Theorem iccpartleu 47419

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartleu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzisfzounsn 13746	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
8	7	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9		elun 4118	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11		velsn 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
13	12	orbi2d 915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
14	8, 10, 13	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
15	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18		fzossfz 13645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
20	19	sselda 3948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21	15, 17, 20	iccpartxr 47410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	2, 22	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	1, 16, 24	iccpartxr 47410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
27	1, 16	iccpartltu 47416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
28		fveq2 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
29	28	breq1d 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	29	rspccv 3588	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
33	21, 26, 32	xrltled 13116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
34	33	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35		fveq2 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
37	25	xrleidd 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	36, 38	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
40	39	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
41	34, 40	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
42	41	com12 32	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
43	14, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
44	43	ralrimiv 3125	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∪ cun 3914   ⊆ wss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215  ℕcn 12187  ℕ₀cn0 12448  ℤ_≥cuz 12799  ...cfz 13474  ..^cfzo 13621  RePartciccp 47404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-iccp 47405

This theorem is referenced by:  iccpartrn  47421  iccpartiun  47425  iccpartdisj  47428