Theorem hlcgreq 28902

Description: A constructed point on a half-line, at a given distance of its origin, (see hlcgrex 28899) is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlcgreq.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hlcgreq.i	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgreq.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hlcgreq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hlcgreq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hlcgreq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlcgreq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlcgreq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgreq.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgreq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
hlcgreq.3	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝐷)
hlcgreq.4	⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐴)𝐷)
hlcgreq.5	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐶))
hlcgreq.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑌) = (𝐵 − 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
hlcgreq	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem hlcgreq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcgreq.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		hlcgreq.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		hlcgreq.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		hlcgreq.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		hlcgreq.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlcgreq.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hlcgreq.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgreq.i	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgreq.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgreq.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12		hlcgreq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐴)𝐷)
13	1, 2, 3, 7, 4, 12	hlgrcl1 28883	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14		hlcgreq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌(𝐾‘𝐴)𝐷)
15	1, 2, 3, 7, 4, 14	hlgrcl1 28883	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
16		hlcgreq.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑋) = (𝐵 − 𝐶))
17		hlcgreq.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑌) = (𝐵 − 𝐶))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 12, 14, 16, 17	hlcgreulem 28900	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  distcds 17325  TarskiGcstrkg 28707  Itvcitv 28713  hlGchlg 28880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-trkgc 28728  df-trkgb 28729  df-trkgcb 28730  df-trkg 28733  df-hlg 28881

This theorem is used by:  ragsupplcgra  29159  quadcgrprlng  29227