Theorem tgoldbachgtd 31578

Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtd.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtd	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd

Dummy variables ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3	2	ad3antrrr 717	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁 ∈ 𝑂)
4		tgoldbachgtd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
5	4	ad3antrrr 717	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
6		elmapi 8228	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
7	6	ad3antlr 718	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
8		elmapi 8228	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8	ad2antlr 714	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10		simpr1 1174	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
11		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘‘𝑚) = (𝑘‘𝑛))
12	11	breq1d 4939	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55)))
13	12	cbvralv 3384	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
14	10, 13	sylib 210	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
15	14	r19.21bi 3159	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		simpr2 1175	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℎ‘𝑚) = (ℎ‘𝑛))
18	17	breq1d 4939	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14)))
19	18	cbvralv 3384	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
20	16, 19	sylib 210	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
21	20	r19.21bi 3159	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
22		simpr3 1176	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23		fveq2 6499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑦))
24		fveq2 6499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
25	24	oveq1d 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
26	23, 25	oveq12d 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27		oveq2 6984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
28	27	oveq2d 6992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
29	28	fveq2d 6503	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
30	26, 29	oveq12d 6994	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
31	30	cbvitgv 24080	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
32	22, 31	syl6breq 4970	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
33	1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32	tgoldbachgtda 31577	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
34	1, 2, 4	hgt749d 31565	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
35	33, 34	r19.29vva 3278	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3089  {crab 3093   ∩ cin 3829   class class class wbr 4929  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∘_𝑓 cof 7225   ↑_𝑚 cmap 8206  0cc0 10335  1c1 10336  ici 10337   · cmul 10340  +∞cpnf 10471   < clt 10474   ≤ cle 10475  -cneg 10671  ℕcn 11439  2c2 11495  3c3 11496  4c4 11497  5c5 11498  7c7 11500  8c8 11501  9c9 11502  ℤcz 11793  ;cdc 11911  (,)cioo 12554  [,)cico 12556  ↑cexp 13244  ♯chash 13505  expce 15275  πcpi 15280   ∥ cdvds 15467  ℙcprime 15871  ∫citg 23922  Λcvma 25371  _cdp2 30293  .cdp 30310  reprcrepr 31524  vtscvts 31551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-reg 8851  ax-inf2 8898  ax-cc 9655  ax-ac2 9683  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415  ax-hgt749 31560  ax-ros335 31561  ax-ros336 31562

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-symdif 4107  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-r1 8987  df-rank 8988  df-dju 9124  df-card 9162  df-acn 9165  df-ac 9336  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-word 13673  df-concat 13734  df-s1 13759  df-s2 14072  df-s3 14073  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-prod 15120  df-ef 15281  df-e 15282  df-sin 15283  df-cos 15284  df-tan 15285  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-prm 15872  df-pc 16030  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-pmtr 18331  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-ovol 23768  df-vol 23769  df-mbf 23923  df-itg1 23924  df-itg2 23925  df-ibl 23926  df-itg 23927  df-0p 23974  df-limc 24167  df-dv 24168  df-ulm 24668  df-log 24841  df-cxp 24842  df-atan 25146  df-cht 25376  df-vma 25377  df-chp 25378  df-dp2 30294  df-dp 30311  df-repr 31525  df-vts 31552

This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  31579