Theorem hlcgreu 28686

Description: The point constructed in hlcgrex 28684 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgrex.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgrex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgrex.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hlcgrex 28684	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
13	4	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	5	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	6	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	7	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	8	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	10	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
19	11	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
20		simpllr 776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprll 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
23		simprrl 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷)
24		simprlr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
25		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
26	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	hlcgreulem 28685	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
28	27	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
29	28	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30		breq1 5088	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷))
31		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
32	31	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
33	30, 32	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
34	33	reu4 3677	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
35	12, 29, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3340   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  hlGchlg 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkg 28521  df-cgrg 28579  df-hlg 28669

This theorem is referenced by: (None)