Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachgtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachgtd 32047
 Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgoldbachgtd.o 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n (𝜑𝑁𝑂)
tgoldbachgtd.1 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachgtd (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgoldbachgtd.o . . 3 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 tgoldbachgtd.n . . . 4 (𝜑𝑁𝑂)
32ad3antrrr 729 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁𝑂)
4 tgoldbachgtd.1 . . . 4 (𝜑 → (10↑27) ≤ 𝑁)
54ad3antrrr 729 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (10↑27) ≤ 𝑁)
6 elmapi 8415 . . . 4 ( ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → :ℕ⟶(0[,)+∞))
76ad3antlr 730 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → :ℕ⟶(0[,)+∞))
8 elmapi 8415 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
98ad2antlr 726 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10 simpr1 1191 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955))
11 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘𝑚) = (𝑘𝑛))
1211breq1d 5043 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ↔ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955)))
1312cbvralvw 3399 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
1410, 13sylib 221 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
1514r19.21bi 3176 . . 3 (((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑛) ≤ (1.079955))
16 simpr2 1192 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414))
17 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚) = (𝑛))
1817breq1d 5043 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚) ≤ (1.414) ↔ (𝑛) ≤ (1.414)))
1918cbvralvw 3399 . . . . 5 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛) ≤ (1.414))
2016, 19sylib 221 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛) ≤ (1.414))
2120r19.21bi 3176 . . 3 (((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛) ≤ (1.414))
22 simpr3 1193 . . . 4 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑦))
24 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
2524oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
2623, 25oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
2827oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
2928fveq2d 6653 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
3026, 29oveq12d 7157 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
3130cbvitgv 24384 . . . 4 ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
3222, 31breqtrdi 5074 . . 3 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
331, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32tgoldbachgtda 32046 . 2 ((((𝜑 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
341, 2, 4hgt749d 32034 . 2 (𝜑 → ∃ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘𝑚) ≤ (1.079955) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚) ≤ (1.414) ∧ ((0.00042248) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · )vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
3533, 34r19.29vva 3295 1 (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   · cmul 10535  +∞cpnf 10665   < clt 10668   ≤ cle 10669  -cneg 10864  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  ℤcz 11973  ;cdc 12090  (,)cioo 12730  [,)cico 12732  ↑cexp 13429  ♯chash 13690  expce 15411  πcpi 15416   ∥ cdvds 15603  ℙcprime 16009  ∫citg 24226  Λcvma 25681  _cdp2 30577  .cdp 30594  reprcrepr 31993  vtscvts 32020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hgt749 32029  ax-ros335 32030  ax-ros336 32031 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-symdif 4172  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-prod 15256  df-ef 15417  df-e 15418  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-pmtr 18566  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228  df-itg2 24229  df-ibl 24230  df-itg 24231  df-0p 24278  df-limc 24473  df-dv 24474  df-ulm 24976  df-log 25152  df-cxp 25153  df-atan 25457  df-cht 25686  df-vma 25687  df-chp 25688  df-dp2 30578  df-dp 30595  df-repr 31994  df-vts 32021 This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  32048
 Copyright terms: Public domain W3C validator