Theorem tghlsub 29086

Description: Removing identical parts from the end of a ray segment preserves congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tghlsub.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tghlsub.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tghlsub.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tghlsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tghlsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tghlsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tghlsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
tghlsub.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
tghlsub.5	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
tghlsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tghlsub	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

Proof of Theorem tghlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tghlsub.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tghlsub.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
5		tghlsub.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tghlsub.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tghlsub.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8		tghlsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
9	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl2 29067	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl1 29066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		tghlsub.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12		tghlsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
13	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl2 29067	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl1 29066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	1, 3, 7, 10, 9, 6, 5	ishlg 29068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴))))
17	16	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))
18	17	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶)))
19	1, 3, 7, 14, 13, 11, 5	ishlg 29068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))))
20	12, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷))))
21	20	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))
22	21	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹)))
23		tghlsub.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
24		tghlsub.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 18, 22, 23, 24	tgcgrsub2 29058	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  ≤Gcleg 29045  hlGchlg 29063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064

This theorem is used by:  zerocgra  29331