Theorem hlcgreu 28690

Description: The point constructed in hlcgrex 28688 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgrex.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgrex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgrex.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hlcgrex 28688	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
13	4	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	5	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	6	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	7	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	8	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	10	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
19	11	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
20		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprll 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
23		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷)
24		simprlr 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
25		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
26	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	hlcgreulem 28689	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
28	27	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
29	28	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30		breq1 5101	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷))
31		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
32	31	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
33	30, 32	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
34	33	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
35	12, 29, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  distcds 17186  TarskiGcstrkg 28499  Itvcitv 28505  hlGchlg 28672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-trkgc 28520  df-trkgb 28521  df-trkgcb 28522  df-trkg 28525  df-cgrg 28583  df-hlg 28673

This theorem is referenced by: (None)