Theorem tghlsub 28965

Description: Removing identical parts from the end of a ray segment preserves congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tghlsub.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tghlsub.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tghlsub.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tghlsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tghlsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tghlsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tghlsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
tghlsub.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
tghlsub.5	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
tghlsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tghlsub	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

Proof of Theorem tghlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tghlsub.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tghlsub.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
5		tghlsub.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tghlsub.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tghlsub.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8		tghlsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
9	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl2 28946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl1 28945	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		tghlsub.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12		tghlsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
13	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl2 28946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl1 28945	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	1, 3, 7, 10, 9, 6, 5	ishlg 28947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴))))
17	16	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))
18	17	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶)))
19	1, 3, 7, 14, 13, 11, 5	ishlg 28947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))))
20	12, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷))))
21	20	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))
22	21	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹)))
23		tghlsub.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
24		tghlsub.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 18, 22, 23, 24	tgcgrsub2 28937	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  ≤Gcleg 28924  hlGchlg 28942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkg 28794  df-cgrg 28853  df-leg 28925  df-hlg 28943

This theorem is used by:  zerocgra  29210