Theorem hgt749d 34617

Description: A deduction version of ax-hgt749 34612. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt749d.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt749d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
hgt749d.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt749d	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑁,𝑘,𝑥   ℎ,𝑚,𝑧,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)   𝑁(𝑧,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem hgt749d

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt749d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
2		breq2 5096	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((;10↑;27) ≤ 𝑛 ↔ (;10↑;27) ≤ 𝑁))
3		oveq1 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑2) = (𝑁↑2))
4	3	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) = ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)))
5		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛) = ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁))
6	5	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥))
7		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛) = ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁))
8	7	fveq1d 6824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥))
9	8	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
10	6, 9	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
11		negeq 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → -𝑛 = -𝑁)
12	11	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (-𝑛 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
13	12	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))
14	13	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))))
15	10, 14	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
17	16	itgeq2dv 25681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18	4, 17	breq12d 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 ↔ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
19	18	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
20	19	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
21	20	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
22	2, 21	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)) ↔ ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))))
23		ax-hgt749 34612	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)))
25		hgt749d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
26		hgt749d.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
27	25, 26	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
28	22, 24, 27	rspcdva 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
29	1, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   ↑_m cmap 8753  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   · cmul 11014  +∞cpnf 11146   ≤ cle 11150  -cneg 11348  ℕcn 12128  2c2 12183  4c4 12185  5c5 12186  7c7 12188  8c8 12189  9c9 12190  ℤcz 12471  ;cdc 12591  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  ↑cexp 13968  expce 15968  πcpi 15973   ∥ cdvds 16163  ∫citg 25517  Λcvma 27000  _cdp2 32811  .cdp 32828  vtscvts 34603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-hgt749 34612

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-sum 15594  df-itg 25522

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  34630