Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtd 33969
Description: Odd integers greater than (10↑27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtd.o 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
tgoldbachgtd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtd (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd
Dummy variables β„Ž π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtd.o . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ β„€ ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
2 tgoldbachgtd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
32ad3antrrr 727 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ 𝑁 ∈ 𝑂)
4 tgoldbachgtd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
54ad3antrrr 727 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ (10↑27) ≀ 𝑁)
6 elmapi 8846 . . . 4 (β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•) β†’ β„Ž:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
76ad3antlr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ β„Ž:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
8 elmapi 8846 . . . 4 (π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•) β†’ π‘˜:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
98ad2antlr 724 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ π‘˜:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
10 simpr1 1193 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955))
11 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘˜β€˜π‘š) = (π‘˜β€˜π‘›))
1211breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ↔ (π‘˜β€˜π‘›) ≀ (1.079955)))
1312cbvralvw 3233 . . . . 5 (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘›) ≀ (1.079955))
1410, 13sylib 217 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘›) ≀ (1.079955))
1514r19.21bi 3247 . . 3 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜β€˜π‘›) ≀ (1.079955))
16 simpr2 1194 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414))
17 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (β„Žβ€˜π‘š) = (β„Žβ€˜π‘›))
1817breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ↔ (β„Žβ€˜π‘›) ≀ (1.414)))
1918cbvralvw 3233 . . . . 5 (βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘›) ≀ (1.414))
2016, 19sylib 217 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘›) ≀ (1.414))
2120r19.21bi 3247 . . 3 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (β„Žβ€˜π‘›) ≀ (1.414))
22 simpr3 1195 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
23 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘¦))
24 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦))
2524oveq1d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2) = ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦)↑2))
2623, 25oveq12d 7430 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) = ((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘¦) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦)↑2)))
27 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (-𝑁 Β· π‘₯) = (-𝑁 Β· 𝑦))
2827oveq2d 7428 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)) = ((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· 𝑦)))
2928fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯))) = (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· 𝑦))))
3026, 29oveq12d 7430 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = (((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘¦) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· 𝑦)))))
3130cbvitgv 25527 . . . 4 ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘¦) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· 𝑦)))) d𝑦
3222, 31breqtrdi 5190 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘¦) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘¦)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· 𝑦)))) d𝑦)
331, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32tgoldbachgtda 33968 . 2 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)) β†’ 0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)))
341, 2, 4hgt749d 33956 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)βˆƒπ‘˜ ∈ ((0[,)+∞) ↑m β„•)(βˆ€π‘š ∈ β„• (π‘˜β€˜π‘š) ≀ (1.079955) ∧ βˆ€π‘š ∈ β„• (β„Žβ€˜π‘š) ≀ (1.414) ∧ ((0.00042248) Β· (𝑁↑2)) ≀ ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· β„Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· π‘˜)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯))
3533, 34r19.29vva 3212 1 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜((𝑂 ∩ β„™)(reprβ€˜3)𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   ↑m cmap 8823  0cc0 11113  1c1 11114  ici 11115   Β· cmul 11118  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254  -cneg 11450  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  7c7 12277  8c8 12278  9c9 12279  β„€cz 12563  cdc 12682  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  β†‘cexp 14032  β™―chash 14295  expce 16010  Ο€cpi 16015   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613  βˆ«citg 25368  Ξ›cvma 26829  cdp2 32301  .cdp 32318  reprcrepr 33915  vtscvts 33942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-reg 9590  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hgt749 33951  ax-ros335 33952  ax-ros336 33953
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-r1 9762  df-rank 9763  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-pmtr 19352  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-cxp 26299  df-atan 26605  df-cht 26834  df-vma 26835  df-chp 26836  df-dp2 32302  df-dp 32319  df-repr 33916  df-vts 33943
This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  33970
  Copyright terms: Public domain W3C validator