Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle2prv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashle2prv 13841
 Description: A nonempty subset of a powerset of a class 𝑉 has size less than or equal to two iff it is an unordered pair of elements of 𝑉. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashle2prv (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hashle2prv
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4704 . . 3 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉𝑃 ≠ ∅))
2 hashle2pr 13840 . . 3 ((𝑃 ∈ 𝒫 𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
31, 2sylbi 220 . 2 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
4 eldifi 4089 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑃 ∈ 𝒫 𝑉)
5 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
6 prelpw 5326 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉))
76biimprd 251 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
87el2v 3487 . . . . . 6 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
95, 8syl6bi 256 . . . . 5 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑃 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
104, 9syl5com 31 . . . 4 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑉𝑏𝑉)))
1110pm4.71rd 566 . . 3 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
12112exbidv 1926 . 2 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
13 r2ex 3295 . . . 4 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ ∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
1413bicomi 227 . . 3 (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1514a1i 11 . 2 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (∃𝑎𝑏((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑃 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
163, 12, 153bitrd 308 1 (𝑃 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343   ≤ cle 10674  2c2 11689  ♯chash 13695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696 This theorem is referenced by:  upgredg  26933  sprvalpwle2  43932
 Copyright terms: Public domain W3C validator