Theorem tgoldbachgtd 35291

Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtd.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtd	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd

Dummy variables ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3	2	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁 ∈ 𝑂)
4		tgoldbachgtd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
5	4	ad3antrrr 743	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
6		elmapi 8869	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
7	6	ad3antlr 744	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
8		elmapi 8869	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
11		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘‘𝑚) = (𝑘‘𝑛))
12	11	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55)))
13	12	cbvralvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
14	10, 13	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
15	14	r19.21bi 3255	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℎ‘𝑚) = (ℎ‘𝑛))
18	17	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14)))
19	18	cbvralvw 3241	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
20	16, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
21	20	r19.21bi 3255	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
22		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦))
24		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
26	23, 25	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ( -𝑁 · 𝑥) = ( -𝑁 · 𝑦))
28	27	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑦)))
29	28	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑦))))
30	26, 29	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑦)))))
31	30	cbvitgv 26097	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
32	22, 31	breqtrdi 5146	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
33	1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32	tgoldbachgtda 35290	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
34	1, 2, 4	hgt749d 35278	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · ( -𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
35	33, 34	r19.29vva 3223	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   · cmul 11205  +∞cpnf 11340   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  7c7 12402  8c8 12403  9c9 12404  ℤcz 12693  ;cdc 12814  (,)cioo 13476  [,)cico 13478  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  expce 16227  πcpi 16232   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846  ∫citg 25939  Λcvma 27419  _cdp2 33437  .cdp 33454  reprcrepr 35237  vtscvts 35264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-ac2 10541  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-hgt749 35273  ax-ros335 35274  ax-ros336 35275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-ac 10195  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-ef 16233  df-e 16234  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-pmtr 19656  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941  df-itg2 25942  df-ibl 25943  df-itg 25944  df-0p 25991  df-limc 26186  df-dv 26187  df-ulm 26704  df-log 26884  df-cxp 26885  df-atan 27195  df-cht 27424  df-vma 27425  df-chp 27426  df-dp2 33438  df-dp 33455  df-repr 35238  df-vts 35265

This theorem is used by:  tgoldbachgt  35292