Theorem hlcgreu 28971

Description: The point constructed in hlcgrex 28969 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgrex.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgrex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgrex.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hlcgrex 28969	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
13	4	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	5	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	6	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	7	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	8	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	10	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
19	11	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
20		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprll 791	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
23		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷)
24		simprlr 792	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
25		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
26	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	hlcgreulem 28970	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
27	26	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
28	27	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
29	28	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30		breq1 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷))
31		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
32	31	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
33	30, 32	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
34	33	reu4 3692	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
35	12, 29, 34	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  distcds 17357  TarskiGcstrkg 28776  Itvcitv 28782  hlGchlg 28950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-trkgc 28797  df-trkgb 28798  df-trkgcb 28799  df-trkg 28802  df-cgrg 28861  df-hlg 28951

This theorem is used by:  angmgmaddeu2  29267  angmgmaddeu4  29269  angmgmaddeu6  29271