Theorem iccpartleu 45610

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartleu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzisfzounsn 13684	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
8	7	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9		elun 4108	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11		velsn 4602	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
13	12	orbi2d 914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
14	8, 10, 13	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
15	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18		fzossfz 13591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
20	19	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21	15, 17, 20	iccpartxr 45601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	2, 22	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	1, 16, 24	iccpartxr 45601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
27	1, 16	iccpartltu 45607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
28		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
29	28	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	29	rspccv 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	31	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
33	21, 26, 32	xrltled 13069	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
34	33	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
37	25	xrleidd 13071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
38	37	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	36, 38	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
40	39	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
41	34, 40	jaoi 855	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
42	41	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
43	14, 42	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
44	43	ralrimiv 3142	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  RePartciccp 45595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-iccp 45596

This theorem is referenced by:  iccpartrn  45612  iccpartiun  45616  iccpartdisj  45619