Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartleu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartleu 46907
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartleu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 nnnn0 12517 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 12905 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 217 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 fzisfzounsn 13785 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
87eleq2d 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9 elun 4145 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11 velsn 4646 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1312orbi2d 913 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
148, 10, 133bitrd 304 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
151adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1716adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18 fzossfz 13691 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
2019sselda 3976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2115, 17, 20iccpartxr 46898 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13639 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
232, 22sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
241, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
251, 16, 24iccpartxr 46898 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2625adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
271, 16iccpartltu 46904 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
28 fveq2 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2928breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3029rspccv 3603 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3231imp 405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
3321, 26, 32xrltled 13169 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
3433expcom 412 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
35 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
3635adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
3725xrleidd 13171 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑀))
3837adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑀))
3936, 38eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
4039ex 411 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4134, 40jaoi 855 . . . 4 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4241com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4314, 42sylbid 239 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4443ralrimiv 3134 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  cun 3942  wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  cn 12250  0cn0 12510  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  RePartciccp 46892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-iccp 46893
This theorem is referenced by:  iccpartrn  46909  iccpartiun  46913  iccpartdisj  46916
  Copyright terms: Public domain W3C validator