Theorem hlcgreu 26404

Description: The point constructed in hlcgrex 26402 is unique. Theorem 6.11 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hltr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
hlcgrex.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
hlcgrex.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
hlcgrex.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlcgreu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,𝐼   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hlcgreu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
5		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		hlln.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hltr.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		hlcgrex.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		hlcgrex.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐴)
11		hlcgrex.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	hlcgrex 26402	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))
13	4	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	5	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	6	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
16	7	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17	8	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	10	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐷 ≠ 𝐴)
19	11	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
20		simpllr 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
21		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
22		simprll 777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷)
23		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷)
24		simprlr 778	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶))
25		simprrr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))
26	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 9, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	hlcgreulem 26403	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))) → 𝑥 = 𝑦)
27	26	ex 415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
28	27	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
29	28	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦))
30		breq1 5069	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ↔ 𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷))
31		oveq2 7164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑦))
32	31	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶) ↔ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶)))
33	30, 32	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))))
34	33	reu4 3722	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 (((𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)) ∧ (𝑦(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑦) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑥 = 𝑦)))
35	12, 29, 34	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥(𝐾‘𝐴)𝐷 ∧ (𝐴 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  hlGchlg 26386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26234  df-trkgb 26235  df-trkgcb 26236  df-trkg 26239  df-cgrg 26297  df-hlg 26387

This theorem is referenced by: (None)