Theorem tghlsub 29113

Description: Removing identical parts from the end of a ray segment preserves congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tghlsub.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tghlsub.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tghlsub.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tghlsub.h	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tghlsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tghlsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tghlsub.3	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
tghlsub.4	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
tghlsub.5	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
tghlsub.6	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tghlsub	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

Proof of Theorem tghlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tghlsub.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tghlsub.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
5		tghlsub.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tghlsub.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tghlsub.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
8		tghlsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶)
9	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl2 29094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	1, 3, 7, 5, 6, 8	hlgrcl1 29093	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11		tghlsub.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
12		tghlsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹)
13	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl2 29094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14	1, 3, 7, 5, 11, 12	hlgrcl1 29093	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	1, 3, 7, 10, 9, 6, 5	ishlg 29095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐵)𝐶 ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴))))
17	16	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴)))
18	17	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐵(Itv‘𝐺)𝐶)))
19	1, 3, 7, 14, 13, 11, 5	ishlg 29095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷(𝐾‘𝐸)𝐹 ↔ (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))))
20	12, 19	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷))))
21	20	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷)))
22	21	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐸(Itv‘𝐺)𝐹)))
23		tghlsub.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
24		tghlsub.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 11, 13, 14, 18, 22, 23, 24	tgcgrsub2 29085	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  ≤Gcleg 29072  hlGchlg 29090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-leg 29073  df-hlg 29091

This theorem is used by:  zerocgra  29358