MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcgreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcgreu 27560
Description: The point constructed in hlcgrex 27558 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d (𝜑𝐷𝑃)
hlcgrex.m = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1 (𝜑𝐷𝐴)
hlcgrex.2 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
hlcgreu (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
5 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
6 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
7 hlln.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
8 hltr.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
9 hlcgrex.m . . 3 = (dist‘𝐺)
10 hlcgrex.1 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
11 hlcgrex.2 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11hlcgrex 27558 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
134ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐴𝑃)
145ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝑃)
156ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐶𝑃)
167ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
178ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝑃)
1810ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐷𝐴)
1911ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝐵𝐶)
20 simpllr 774 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥𝑃)
21 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦𝑃)
22 simprll 777 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥(𝐾𝐴)𝐷)
23 simprrl 779 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑦(𝐾𝐴)𝐷)
24 simprlr 778 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶))
25 simprrr 780 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))
261, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hlcgreulem 27559 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
2726ex 413 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ 𝑦𝑃) → (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
2827ralrimiva 3143 . . 3 ((𝜑𝑥𝑃) → ∀𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
2928ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30 breq1 5108 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾𝐴)𝐷𝑦(𝐾𝐴)𝐷))
31 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑦))
3231eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶)))
3330, 32anbi12d 631 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))))
3433reu4 3689 . 2 (∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ↔ (∃𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃 (((𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐵 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
3512, 29, 34sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑃 (𝑥(𝐾𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 𝑥) = (𝐵 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  hlGchlg 27542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-hlg 27543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator