Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartleu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartleu 42098
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartleu (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11546 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 elnn0uz 11925 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
42, 3sylib 209 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 fzisfzounsn 12788 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
87eleq2d 2830 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9 elun 3915 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11 velsn 4350 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
1211a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1312orbi2d 939 . . . 4 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
148, 10, 133bitrd 296 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
151adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
1716adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18 fzossfz 12696 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
2019sselda 3761 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2115, 17, 20iccpartxr 42089 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 12645 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (0...𝑀))
232, 22sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
241, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
251, 16, 24iccpartxr 42089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
2625adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑀) ∈ ℝ*)
271, 16iccpartltu 42095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀))
28 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
2928breq1d 4819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) ↔ (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3029rspccv 3458 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃𝑘) < (𝑃𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀)))
3231imp 395 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑀))
3321, 26, 32xrltled 12183 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
3433expcom 402 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
35 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
3635adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑀))
3725xrleidd 12185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑀))
3837adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑀) ≤ (𝑃𝑀))
3936, 38eqbrtrd 4831 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀𝜑) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
4039ex 401 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4134, 40jaoi 883 . . . 4 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4241com12 32 . . 3 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4314, 42sylbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀)))
4443ralrimiv 3112 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃𝑖) ≤ (𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  cun 3730  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cn 11274  0cn0 11538  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  RePartciccp 42083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-iccp 42084
This theorem is referenced by:  iccpartrn  42100  iccpartiun  42104  iccpartdisj  42107
  Copyright terms: Public domain W3C validator