Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccpartleu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpartleu 45710
Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartgtprec.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
iccpartleu (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   πœ‘,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccpartgtprec.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2 nnnn0 12428 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
3 elnn0uz 12816 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
42, 3sylib 217 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
6 fzisfzounsn 13693 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (0...𝑀) = ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...𝑀) = ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}))
87eleq2d 2820 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀})))
9 elun 4112 . . . . 5 (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
109a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11 velsn 4606 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
1211a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
1312orbi2d 915 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
148, 10, 133bitrd 305 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
151adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
16 iccpartgtprec.p . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
18 fzossfz 13600 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀))
2019sselda 3948 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
2115, 17, 20iccpartxr 45701 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
22 nn0fz0 13548 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„•0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
232, 22sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
241, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
251, 16, 24iccpartxr 45701 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
271, 16iccpartltu 45707 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
28 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
2928breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3029rspccv 3580 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘˜) < (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3127, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€)))
3231imp 408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘€))
3321, 26, 32xrltled 13078 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3433expcom 415 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
35 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘€))
3725xrleidd 13080 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3837adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3936, 38eqbrtrd 5131 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑀 ∧ πœ‘) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
4039ex 414 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
4134, 40jaoi 856 . . . 4 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
4241com12 32 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
4314, 42sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑀) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
4443ralrimiv 3139 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)(π‘ƒβ€˜π‘–) ≀ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  iccpartrn  45712  iccpartiun  45716  iccpartdisj  45719
  Copyright terms: Public domain W3C validator