Theorem iccpartleu 48237

Description: If there is a partition, then all intermediate points and the lower and the upper bound are less than or equal to the upper bound. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartgtprec.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
iccpartleu	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartleu

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccpartgtprec.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		elnn0uz 12921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
4	2, 3	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
6		fzisfzounsn 13828	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑀) = ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}))
8	7	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀})))
9		elun 4107	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}))
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ((0..^𝑀) ∪ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀})))
11		velsn 4607	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀)
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ {𝑀} ↔ 𝑖 = 𝑀))
13	12	orbi2d 929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 ∈ {𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
14	8, 10, 13	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀)))
15	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
16		iccpartgtprec.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
17	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
18		fzossfz 13726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀))
20	19	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
21	15, 17, 20	iccpartxr 48228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ*)
22		nn0fz0 13672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	2, 22	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	1, 23	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
25	1, 16, 24	iccpartxr 48228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ*)
27	1, 16	iccpartltu 48234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
29	28	breq1d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
30	29	rspccv 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝑀)(𝑃‘𝑘) < (𝑃‘𝑀) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
31	27, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀)))
32	31	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑀))
33	21, 26, 32	xrltled 13193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
34	33	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
35		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀))
37	25	xrleidd 13195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
38	37	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑀))
39	36, 38	eqbrtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑀 ∧ 𝜑) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))
40	39	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
41	34, 40	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝜑 → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
42	41	com12 33	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∨ 𝑖 = 𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
43	14, 42	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑀) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀)))
44	43	ralrimiv 3158	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)(𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  RePartciccp 48222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-iccp 48223

This theorem is used by:  iccpartrn  48239  iccpartiun  48243  iccpartdisj  48246