Theorem hlcgreu 28927

Description: The point constructed in hlcgrex 28925 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgrex.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgrex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgrex.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hlcgrex 28925	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
13	4	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	5	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	6	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	7	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	8	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	10	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
19	11	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
20		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprll 791	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
23		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷)
24		simprlr 792	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
25		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
26	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	hlcgreulem 28926	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
27	26	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
28	27	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
29	28	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30		breq1 5117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷))
31		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
32	31	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
33	30, 32	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
34	33	reu4 3697	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
35	12, 29, 34	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ∃!wreu 3370   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  distcds 17344  TarskiGcstrkg 28733  Itvcitv 28739  hlGchlg 28906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-hlg 28907

This theorem is used by: (None)