Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt749d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt749d 33661
Description: A deduction version of ax-hgt749 33656. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hgt749d.o ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
hgt749d.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‚)
hgt749d.1 (๐œ‘ โ†’ (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
hgt749d (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   โ„Ž,๐‘,๐‘˜,๐‘ฅ   โ„Ž,๐‘š,๐‘ง,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ง,โ„Ž,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘(๐‘ง,๐‘š)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ง,โ„Ž,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem hgt749d
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgt749d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘)
2 breq2 5153 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†” (10โ†‘27) โ‰ค ๐‘))
3 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘›โ†‘2) = (๐‘โ†‘2))
43oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) = ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)))
5 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›) = ((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘))
65fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = (((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
7 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›) = ((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘))
87fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) = (((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ))
98oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
106, 9oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) = ((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
11 negeq 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘ โ†’ -๐‘› = -๐‘)
1211oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (-๐‘› ยท ๐‘ฅ) = (-๐‘ ยท ๐‘ฅ))
1312oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))
1413fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ))) = (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ))))
1510, 14oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) = (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))))
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) = (((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))))
1716itgeq2dv 25299 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)
184, 17breq12d 5162 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ โ†” ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
19183anbi3d 1443 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” (โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
2019rexbidv 3179 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
2120rexbidv 3179 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ) โ†” โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
222, 21imbi12d 345 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)) โ†” ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))))
23 ax-hgt749 33656 . . . 4 โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
2423a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘› โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘›โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘›)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘› ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
25 hgt749d.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘‚)
26 hgt749d.o . . . 4 ๐‘‚ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
2725, 26eleqtrdi 2844 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})
2822, 24, 27rspcdva 3614 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((10โ†‘27) โ‰ค ๐‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ)))
291, 28mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒโ„Ž โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ((0[,)+โˆž) โ†‘m โ„•)(โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (๐‘˜โ€˜๐‘š) โ‰ค (1.079955) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ โ„• (โ„Žโ€˜๐‘š) โ‰ค (1.414) โˆง ((0.00042248) ยท (๐‘โ†‘2)) โ‰ค โˆซ(0(,)1)(((((ฮ› โˆ˜f ยท โ„Ž)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ) ยท ((((ฮ› โˆ˜f ยท ๐‘˜)vts๐‘)โ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)) ยท (expโ€˜((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท (-๐‘ ยท ๐‘ฅ)))) d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3433   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668   โ†‘m cmap 8820  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245   โ‰ค cle 11249  -cneg 11445  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  5c5 12270  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  โ„คcz 12558  cdc 12677  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  โ†‘cexp 14027  expce 16005  ฯ€cpi 16010   โˆฅ cdvds 16197  โˆซcitg 25135  ฮ›cvma 26596  cdp2 32037  .cdp 32054  vtscvts 33647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hgt749 33656
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-itg 25140
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  33674
  Copyright terms: Public domain W3C validator