Theorem tgoldbachgtd 34630

Description: Odd integers greater than (;10↑;27) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgtd.o	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
tgoldbachgtd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
tgoldbachgtd.1	⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgtd	⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑂

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem tgoldbachgtd

Dummy variables ℎ 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgoldbachgtd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		tgoldbachgtd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑂)
3	2	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑁 ∈ 𝑂)
4		tgoldbachgtd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
5	4	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → (;10↑;27) ≤ 𝑁)
6		elmapi 8776	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
7	6	ad3antlr 731	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ℎ:ℕ⟶(0[,)+∞))
8		elmapi 8776	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
9	8	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 𝑘:ℕ⟶(0[,)+∞))
10		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55))
11		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑘‘𝑚) = (𝑘‘𝑛))
12	11	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55)))
13	12	cbvralvw 3207	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
14	10, 13	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
15	14	r19.21bi 3221	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘‘𝑛) ≤ (1._0_7_9_9_55))
16		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14))
17		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (ℎ‘𝑚) = (ℎ‘𝑛))
18	17	breq1d 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14)))
19	18	cbvralvw 3207	. . . . 5 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
20	16, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
21	20	r19.21bi 3221	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (ℎ‘𝑛) ≤ (1._4_14))
22		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
23		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦))
24		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦))
25	24	oveq1d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2) = ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2))
26	23, 25	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = ((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)))
27		oveq2 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-𝑁 · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑦))
28	27	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)) = ((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))
29	28	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))) = (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦))))
30	26, 29	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))))
31	30	cbvitgv 25676	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦
32	22, 31	breqtrdi 5133	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑦) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑦)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑦)))) d𝑦)
33	1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 32	tgoldbachgtda 34629	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)) → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))
34	1, 2, 4	hgt749d 34617	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)∃𝑘 ∈ ((0[,)+∞) ↑m ℕ)(∀𝑚 ∈ ℕ (𝑘‘𝑚) ≤ (1._0_7_9_9_55) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (ℎ‘𝑚) ≤ (1._4_14) ∧ ((0._0_0_0_4_2_2_48) · (𝑁↑2)) ≤ ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · ℎ)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝑘)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥))
35	33, 34	r19.29vva 3189	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘((𝑂 ∩ ℙ)(repr‘3)𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ∩ cin 3902   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611   ↑_m cmap 8753  0cc0 11009  1c1 11010  ici 11011   · cmul 11014  +∞cpnf 11146   < clt 11149   ≤ cle 11150  -cneg 11348  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  7c7 12188  8c8 12189  9c9 12190  ℤcz 12471  ;cdc 12591  (,)cioo 13248  [,)cico 13250  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  expce 15968  πcpi 15973   ∥ cdvds 16163  ℙcprime 16582  ∫citg 25517  Λcvma 27000  _cdp2 32811  .cdp 32828  reprcrepr 34576  vtscvts 34603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-hgt749 34612  ax-ros335 34613  ax-ros336 34614

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-r1 9660  df-rank 9661  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-ef 15974  df-e 15975  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-pmtr 19321  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519  df-itg2 25520  df-ibl 25521  df-itg 25522  df-0p 25569  df-limc 25765  df-dv 25766  df-ulm 26284  df-log 26463  df-cxp 26464  df-atan 26775  df-cht 27005  df-vma 27006  df-chp 27007  df-dp2 32812  df-dp 32829  df-repr 34577  df-vts 34604

This theorem is referenced by:  tgoldbachgt  34631