Theorem hgt749d 34833

Description: A deduction version of ax-hgt749 34828. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt749d.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt749d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
hgt749d.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt749d	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑁,𝑘,𝑥   ℎ,𝑚,𝑧,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)   𝑁(𝑧,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem hgt749d

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt749d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
2		breq2 5076	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((;10↑;27) ≤ 𝑛 ↔ (;10↑;27) ≤ 𝑁))
3		oveq1 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑2) = (𝑁↑2))
4	3	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) = ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)))
5		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛) = ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁))
6	5	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥))
7		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛) = ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁))
8	7	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥))
9	8	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
10	6, 9	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
11		negeq 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → -𝑛 = -𝑁)
12	11	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (-𝑛 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
13	12	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))
14	13	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))))
15	10, 14	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
17	16	itgeq2dv 25767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18	4, 17	breq12d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 ↔ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
19	18	3anbi3d 1450	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
20	19	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
21	20	rexbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
22	2, 21	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)) ↔ ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))))
23		ax-hgt749 34828	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)))
25		hgt749d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
26		hgt749d.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
27	25, 26	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
28	22, 24, 27	rspcdva 3561	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
29	1, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8763  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   · cmul 11034  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  5c5 12230  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ℤcz 12515  ;cdc 12635  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ↑cexp 14014  expce 16017  πcpi 16022   ∥ cdvds 16212  ∫citg 25603  Λcvma 27073  _cdp2 32949  .cdp 32966  vtscvts 34819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hgt749 34828

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-sum 15640  df-itg 25608

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  34846