Theorem hashle2prv 13830

Description: A nonempty subset of a powerset of a class 𝑉 has size less than or equal to two iff it is an unordered pair of elements of 𝑉. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2prv	⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hashle2prv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4713	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅))
2		hashle2pr 13829	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
3	1, 2	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
4		eldifi 4103	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
5		eleq1 2900	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
6		prelpw 5331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
7	6	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
8	7	el2v 3502	. . . . . 6 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
9	5, 8	syl6bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
10	4, 9	syl5com 31	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
11	10	pm4.71rd 565	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
12	11	2exbidv 1921	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (∃𝑎∃𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
13		r2ex 3303	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
14	13	bicomi 226	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
16	3, 12, 15	3bitrd 307	1 ⊢ (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ∖ cdif 3933  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350   ≤ cle 10670  2c2 11686  ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685

This theorem is referenced by:  upgredg  26916  sprvalpwle2  43644