Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt749d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt749d 33947
Description: A deduction version of ax-hgt749 33942. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt749d.o ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
hgt749d.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‚)
hgt749d.1 (๐œ‘ โ†’ (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
hgt749d (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   โ„Ž,๐‘,๐‘˜,๐‘ฅ   โ„Ž,๐‘š,๐‘ง,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ง,โ„Ž,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘(๐‘ง,๐‘š)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง,โ„Ž,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem hgt749d
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt749d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘)
2 breq2 5152 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†” (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘))
3 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
43oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) = ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)))
5 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›) = ((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘))
65fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = (((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
7 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›) = ((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘))
87fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = (((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
98oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
106, 9oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) = ((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
11 negeq 11456 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ โ†’ -๐‘› = -๐‘)
1211oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (-๐‘› ยท ๐‘ฅ) = (-๐‘ ยท ๐‘ฅ))
1312oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ))) = (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ))))
1510, 14oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) = (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) = (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))))
1716itgeq2dv 25523 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)
184, 17breq12d 5161 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ โ†” ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
19183anbi3d 1442 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
2019rexbidv 3178 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
2120rexbidv 3178 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
222, 21imbi12d 344 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)) โ†” ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))))
23 ax-hgt749 33942 . . . 4 โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
2423a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
25 hgt749d.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‚)
26 hgt749d.o . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
2725, 26eleqtrdi 2843 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})
2822, 24, 27rspcdva 3613 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
291, 28mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670   โ†‘m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249   โ‰ค cle 11253  -cneg 11449  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  5c5 12274  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  โ„คcz 12562  cdc 12681  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  โ†‘cexp 14031  expce 16009  ฯ€cpi 16014   โˆฅ cdvds 16201  โˆซcitg 25359  ฮ›cvma 26820  cdp2 32292  .cdp 32309  vtscvts 33933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hgt749 33942
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-sum 15637  df-itg 25364
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  33960
  Copyright terms: Public domain W3C validator