Theorem tgoldbachgtd 35116

Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtd.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtd	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd

Dummy variables ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3	2	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁 ∈ 𝑂)
4		tgoldbachgtd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
5	4	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
6		elmapi 8852	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
7	6	ad3antlr 744	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
8		elmapi 8852	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
11		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘‘𝑚) = (𝑘‘𝑛))
12	11	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55)))
13	12	cbvralvw 3245	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
14	10, 13	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
15	14	r19.21bi 3259	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℎ‘𝑚) = (ℎ‘𝑛))
18	17	breq1d 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14)))
19	18	cbvralvw 3245	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
20	16, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
21	20	r19.21bi 3259	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
22		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦))
24		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
25	24	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
26	23, 25	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
28	27	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
30	26, 29	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
31	30	cbvitgv 25989	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
32	22, 31	breqtrdi 5154	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
33	1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32	tgoldbachgtda 35115	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
34	1, 2, 4	hgt749d 35103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
35	33, 34	r19.29vva 3227	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ↑_m cmap 8830  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   · cmul 11122  +∞cpnf 11257   < clt 11260   ≤ cle 11261  -cneg 11459  ℕcn 12250  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  5c5 12315  7c7 12317  8c8 12318  9c9 12319  ℤcz 12608  ;cdc 12729  (,)cioo 13390  [,)cico 13392  ↑cexp 14117  ♯chash 14386  expce 16139  πcpi 16144   ∥ cdvds 16334  ℙcprime 16753  ∫citg 25830  Λcvma 27309  _cdp2 33262  .cdp 33279  reprcrepr 35062  vtscvts 35089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-hgt749 35098  ax-ros335 35099  ax-ros336 35100

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-r1 9743  df-rank 9744  df-scott 9865  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-ac 10116  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-ef 16145  df-e 16146  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-prm 16754  df-pc 16921  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-pmtr 19558  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-cmp 23596  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-mbf 25831  df-itg1 25832  df-itg2 25833  df-ibl 25834  df-itg 25835  df-0p 25882  df-limc 26078  df-dv 26079  df-ulm 26593  df-log 26774  df-cxp 26775  df-atan 27085  df-cht 27314  df-vma 27315  df-chp 27316  df-dp2 33263  df-dp 33280  df-repr 35063  df-vts 35090

This theorem is used by:  tgoldbachgt  35117