Theorem hlcgreq 29085

Description: A constructed point on a half-line, at a given distance of its origin, (see hlcgrex 29082) is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlcgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlcgreq.i	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgreq.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlcgreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hlcgreq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hlcgreq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlcgreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlcgreq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlcgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝐷)
hlcgreq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐴)𝐷)
hlcgreq.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐶))
hlcgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑌) = (𝐵 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
hlcgreq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem hlcgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcgreq.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		hlcgreq.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		hlcgreq.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		hlcgreq.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hlcgreq.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlcgreq.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hlcgreq.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgreq.i	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgreq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgreq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12		hlcgreq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝐷)
13	1, 2, 3, 7, 4, 12	hlgrcl1 29066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14		hlcgreq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐴)𝐷)
15	1, 2, 3, 7, 4, 14	hlgrcl1 29066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlcgreq.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐶))
17		hlcgreq.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑌) = (𝐵 − 𝐶))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 12, 14, 16, 17	hlcgreulem 29083	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-hlg 29064

This theorem is used by:  ragsupplcgra  29345  quadcgrprlng  29444