Theorem iccpartleu 44832

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartleu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzisfzounsn 13480	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
8	7	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9		elun 4087	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11		velsn 4582	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
13	12	orbi2d 912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
14	8, 10, 13	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18		fzossfz 13387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
20	19	sselda 3925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21	15, 17, 20	iccpartxr 44823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	2, 22	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	1, 16, 24	iccpartxr 44823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
27	1, 16	iccpartltu 44829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
28		fveq2 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
29	28	breq1d 5088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	29	rspccv 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
33	21, 26, 32	xrltled 12866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
34	33	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35		fveq2 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
37	25	xrleidd 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	36, 38	eqbrtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
40	39	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
41	34, 40	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
42	41	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
43	14, 42	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
44	43	ralrimiv 3108	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065   ∪ cun 3889   ⊆ wss 3891  {csn 4566   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ℤ_≥cuz 12564  ...cfz 13221  ..^cfzo 13364  RePartciccp 44817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-iccp 44818

This theorem is referenced by:  iccpartrn  44834  iccpartiun  44838  iccpartdisj  44841