 10722  2c2 11545  chash 13545  Vtxcvtx 26469  FinUSGraphcfusgr 26786   NeighbVtx cnbgr 26802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-dju 9181  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-xnn0 11821  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-hash 13546  df-fusgr 26787  df-nbgr 26803
This theorem is referenced by:  nbusgrvtxm1  26849
  Copyright terms: Public domain W3C validator