Theorem tgoldbachgtd 34646

Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtd.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtd	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd

Dummy variables ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3	2	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁 ∈ 𝑂)
4		tgoldbachgtd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
5	4	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
6		elmapi 8799	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
7	6	ad3antlr 731	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
8		elmapi 8799	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
11		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘‘𝑚) = (𝑘‘𝑛))
12	11	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55)))
13	12	cbvralvw 3213	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
14	10, 13	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
15	14	r19.21bi 3227	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℎ‘𝑚) = (ℎ‘𝑛))
18	17	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14)))
19	18	cbvralvw 3213	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
20	16, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
21	20	r19.21bi 3227	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
22		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦))
24		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
25	24	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
26	23, 25	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
28	27	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
29	28	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
30	26, 29	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
31	30	cbvitgv 25711	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
32	22, 31	breqtrdi 5143	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
33	1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32	tgoldbachgtda 34645	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
34	1, 2, 4	hgt749d 34633	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
35	33, 34	r19.29vva 3195	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   ∩ cin 3910   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   ↑_m cmap 8776  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049  +∞cpnf 11181   < clt 11184   ≤ cle 11185  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ℤcz 12505  ;cdc 12625  (,)cioo 13282  [,)cico 13284  ↑cexp 14002  ♯chash 14271  expce 16003  πcpi 16008   ∥ cdvds 16198  ℙcprime 16617  ∫citg 25552  Λcvma 27035  _cdp2 32841  .cdp 32858  reprcrepr 34592  vtscvts 34619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-hgt749 34628  ax-ros335 34629  ax-ros336 34630

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-symdif 4212  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-r1 9693  df-rank 9694  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-ef 16009  df-e 16010  df-sin 16011  df-cos 16012  df-tan 16013  df-pi 16014  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-pc 16784  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-pmtr 19356  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553  df-itg1 25554  df-itg2 25555  df-ibl 25556  df-itg 25557  df-0p 25604  df-limc 25800  df-dv 25801  df-ulm 26319  df-log 26498  df-cxp 26499  df-atan 26810  df-cht 27040  df-vma 27041  df-chp 27042  df-dp2 32842  df-dp 32859  df-repr 34593  df-vts 34620

This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  34647