Theorem iccpartleu 46668

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartleu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzisfzounsn 13750	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
8	7	eleq2d 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9		elun 4143	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11		velsn 4639	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
13	12	orbi2d 912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
14	8, 10, 13	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18		fzossfz 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
20	19	sselda 3977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21	15, 17, 20	iccpartxr 46659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	2, 22	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	1, 16, 24	iccpartxr 46659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
27	1, 16	iccpartltu 46665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
29	28	breq1d 5151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	29	rspccv 3603	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
33	21, 26, 32	xrltled 13135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
34	33	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
37	25	xrleidd 13137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	36, 38	eqbrtrd 5163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
40	39	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
41	34, 40	jaoi 854	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
42	41	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
43	14, 42	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
44	43	ralrimiv 3139	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  RePartciccp 46653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-iccp 46654

This theorem is referenced by:  iccpartrn  46670  iccpartiun  46674  iccpartdisj  46677