MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgreu 28136
Description: The point constructed in hlcgrex 28134 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hlcgrex.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
hlcgrex.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
Assertion
Ref Expression
hlcgreu (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem hlcgreu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
4 ishlg.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6 ishlg.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 hlcgrex.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
10 hlcgrex.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
11 hlcgrex.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11hlcgrex 28134 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
134ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
145ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
156ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
167ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
178ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1810ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
1911ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
20 simpllr 772 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
21 simplr 765 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
22 simprll 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷)
23 simprrl 777 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷)
24 simprlr 776 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
25 simprrr 778 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
261, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hlcgreulem 28135 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
2726ex 411 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2827ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2928ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
30 breq1 5150 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ↔ 𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷))
31 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))
3231eqeq1d 2732 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
3330, 32anbi12d 629 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
3433reu4 3726 . 2 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
3512, 29, 34sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Itvcitv 27951  hlGchlg 28118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-hlg 28119
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator