MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgreu 27869
Description: The point constructed in hlcgrex 27867 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
hlcgrex.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
hlcgrex.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
Assertion
Ref Expression
hlcgreu (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑃   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem hlcgreu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
4 ishlg.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
6 ishlg.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 hlcgrex.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
10 hlcgrex.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
11 hlcgrex.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11hlcgrex 27867 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
134ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
145ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
156ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
167ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
178ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1810ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐷 β‰  𝐴)
1911ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
20 simpllr 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
21 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
22 simprll 778 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷)
23 simprrl 780 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷)
24 simprlr 779 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
25 simprrr 781 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))
261, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hlcgreulem 27868 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
2726ex 414 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2827ralrimiva 3147 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
2928ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦))
30 breq1 5152 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ↔ 𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷))
31 oveq2 7417 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐴 βˆ’ 𝑦))
3231eqeq1d 2735 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
3330, 32anbi12d 632 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))))
3433reu4 3728 . 2 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 (((π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐡 βˆ’ 𝐢))) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
3512, 29, 34sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΄)𝐷 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆƒ!wreu 3375   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  hlGchlg 27851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-hlg 27852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator