Theorem hgt749d 34948

Description: A deduction version of ax-hgt749 34943. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt749d.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
hgt749d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
hgt749d.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
hgt749d	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑁,𝑘,𝑥   ℎ,𝑚,𝑧,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)   𝑁(𝑧,𝑚)   𝑂(𝑥,𝑧,ℎ,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem hgt749d

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt749d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
2		breq2 5108	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((;10↑;27) ≤ 𝑛 ↔ (;10↑;27) ≤ 𝑁))
3		oveq1 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛↑2) = (𝑁↑2))
4	3	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) = ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)))
5		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛) = ((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁))
6	5	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥))
7		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛) = ((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁))
8	7	fveq1d 6873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥))
9	8	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
10	6, 9	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
11		negeq 11437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → -𝑛 = -𝑁)
12	11	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (-𝑛 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
13	12	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))
14	13	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))))
15	10, 14	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
16	15	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
17	16	itgeq2dv 25898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18	4, 17	breq12d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥 ↔ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
19	18	3anbi3d 1466	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
20	19	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
21	20	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥) ↔ ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
22	2, 21	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)) ↔ ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))))
23		ax-hgt749 34943	. . . 4 ⊢ ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ((;10↑;27) ≤ 𝑛 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑛↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑛)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑛)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑛 · 𝑥)))) d𝑥)))
25		hgt749d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
26		hgt749d.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
27	25, 26	eleqtrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
28	22, 24, 27	rspcdva 3585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((;10↑;27) ≤ 𝑁 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)))
29	1, 28	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662   ↑_m cmap 8812  0cc0 11088  1c1 11089  ici 11090   · cmul 11093  +∞cpnf 11228   ≤ cle 11232  -cneg 11430  ℕcn 12221  2c2 12283  4c4 12285  5c5 12286  7c7 12288  8c8 12289  9c9 12290  ℤcz 12579  ;cdc 12699  (,)cioo 13360  [,)cico 13362  ↑cexp 14085  expce 16103  πcpi 16108   ∥ cdvds 16298  ∫citg 25734  Λcvma 27210  _cdp2 33098  .cdp 33115  vtscvts 34934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-hgt749 34943

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-seq 14026  df-sum 15726  df-itg 25739

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  34961